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排列组合介绍


排列组合 排列、组合是研究概率论的基础知识,主要讨论在一定条件下完成某类事件时,可能出 现的所有符合条件的事件总数, 为此我们必须解决两个问题: 一是如何完成一个符合条件的 事件,——理出一条程序:分接连不断的几步或分几类来完成这样的事件,即步骤;第二个 问题是如何计算出这些事件的总数——找出计数规律——乘法原理和加法原理。 一、知识要点 1. 乘法原理、加法原理: 乘法原理:完成一件事,需要将其过程分成几个步骤,做第一步有1 种不同的法;对 于第一步的每一种方法,做第二步均有2 种不同的方法;对于前两步的每种方法,做第三 步均有3 种方法; ……依次类推, 做第 n 步, 对于前(n-1)步的每一种方法, 均有 种方法, 那么完成这件事共有N = 1 ? 2 ? 3 ? ? 种不同的方法。 加法原理:完成一件事,可以分成 n 类方法,第一类办法中有1 种不同的方法;第二 类办法中有2 种不同的方法,……,第 n 类办法中有 种不同的方法。那么完成这件事情 共有 = 1 + 2 + 3 ? ? + 种不同的方法。 2. 排列定义,排列种类数公式 定义:从 n 个不同元素中,每次取 m 个(m ≤ n)元素,按一定顺序排一排,其中任意一 排就叫做从 n 个不同元素中取 m 个元素的一个排列。而这样一些排列的全集就叫做从 n 个 不同元素中任取 m 个元素的排列。其总数记作: ! = ? 1 ? 2 ? ? ? + 1 = ( ? )! 当 m=n 时,称为全排列,记作: = n! 3. 组合定义 定义:从 n 个不同元素中,任取 m 个(m ≤ n)元素,无顺序的组成一组,其中任意一组 就叫作从 n 个不同元素中取 m 个元素的一个组合,而这样一些组合的全体,就叫作从 n 个 不同元素中取 m 个元素的组合。其总数记作: ? 1 ? 2 ? ? ? + 1 ! = = = ! ( ? )! ! 组合数的两个性质 n ? 性质 1: = ?1 性质 2: = ? 1 + ?1 4. 排列、组合中常用的分析方法 (1) 拿到题后首先弄清什么是一个事件?是排列?还是组合? (2) 深刻理解构成一个事件的条件是什么? (3) 判断是逐个满足条件组成所求事件与求对立事件的繁简程序,从而确定是直接求出 还是间接求出——扣除法。 (4) 无论是求事件 A,还是求对立事件A,接下来应考虑的是逐步完成事件 A,还是分类 完成事件 A。 (5) 完成一个事件 A 时应注意 A. 模型化——转化为入座问题 B. 考虑条件时,应将不稳定的条件转化为稳定的条件,例如不占有的问题转化为 占有的问题。 C. 善于用数形结合思想和实排法 D. 用有序的问题解决无序的问题


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