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§6.2-对数函数和对数


§6.2 对数函数和对数

预备知识 (指数函数的概念及图象 (幂的运算法则 重点 (对数函数、常用对数和自然对数的概念 (幂与对数的互化 (换底公式 (用计算器求常用对数、自然对数和一般对数 (积、商、幂的对数运算法则 难点 (对数函数的概念 (利用对数运算公式作运算 学习要求 (理解对数函数和对数的概念 (熟悉常用对数、自然对数的记号 (掌握用计算器求常用对数、自然对数和一般对数的方法 (了解对数的几个基本等式,并会用于计算 (了解积、商、幂的对数的运算公式,并能用于简单的对数运算 (了解换底公式,并能根据需要作对数的换底

本节讨论指数函数 y=ax 的反函数――对数函数,并给出计算对数函数值――对数的方 法. 1.对数函数的概念 (1)对数函数 一只抽气泵每次可以抽调原有空气的二分之一.设原有空气量为 1,则第一次抽气后余 下空气为;第二次抽气后余下空气为(=()2;第三次抽气后余下空气为(()2=()3.依此类推,第 x 次抽气后余下空气为

y=()x, x(N 或 y=0.5x, x(N (1) 这是一个以 a=0.5 为底的指数函数.现在想知道,抽到第几次后,剩余原有空气量的?即要 求 x,使 0.5x=.因此这是求指数函数(1)的反函数问题. 在第三章和第五章,你已经熟悉了一般 的指数函数 y=ax,它要求底数 a>0, a(1;定 义域 D 为 R ;值域 M 为 (0, +().指数函数 反映的是当指数改变时,幂 ax 的改变规律, 即指数 x 与幂 ax?之间的对应法则.因为指数 函数当 a>1 时是单调上升的,当 0<a<1 时是 单调下降的 (见图 6-13).因此反函数是存在 的,反函数反映的是当幂 ax?改变时,指数 x 的改变规律,即幂到指数的对应法则. 讲到函数, 总希望能有一个表达运算的式子, 来表示自变量与因变量之间的对应规律. 但 有时候你未必能如愿.例如指数函数 y=4x,给了一个 y>0,反函数的函数值是很明确的,就 是使 4x=y 的那个 x,但是你不可能从 4 x=y 解出 x 成为 y 的一个数学式.于是我们用一个特 定的函数记号 “log4” 来表示(log 是英文 logarithm 的缩写, 其中文解释就是对数的意思), 并且给它一个特定的名称,称为以 4 为底的对数函数.因此指数函数 y=4x 的直接反函数是 对数函数 x=log4y, (y>0),对调 x,y 后的常规反函数则是对数函数 y=log4x, (x>0),读作 “log 4 底 x” .很明显,这里的记号“log4”相当与一般反函数记号“f-1()” . 一般地,指数函数 y=ax (a>0,a(1,x(R)的反函数是以 a 为底的对数函数,即 y=logax (x>0), 读作 “log a 底 x” ,函数值正好是使 a 为底的幂等于 x 时的指数值,即 a y=x. 回到开始的抽气泵问题(1)上来.用对数函数的概念,要想抽到剩余原有空气量的,需 要抽气次数 x 为 x=log 0.5 y, 这个式子表示的是,在 y=0.5x 中,当 y 变化时,x 将如何变化. 例 1 求 (1) y=2x; (2)y=10x; (3)y=;(4)y=a3x, (a>0,a(1) 的反函数. 解 (1)y=2x 的反函数是 y=log 2x ▍ (2)y=10x 的反函数是 y=log 10x ▍ (3)y=的反函数是 ▍ (4)因为 a3x=(a3)x,所以 y=a3x 的反函数是 ▍ 课内练习 1 1. 求下列函数的反函数: (1) y=5x; (2); (3)y=0.3x; (4)y=, (a>0,a(1). (2)对数函数的两个基本等式 根据反函数定义,若 y=log ax (6-2-1) 则 a y=x, 即 , (x>0) (6-2-2) 把 x=a y 反代入(6-2-1),得 y=log aa y, (y(R) 即 log aa x=x, (x(R) (6-2-3) 特别地,当 x=1,得到 logaa=1, (a>0) (6-2-4) 当 x=0,得到 loga1=0, (a>0) (6-2-5)

(6-2-2),(6-2-3)是基本等式,必须熟记;(6-2-4),(6-2-5)是两个基本结果,也必须牢记. 例 2 求下列对数函数的函数值: (1)log44100; (2); (3)log0.99991; (4)log0.99990.9999. 解 (1)据基本等式(6-2-3),log44100=100 ▍ (2)据基本等式(6-2-3),=-5 ▍ (3)据公式(6-2-5),log0.99991=0 ▍ (4)据公式(6-2-4),log0.99990.9999=1 ▍ 课内练习 2 1. 填空: (1)log5520= ; log0.30.3-2= ; = ; logaam = , (a>0 且 a(1); (2)log1616= ; log71= ; log0.80.8= ;= . 例 3 求下列对数函数的函数值: (1)log28;(2)log101000;(3)log100.1;(4);(5) 解 应用(6-2-3) (1)log28=log223=3 ▍ (2) log101000=log10103=3 ▍ (3)log100.1=log1010-1=-1 ▍ (4)==-3 ▍ (5)==▍ 课内练习 3 1. 求下列对数函数的函数值: (1)log5125; (2)log10100000; (3)log21024; (4); (5); (6)log2; (7)log2; (8) log2. 例 4 求下列指数函数的函数值: (1)y=1.2x, x=log1. 25; (2)y=10-x, x=log10; (3)y=9x, x=log3a; (4)y=2x, x=. 解 (1)以 x=log1.25 代入指数,据 (6-2-2)得 y==5 ▍ (2)以 x=log10 代入指数,据 (6-2-2)得 y==()-1= ▍ (3)以 x=log3a 代入指数,据 (6-2-2)得 y=a2 ▍ (4)以 x=代入指数,据 (6-2-2)得 y=[]-1=6-1= ▍ 课内练习 4 1. 求下列指数函数的函数值: (1)y=45x, x=log45; (2)y=()x, x=log10; (3)y=9x, x=; (4)y=()x, x=. 2. 对数函数的函数值――对数 (1)对数 对数函数 y=logax 当 x=b 时的函数值 logab, 称为以 a 为底 b 的对数(读作 log a 底 b), 并且称 b 为真数.如例 3 中,log 28 是以 2 为底 8 的对数,8 是真数;log 101000 是以 10 为

底 1000 的对数,1000 是真数;log 100.1 是以 10 为底 0.1 的对数,0.1 是真数;是以为底 8 的对数,8 是真数. 根据指数函数与对数函数互为反函数的关系, 很容易在它们的值――幂与对数之间互相 转化: a c=b ( log ab=c, (a, b>0, a(1, c(R) 因此,可以化幂为对数形式,也可以化对数为幂. 例 5 把下列幂化为对数或把对数化为幂: (1)43=64; (2); (3)=-4. 解 (1) 43=64 ( log 464=3 ▍ (2) ( =2 ▍ (3)=-4 ( 2 –4= ▍ 课内练习 5 1. 把下列幂化为对数或把对数化为幂: (1)25=32; (2)()-3=8; (3)33=27; (4)log5125=3;(5)=-6; (6)log66=1. 在例 2、例 3 中我们已经求了几个对数函数的函数值,也就是对数,但情况都比较特 殊――真数都是底的整数次幂,而且指数也较小,你一眼就能看出来.对一般给定的非 1 正数 a 和 b>0,要求对数 log ab,就是要求出一个数 c(R,使 ac=b,这就不那么容易了.为 此必须解决对数求法问题. 先考虑两个特殊底的对数函数, 这两种特殊底的对数函数, 可以用计算器得到它们的函 数值. (2)常用对数和自然对数 ①常用对数 以 10 为底的对数函数 log 10x,在计算中最常遇到,因此被称为常用对数函数.为了区 别于其它的底,用一个特殊的函数记号 “lg”来表示它,即 y=lgx 就是 y=log10x.lgx 当 x=b 时的函数值 lgb 称为 b 的常用对数. 如 lg1000 表示对数 log101000, 即 1000 的常用对数; lg3 表示对数 log 103,即 3 的常用对数. 常用对数可以用计算器求得近似值.在许多计算器上,求常用对数的功能键是 log 键, 求 lg b 时的按键次序是: 键入 b,再按 log 键 显示屏上立即显示对数值 lg b. 例 6 求下列常用对数(保留 4 个有效数字): (1)lg 3; (2)lg 1000; (3)lg 0.5; (4)lg 4.83. 解 按键 3 log 显示 0.477121254,所以 lg 3(0.4771 ( 即 10 0.4771( 3). 这里的 “(” , 不仅仅是因为我们取了四个有效数字, 即使把显示屏上显示的数全部写上, 仍然只能写“(”而不能写 “=”(即 lg3(0.477121254).计算器明明显示了 lg3 的值,为什么 不能用“=”呢?这是因为除了真数是底的有理次幂等少数特殊情况外,对数都是无理数, 例如 lg3 的精确的值是 lg3=0.4771212547196624350..., 计算器上显示的也仅仅是它的近似值. 今后在没有必要突出近似值的地方, 我们一般把 “(” 就写成“=” ,但你必须明白其实一般并不是真正的等于而是近似值. 下面按题目要求,列表给出解题结果. 题号

按键顺序 显 示 答 案 (1) 3 log 0.477121254 lg 3=0.4771 (2) 1000 log 3 lg1000=3 (3) 0.5 log -0.301029995 lg 0.5=-0.3010 (4) 4.83 log 0.68394713 lg 4.83=0.6839▍ (上面得到的结果,如果用幂的形式来写,依次为 30.4771(3;103=1000;10-0.3010(0.5;100.6839(4.83.) 课内练习 6 1. 求下列常用对数: (1)lg2; (2)lg5; (3)lg0.3; (4)lg48.3; (5)lg483. ②自然对数 你记得在第三章讲到指数函数时,曾介绍过一个特殊的 y=ex 吗?在计算器上还专门有 一个功能键,用来计算它的函数值.在那里我们也曾经提醒过你,e 与圆周率(,是数学上非 常有用的两个常数,e 也是无理数且 e=2.7182818285.... 对(的探究可谓历史久远,古代中国、希腊和印度等国的数学家,都对它作了深入的研究; 而数 e 的发现和研究,还是 16 世纪之后的事情.之后人们发现这个无理数在工程、物理、 建筑等领域非常有用, 于是指数函数 y=ex 受到了重视, 它的反函数 y=log ex 也受到了重视. 如 同以 10 为底的对数函数一样, 人们为它规定了一个特殊的函数符号 “ln” , 用 ln x 来表示 logex (即 y=ln x 就是 log ex),称为自然对数函数,其函数值也就随之被称为自然对数.在计算器 上问世后,也配置了一个功能键 ln ,专门用来计算自然对数. 在计算器上求自然对数的操作顺序,与求常用对数相同,只是改 log 为 ln 键. 例 7 求下列自然对数(结果保留 4 个有效数字): (1)ln3; (2)ln8.5; (3)ln10. 解 列表给出结果:

题号 按键顺序 显 示 答 案 (1) 3 ln 1.098612289 ln3=1.098 (2) 8.5 ln 2.140066164 ln8.5=2.140 (3) 10 ln 2.302585093 ln10=2.303 (上面得到的结果,如果用幂的形式来写,依次为 e1.098(3;e2.140(8.5;e2.303(10.) ▍ 注意,除了少数特殊情况,自然对数都是无理数,例如 ln3=1.098 612 288 668 109 78..., 因此上面的“=”严格来说,都应该是“(” . 课内练习 7 1. 求下列自然对数: (1)ln5; (2)ln7.12; (3)ln71.2; (4)ln0.249. (3)一般对数和换底公式 为了区分,姑且称非常用对数、自然对数,例如 log 29, 等为一般对数.如何求这些一 般对数呢?我们的基本思路是把底 2, 换成 10 或 e,把求一般对数问题,转化为可在计算器 上求值的常用对数或自然对数问题. 以求 log 29 为例,怎么把对数的底 2 换成 10 呢? 设 2=10 p,即 p=lg 2, 记 d=log 29,则 2d=9. 以 2=10 p 代入,得 (10 p)d=9 ( 10 pd=9 ( pd=lg 9 ( d= , 所以 log 29=. 采用同样手法,也可以把对数的底 2 换成 e. 设 2=e q,即 q=ln 2, 记 d=log 29,则 2d=9. 以 2=e q 代入,得 (eq) d=9 ( e qd=9 ( qd=ln 9 ( d=, 所以 log 29=.

现在你应该自己能证明,对任何 c>0,c(1,可以把底 2 换成 c,得到 log 29=; 你还能把底 2 换成一般的 a>0, a(1,真数 9 换成一般的 b>0,得到一般的换底公式 log ab= , (a, b, c>0, a(1, c(1) (6-2-6) 只要取 c=10,c=e,就是一般对数换成常用对数和自然对数的公式 log ab= , (a, b>0) (6-2-7) log ab= , (a, b>0) (6-2-8) 有了公式(6-2-7),( 6-2-8),你就可以用计算器计算一般对数了.如以常用对数计算 log a b 来说,实际上是用计算器计算,因此按键顺序为 b log ( a log = 若用自然对数计算,则只要把 “log”改为 “ln”键就行了. 例 8 用常用对数和自然对数两种方法,求下列对数(保留 4 个有效数字): (1)log 25;(2) ;(3) . 解 结果列表.(表的上半部分用常用对数计算,下半部分用自然对数计算): 题号 按键顺序 显 示 结 果 (1) 5 log ( 2 log = 2.321928095 log 25=2.322 (2) 3 log ( 0.5 log = -1.584962501 =-1.585 (3) ( 2 ( 3 ) log ( ( 4 ( 3 ) log = -1.40942084 =-1.409 (1) 5 ln ( 2 ln = 2.321928095 log 25=2.322 (2) 3 ln ( 0.5 -1.584962501 =-1.585

ln =

(3) ( 2 ( 3 ) ln ( ( 4 ( 3 ) ln = -1.40942084 =-1.409 课内练习 8 1. 用常用对数和自然对数两种方法,求下列对数(保留 4 个有效数字): (1)log 37; (2); (4); (3). 从换底公式(6-2-6),还可以得到另一个重要的对数等式. 对任何三个非 1 正数 a, b, c,由(6-2-6) log ab= , log ba= , 所以 log ab( log ba=1, 即 log ab=, (a, b>0) (6-2-9) 常称公式(6-2-9)为对数的倒数公式.在对数计算中,有时倒数公式能提供方便. 例 9 计算对数:(1)log 273; (2). 解 (1) log 273= ▍ (2)= ▍ 课内练习 9 1. 计算下列对数:(1)log 162; (2). (4)积、商、幂的对数 记得幂有如下两个性质吗? ax( ay=ax+y, (a>0) (1) , (a>0) (2) 即同底幂的积、商,是以指数的和、差作为指数的同底幂.对数函数是指数函数的反函数, 对数又是对数函数的函数值,那么在对数中,这两个性质是如何体现的呢? 令 M=ax,N=ay, 则 M( N=ax+y, 据对数与幂之间的关系 logaM=x,logaN=y 又 loga(M(N)=loga(ax( ay)=logaax+y=x+y, 所以 log a(M(N)=log aM+log aN, (a, M, N>0, a(1) (6-2-10) 同理 log a= log aM-log aN, (a, M, N>0, a(1) (6-2-11) 因此幂的性质(1),在对数中以公式(6-2-10)体现,用文字叙述,即积的对数等于对数的和; 幂的性质(2),在对数中以公式(6-2-11)体现,用文字叙述,即商的对数等于对数的差. 你还应该记得幂的第三个重要性质 (ax)y=ax(y, 这个性质体现在对应的对数上,则是公式 log a M b=b(log aM, (M>0, b(R) (6-2-12) 用文字叙述,即幂的对数等于指数与底的对数之积. 要证明(6-2-12)并不难.设 M=ac,即 c=logaM;( logaMb=loga(ac)b=logaac(b=cb

即 logaMb =blogaM. (6-2-10)((6-2-12)是对数运算的三个基本公式, 当然它们对常用对数、 自然对数也是成立的. 使 用这些公式,能把较复杂的积、商、幂的对数,化为对数的较简便的和、差、数乘;或者相 反,能简化一些比较复杂的对数运算式.你必须牢牢记住它们,并能灵活地应用. 在计算器尚未普及之前,多位数的乘、除、幂运算,是相当令人头痛的.有了这些公式和求 对数的手段, 可以把这种运算转化为加、 减、 数乘运算. 例如求两数之积 M(N, 根据(6-2-10), 只要求出 lgM, lgN,做一次加法,得到 m=lg(M(N);然后只要找到一个数 Q,使 lgQ=m(实际 上 Q=10m),即得 Q=M(N.很长一个时期以来,人们事先计算好大量数的对数列成对数表, lgM, lgN 和 Q,都可以通过查表得到,这使求乘积运算变得十分简便.这种奇妙得功能,是 十五世纪引入对数并得到发展的源动力之一, 也是在计算机问世之前, 工程界广泛使用的计 算工具――计算尺的设计依据.现今,随着先进计算工具,例如计算器的不断普及,复杂的 乘除幂运算也不过举手之劳,对数作为简化运算的功能,早已风光不再,然而它的母体—对 数函数,在自然科学和社会科学的各个领域中,仍然是最重要的基本函数之一. 例 10 利用 lg2=0.3010, lg3=0.4771, 不使用计算器的对数功能, 求下列对数(结果保留 4 个有效数字): (1)lg6; (2)lg; (3)lg ; (4)lg20; (5)lg;(6)lg();(7)lg ; (8)lg 18. 说明 这些题目,完全可以如例 8 那样,直接用计算器求得对数,而且精确度可能会更高一 些.但是现在用积、商、幂对数方法来求,你会发现其实它们只是 lg2, lg3 这两个对数的一 些运算,不用计算器的对数功能,也能很方便地得到结果. 解 (1)lg6=lg(2(3)=lg2+lg3=0.3010+0.4771 =0.7781 ▍ (2) lg =lg10-lg3=1-0.4771=0.5229 ▍ (3) lg =lg=lg3=(0.4771=0.2386 ▍ (4)lg20=lg(10(2)=lg10+lg2=1+0.3010=1.301 ▍ (5) lg =lg1-lg=0-lg3=-(0.4771 =-0.05964 ▍ (6) lg()=lg+lg=lg2+lg3 =(0.3010+(0.4771(0.10033+0.05964 =0.1600 ▍ (7) lg =lg400-lg2 20=lg100+lg4-20lg2 =2+lg2 2-20lg2=2+2lg2-20lg2=2-18lg2 =2-18(0.3010=-3.418 ▍ (8)lg18=lg(2(9)=lg2+lg3 2+lg2+2lg3 =0.3010+2(0.4771=1.255 ▍ 例 11 已知 lg2=0.3010, lg3=0.4771, 不使用计算器的对数功能, 求下列对数(结果保留 4 个有效数字): (1)log 25; (2)log 390; (3). 解 先据换底公式(6-2-7)化为常用对数,再进行计算. (1) log 25==(2.322 ▍ (2) log 390=log 3(9(10)=log 332+log 310=2+(4.096 ▍ (3)= =(3.322 ▍ 例 12 计算下列各题: (1)loga3+loga, (a>0, a(1); (2)已知 logab=0.2,求 logab+, (a,b>0). 解 (1) loga3+loga=loga(3()=loga1=0, (或 loga3+loga=loga3+(loga1-loga3)=0) ▍ (2) log ab+= log ab+==1.2 ▍

课内练习 10 1. 利用 lg3=0.4771, lg7=0.8451,不使用计算器的对数功能,求下列对数(结 果保留 4 个有效数字): (1)lg ; (2)lg ; (3)lg ; (4)lg630; (5)lg ; (6)lg(); (7)lg. 2. 求下列对数(结果保留 4 个有效数字): (1)log 510; (2)log0.10.11; (3). 3. 计算下列各题: (1)loga(3a2)+loga, (a>0, a(1); (2)-. 4. 已知 logab=,求, (a, b>0, a, b(1). 课外习题 A组 1. 求下列函数的反函数: (1)y=3x; (2); (3)y=log2x; (4). 2. 填空: (1)log749= ; (2)log3= ; (3)log50.2= ;(4)= ; (5)log7712= ;(6)log0.80.80.6= ;(7)log31= ; (8)log((= . 3. 求下列指数函数的函数值: (1)y=9x, x=log9; (2)y=()x, x=log(; (3)y=5x, x=; (4)y=()x, x=. 4. 把下列对数化为幂,或把幂化为对数: (1); (2); (3)lg100=2; (4). 5. 求下列对数函数的函数值: (1)log5x, x=25; (2), x=27. 6. 用计算器求下列对数(结果保留 4 个有效数字): (1)lg45; (2)ln12; (3)ln0.6; (4)log57; (5); (6). 7. 已知 lg2=0.3010, lg3=0.4771,不用计算器的对数功能,求出下列对数(结 果保留 4 个有效数字): (1)lg54; (2)lg200; (3)lg60; (4)lg0.3; (5)lg8; (6)lg27. B组 1. 不用计算器的对数功能,求下列各式的值: (1)lg2+lg5; (2)lg2+2lg5+lg20; (3)(lg5)2+lg2(lg50; (4). 2. 求证: (a, b>0, a, b(1). C组 1. 已知 lga=2.315,利用计算器求 a (结果保留 4 个有效数字). 2. 已知 log2x=-0.1287,利用计算器求 x(结果保留 4 个有效数字). 3. 已知 loga45==2.4,利用计算器求 a. 4. 证明 (a, b>0, a, b(1).


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(2)能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函 数的单调性与特殊点; (3)通过比较、对照的方法,引导学生结合图象类比指数函数,探索研究 对数...

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