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高考数学一轮复习 第七章 立体几何 . 直线、平面垂直的判定与性质练习 理解析


第七章 立体几何 7.5 直线、平面垂直的判定与性质练习 理
[A 组·基础达标练] 1.[2016·青岛一中调研]设 a,b,c 表示三条直线,α ,β 表示两个平面,则下列命 题中不正确的是( A.
? c⊥α ? ? α ∥β ?

)

?? c⊥β

B.

? ? ?? b⊥c c是a在β 内的射影? ?
a⊥b b? β b∥c ? ? b? α ?? c∥α c?α ? ?

C.

D.

a∥α ? ? ?? b⊥α ? b⊥a ?

答案 D 解析 对于选项 D,可能还有 b∥α ,或者 b 与 α 相交,所以 D 不正确.

2.[2015·郑州模拟] 如图, O 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 的中心, 则下列直线中与 B1O 垂直的是( A.A1D C.A1D1 答案 D 解析 由题图中可知,A1C1⊥平面 BB1D1D,又 OB1? 平面 DD1B1B,∴A1C1⊥B1O,故选 D. 3.如图所示,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成三棱锥 A-BCD,则在三棱锥 A-BCD 中,下列结论 正确的是 ( ) B.AA1 D.A1C1 )

1

A.平面 ABD⊥平面 ABC B.平面 ADC⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC 答案 D 解析 ∵在四边形 ABCD 中,

AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,
∴BD⊥CD.又平面 ABD⊥平面 BCD, 且平面 ABD∩平面 BCD=BD, 故 CD⊥平面 ABD,则 CD⊥AB. 又 AD⊥AB,AD∩CD=D, 故 AB⊥平面 ADC. 又 AB? 平面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面 ADC.故选 D. 4. 把等腰直角△ABC 沿斜边上的高 AD 折成直二面角 B-AD-C, 则 BD 与平面 ABC 所成角 的正切值为( A. 2 C.1 答案 B 解析 如图所示,在平面 ADC 中,过 D 作 DE⊥AC,交 AC 于点 E,连接 BE,因为二面角 B -AD-C 为直二面角,∴BD⊥CD,BD⊥AD,所以 BD⊥平面 ADC,故 BD⊥AC,又 DE∩BD=D, 因此 AC⊥平面 BDE,又 AC? 平面 ABC,所以平面 BDE⊥平面 ABC,故∠DBE 就是 BD 与平面 ABC 所成的角,在 Rt△DBE 中,易求 tan∠DBE= 2 ,故选 B. 2 ) B. D. 2 2 3 3

2

5.[2015·广州模拟]已知在空间四边形 ABCD 中,AD⊥BC,AD⊥BD,且△BCD 是锐角三 角形,则必有( ) B.平面 ABD⊥平面 ABC D.平面 ABC⊥平面 BDC A.平面 ABD⊥平面 ADC C.平面 ADC⊥平面 BDC 答案 C 解析 ∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B. ∴AD⊥平面 BDC,又 AD? 平面 ADC, ∴平面 ADC⊥平面 BDC,故选 C.

6.[2015·临沂模拟] 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱长为 2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D 是 A1B1 的中 点,F 是 BB1 上的动点,AB1,DF 交于点 E.要使 AB1⊥平面 C1DF,则线段 B1F 的长为( A. C. 1 2 3 2 B.1 D.2 )

答案 A 解析 设 B1F=x,因为 AB1⊥平面 C1DF,DF? 平面 C1DF,所以 AB1⊥DF.由已知可以得 A1B1 = 2,矩形 ABB1A1 中, tan∠FDB1=

B1F A1B1 2 B1F 2 2 ,tan∠A1AB1= = ,又∠FDB1=∠A1AB1,所以 = ,故 B1F= B1D AA1 2 B1D 2 2

3

×

2 1 = .故选 A. 2 2 7.[2016·大连模拟]已知 a、b、l 表示三条不同的直线,α 、β 、γ 表示三个不同的

平面,有下列四个命题: ①若 α ∩β =a,β ∩γ =b,且 a∥b,则 α ∥γ ; ②若 a、b 相交,且都在 α 、β 外,a∥α ,a∥β ,b∥α ,b∥β ,则 α ∥β ; ③若 α ⊥β ,α ∩β =a,b? β ,a⊥b,则 b⊥α ; ④若 a? α ,b? α ,l⊥a,l⊥b,l?α ,则 l⊥α . 其中正确命题的序号是________. 答案 ②③ 解析 若平面 α 、β 、γ 两两相交于三条直线,则有交线平行,故①不正确.因为 a、

b 相交,假设其确定的平面为 γ ,根据 a∥α ,b∥α ,可得 γ ∥α .同理可得 γ ∥β ,因此
α ∥β ,②正确.由面面垂直的性质定理知③正确.当 a∥b 时,l 垂直于平面 α 内两条不 相交直线,不能得出 l⊥α ,④错误.

8.[2016·潍坊质检] 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动 点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 答案 DM⊥PC(或 BM⊥PC)

解析 连接 AC,BD 交于 O,∵底面各边相等,∴BD⊥AC; 又 PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥BD,又 PA∩AC=A, ∴BD⊥平面 PAC,∴BD⊥PC. ∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,即有 PC⊥平面 MBD.
4

而 PC? 平面 PCD, ∴平面 MBD⊥平面 PCD. 9.四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,顶点在底面上的射影是底面正方形的中心, 一个对角面的面积是一个侧面面积的 答案 π 3 6 倍,则侧面与底面所成锐二面角等于______. 2

解析

1 2ah 2 6 h 3 如图所示,根据 = ,得 = ,即为侧面与底面所成锐二面角的正弦 1 2 h′ 2 ah′ 2

π 值,故侧面与底面所成锐二面角为 . 3

10. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD,

E 和 F 分别是 CD,PC 的中点.求证:
(1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD. 证明 (1)∵平面 PAD∩平面 ABCD=AD,平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA⊥AD, ∴PA⊥底面 ABCD.

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(2)∵AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点, ∴AB∥DE,且 AB=DE. ∴四边形 ABED 为平行四边形, ∴BE∥AD. 又∵BE?平面 PAD,AD? 平面 PAD, ∴BE∥平面 PAD. (3)∵AB⊥AD,且四边形 ABED 为平行四边形. ∴BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD,则 PA⊥CD, ∴CD⊥平面 PAD,从而 CD⊥PD. 又 E,F 分别为 CD ,CP 的中点, ∴EF∥PD,故 CD⊥EF. 由 EF,BE 在平面 BEF 内,且 EF∩BE=E, ∴CD⊥平面 BEF.又∵CD? 平面 PCD, ∴平面 BEF⊥底面 PCD. [B 组·能力提升练]

1.如图,已知△ABC 为直角三角形,其中∠ACB=90°,M 为 AB 的中点, PM 垂直于△

ABC 所在平面,那么(
A.PA=PB>PC C.PA=PB=PC 答案 C

) B.PA=PB<PC D.PA≠PB≠PC

解析 以 M 为球心,MA 为半径的球,过 A,B,C,P 四点,故弦长 PA=PB=PC,故选 C.

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2.如图所示,平面 α 内有△ABC,AB=5,BC=8,AC=7,梯形 BCDE 的上底 DE=2,过

EB 的中点 B1 的平面 β ∥α ,若 β 分别交 EA、DC 于 A1、C1,△A1B1C1 的面积为________.
答案 25 3 8

2+8 解析 ∵α ∥β , A、 B、 E 共面, ∴A1B1∥AB, 又∵BCDE 为梯形, ∴B1C1∥BC, ∴B1C1= 2 1 5 5 +8 -7 1 3 =5.∵A1B1∥AB, ∴A1B1= AB= , cos∠A1B1C1=cos∠ABC= = , ∴sin∠A1B1C= , 2 2 2×5×8 2 2 1 1 5 3 25 3 ∴S△A1B1C1= A1B1·B1C1·sin∠A1B1C1= × ×5× = . 2 2 2 2 8
2 2 2

3. 如图,PA⊥⊙O 所在平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下 列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC,其中真命题的序号是________. 答案 ①②④ 解析 ①AE? 平面 PAC,BC⊥AC,BC⊥PA? BC⊥平面 PAC,AC? 平面 PAC? AE⊥BC,故① 正确;②AE⊥PC,AE⊥BC? AE⊥平面 PBC? AE⊥PB,AF⊥PB? PB⊥平面 AEF? EF⊥PB,故②④ 正确;③若 AF⊥BC,又 AF⊥PB,则 AF⊥平面 PBC,则 AF∥AE,与已知矛盾,故③错误. 4. [2015·四川高考]一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (1)请将字母 F,G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系,并证明你的结论; (3)证明:直线 DF⊥平面 BEG.

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(1)点 F,G,H 的位置如图所示.

(2)平面 BEG∥平面 ACH.证明如下: 因为 ABCD?EFGH 为正方体,所以 BC∥FG,BC=FG, 又 FG∥EH,FG=EH, 所以 BC∥EH,BC=EH, 于是 BCHE 为平行四边形. 所以 BE∥CH. 又 CH? 平面 ACH,BE?平面 ACH, 所以 BE∥平面 ACH.同理 BG∥平面 ACH. 又 BE∩BG=B,所以平面 BEG∥平面 ACH. (3)证明:连接 FH. 因为 ABCD?EFGH 为正方体,所以 DH⊥平面 EFGH. 因为 EG? 平面 EFGH,所以 DH⊥EG. 又 EG⊥FH,EG∩FH=O,所以 EG⊥平面 BFHD. 又 DF? 平面 BFHD,所以 DF⊥EG. 同理 DF⊥BG. 又 EG∩BG=G,所以 DF⊥平面 BEG.

5.[2015·湖北高考]

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《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四 个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图,在阳马 P-ABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD,且 PD=CD,过棱 PC 的中点 E,作 EF⊥

PB 交 PB 于点 F,连接 DE,DF,BD,BE.
(1)证明: PB⊥平面 DEF.试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑, 若是, 写出其每个面的直角(只 需写出结论);若不是,说明理由; π DC (2)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 ,求 的值. 3 BC 解 (1)证明:因为 PD⊥底面 ABCD,所以 PD⊥BC. 由底面 ABCD 为长方形,有 BC⊥CD,而 PD∩CD=D, 所以 BC⊥平面 PCD.而 DE? 平面 PCD,所以 BC⊥DE. 又因为 PD=CD,点 E 是 PC 的中点,所以 DE⊥PC. 而 PC∩BC=C,所以 DE⊥平面 PBC.而 PB? 平面 PBC,所以 PB⊥DE. 又 PB⊥EF,DE∩EF=E,所以 PB⊥平面 DEF. 由 DE⊥平面 PBC,PB⊥平面 DEF,可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体 BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB. (2)如图, 在面 PBC 内, 延长 BC 与 FE 交于点 G, 则 DG 是平面 DEF 与平面 ABCD 的交线. 由 (1)知,PB⊥平面 DEF,所以 PB⊥DG.

又因为 PD⊥底面 ABCD,所以 PD⊥DG. 而 PD∩PB=P,所以 DG⊥平面 PBD. ∴DG⊥DF,DG⊥DB. 故∠BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角, 设 PD=DC=1,BC=λ (λ >0),有 BD= 1+λ , π 在 Rt△PDB 中,由 DF⊥PB,得∠DPF=∠FDB= , 3
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2

π BD 2 则 tan =tan∠DPF= = 1+λ = 3, 3 PD 又 λ >0,解得 λ = 2.

DC 1 2 所以 = = . BC λ 2
π DC 2 故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 时, = . 3 BC 2

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