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考向一 平面向量的概念与线性运算


考向一 平面向量的概念与线性运算 例 1 向量 ( ) 在正方形网格中的位置如图所示,则 =

例 2 平行四边形 ABCD 中, ?BAD ? 60? , AB ? 1, AD ? 2, P 为平行四边形内 一点,且 AP ? 为
2 ,若 AP ? ? AB ? ? AD(?, ? ? R) ,则 ? ? 2u 的最大值 2

. )

例 3 如图,D 是△ABC 的边 AB 的中点,则向量 等于(

A.

B.

C.

D.

考向二 平面向量的数量积[来源:学&科&网] 【解决法宝】 1.对两向量夹角的理解 (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时,表示两向量的有向 线段所形成的角,若起点不同,应通过移动,使其起点相同,再观 察夹角. ( 2)两向量夹角的范围为 [0, ? ] ,特别当两向量共线且同向时,其夹 角为 0 ,共线且反向时,其夹角为 ? .

例 1 已知平面向量 =(3,1), =(x,﹣3),且 ⊥ ,则 x=( A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
? ? ?
? ?



练习 1 已知两个非零向量 a, b 满足 a ? (a ? b) ? 0 ,且 2 a ? b ,则 ? a, b ?? A. 30?
?

B. 60?
?

C. 120?
? ? ? ?

D. 150?

2.已知向量 a ? ? 2,1? , b ? ? x, ?2? ,若 a // b ,则 a ? b 等于( ) A. ? ?3,1? B. ?3, ?1?
?

C. ? 2,1?
?

D. ? ?2, ?1?
? ? ? ?

3.已知平面向量 a ? (2, ?1) , b ? (1,1) , c ? (?5,1) ,若 (a ? kb)// c ,则实数 k 的值为(
?


? ? ? ?
?

4. 已知向量 a ? (1, x), b ? (?1, x), 若 (2a ? b) ? b. 则 a ? ( ) A. 2 5.已知向量 B. 3 , C.2 ,若 B.﹣3
??? ?

D.4 ,则 C.﹣2 D.﹣1 )

实数 λ 的值为( )A.﹣4
??? ?

6.凸四边形 OABC 中, OB ? (2,, 4) AC ? (?21) , 则该四边形的面积为( A.
5

B.

2 5

C. 5
? ??

D. 10
? ? ?

例 2 已知非零向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 ,向量 a 与 b 的夹角为 600 ,且
? ? ? ? | a |?| b |? 1 ,则下列 a 与 c 的夹角为

?

?

. (用弧度制表示)
? ?
? ? b

1. 【甘肃省张掖市 2016 届高三第一次诊断考试】 已知 | a |? 2 , a, | b |? 3 , 的夹角为 60°,则 | 2a ? b |?
? ?



2.【长春市普通高中 2016 届高三质量监测(二) 】已知向量 a ? , (, 1 3)
b? (0,t 2 ? 1 ) ,则当 t ?[? 3, 2] 时, | a ? t

b | 的取值范围是___________. |b|

例 3 如图,菱形 ABCD 的边长为 2 ,?A ? 60? , M 为 DC 的中点,若 N 为

菱形内任意一点(含边界) ,则 AM ? AN 的最大值为

???? ? ????

A. 3

B. 2 3

C. 6

D.9 |=| |=1, | |= D.﹣ , 则 ?

练习 5.已知平面内三点 A, B, C 满足| 学+科+网 Z+X+A. B.﹣ C.

6.已知 AB 为圆 O : ( x ?1)2 ? y2 ? 1 的直径, 点 P 为直线 x ? y ? 1 ? 0 上任意一 点,则 PA ? PB 的最小值为( A. 1 B. 2
??? ? ??? ?

) D. 2 2

C. 2

7.已 知平面内 A , B 两点的坐标分别为 ? 2, 2? , ? 0, ?2? , O 为坐标原点, 动点 P 满足 BP A. 3
??? ? ??? ? ??? ? ? 1 ,则 OA ? OP

的最小值是( ) . C.
3

B. 1

D. 0

8.如图,正方形 ABCD 中, AB ? 2 , DE ? BC ,若 F 是线段 BC 上的一个 动点,则 AE ? AF 的最大值是
??? ? ??? ?

.

9.已知向量 m ? (sin A , cosA ), n ? ( 3, ?1) , m ? n ,且 A 为锐角,则角
A?

??

?

??

?

_______.

13.【2015 届上海市黄浦区高三上学期期终调研测试】已知点 P、Q 是

??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?ABC 所在平面上的两个定点, 且满足 PA ? PC ? 0 ,2QA ? QB ? QC ? BC ,

若 |PQ|=?|BC| ,则正实数 ? ?

??? ?

??? ?

.


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