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不等关系与不等式(导学案)


3.1 不等关系与不等式(导学案) 一、学习目标
1、了解不等式与不等式组的实际背景;掌握常用不等式的基本基本性质;会将一些基 本性质结合起来应用. 2、通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法;

二、本节重点
用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问 题。理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。

三、本节难点
用不等式(组)正确表示出不等关系。

四、知识储备
“作差法”比较两个实数的大小和常用的不等式的基本性质 ① 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负,常采用配方、因式分解、有理 化等方法.常用的结论有 x ? 0, ? x ? 0,|x|? 0,-|x|? 0 等.
2 2

② “作差法”的一般步骤是: ①作差;②变形;③判断符号;④得出结论. ③常用的不等式的基本性质

(1)a ? b, b ? c ? a ? c (2)a ? b ? a ? c ? b ? c (3)a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (4)a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

五、通过预习掌握的知识点
实数的运算性质与大小顺序之间的关系 对于任意两个实数 a,b,如果 a>b,那么 a-b 是正数;如 a<b,那么 a-b 是负数;如果 a-b 等于 0. 它们的逆命题也正确.即

(1)a ? b ? a ? b ? 0; (2) a ? b ? a ? b ? 0; (3) a ? b ? a ? b ? 0
1.同向不等式:两个不等号方向相同的不等式。 例如:a>b,c>d,是同向不等式
王新敞
奎屯 新疆

1

异向不等式:两个不等号方向相反的不等式 例如:a>b,c<d,是异向不等式
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

2.不等式的性质:

(1)a ? b, b ? c ? a ? c (2)a ? b ? a ? c ? b ? c (3)a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (4)a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

六、知识运用
①.比较 x ? 3与3x 的大小,其中 x ? R .
2

②.比较当 a ? 0 时, (a2 ? 2a ? 1)(a2 ? 2a ? 1)与(a2 ? a ? 1)(a2 ? a ? 1) 的大小.

③ . 设 实 数 a, b, c 满 足 b ? c ? 6 ? 4a ? 3a2 , c ? b ? 4 ? 4a ? a2 , 则a, b, c 的 大 小 关 系 是 _____________.

④.配制 A, B 两种药剂需要甲、 乙两种原料, 已知配一剂 A 种药需甲料 3 毫克, 乙料 5 毫克, 配一剂 B 药需甲料 5 毫克,乙料 4 毫克。今有甲料 20 毫克,乙料 25 毫克,若 A, B 两种药 至少各配一剂,则 A, B 两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢?用不等式表示出来.

七、重点概念总结
1.两个实数 a 与 b 之间的大小关系

?(1)a-b> 0 ? a>b; ? ?(2)a-b = 0 ? a = b; ? ?(3)a-b< 0 ? a<b.
? a ?(4) b >1 ? a>b; ? ? a ? 若 a、b ? R ,则 ?(5) = 1 ? a = b; ? b ? a (6) <1 ? a<b. ? ? b
2.不等式的性质

(1)a>b ? b<a( 对称性)
2

(2)

a>b ? ? ? a>c( 传递性 ) b>c?

(3)a>b ? a+c>b+c( 加法单调性)
a>b ? ? ? ac>bc c> 0?
(4) (乘法单调性)

a>b ? ? ? ac<bc c< 0 ?

(5)a+b>c ? a>c-b(移项法则)
(6) a>b ? ? ? a+c>b+d( 同向不等式可加 ) c>d ? a>b ? ? ? a-c>b-d( 异向不等式可减 ) c<d ? a>b> 0? ? ? ac>bd( 同向正数不等式可乘 ) c>d> 0? a>b> 0? a b ? ? > ( 异向正数不等式可除 ) c d 0<c<d ?

(7)

(8)

(9)

(10)

a>b>0? n n ? ? a >b ( 正数不等式可乘方) n ?N ? a>b>0? ?? n ?N ?
n

(11)

a > n b ( 正数不等式可开方)

(12)a>b> 0 ?

1 1 < ( 正数不等式两边取倒数 ) a b

3


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