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2014届高三数学辅导精讲精练12


2014 届高三数学辅导精讲精练 12
1.函数 y=log2|x|的图像大致是 ( )

答案 解析

C 函数 y=log2|x|为偶函数,作出 x>0 时 y=log2x 的图像,图像关于 y

轴对称,应选 C. 2.函数 y=ln(1-x)的大致图像为 ( )

答案 解析

C 将函数 y=lnx 的图像关于 y 轴对称,得到 y=ln(-x)的图像,再向右

平移 1 个单位即得 y=ln(1-x)的图像. 1 1 3.为了得到函数 y=3×(3)x 的图像,可以把函数 y=(3)x 的图像 ( A.向左平移 3 个单位长度 C.向左平移 1 个单位长度 答案 解析 D 1 1 1 1 1 y=3×(3)x=(3)-1·3)x=(3)x-1,故它的图像是把函数 y=(3)x 的图像向 ( B.向右平移 3 个单位长度 D.向右平移 1 个单位长度 )

右平移 1 个单位长度得到的. 4.函数 y= 的图像大致是 ( )

答案 解析

C 当 log2x>0,即 x>1 时,f(x)= =x; 1 =x.

当 log2x<0,即 0<x<1 时,f(x)=

1 所以函数图像在 0<x<1 时为反比例函数 y= x的图像, x>1 时为一次函数 y 在 =x 的图像. 4x+1 5.函数 f(x)= 2x 的图像 A.关于原点对称 C.关于 x 轴对称 答案 解析 D f(x)=2x+2-x,因为 f(-x)=f(x),所以 f(x)为偶函数.所以 f(x)的图像 B.关于直线 y=x 对称 D.关于 y 轴对称 ( )

关于 y 轴对称. 6. 已知 lga+lgb=0, 函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=-logbx 的图像可能是 ( )

答案 解析

B 1 ∵lga+lgb=0,∴lgab=0,ab=1,∴b=a.

∴g(x)=-logbx=logax,∴函数 f(x)与 g(x)互为反函数,图像关于直线 y=x 对称,故正确答案是 B.

lg|x| 7.函数 y= x 的图像大致是

(

)

答案

D 1 的图像是 1+|x| ( )

8.函数 f(x)=

答案 解析

C 本 题 通 过 函 数 图 像 考 查 了 函 数 的 性 质 . f(x) = 1 = 1+|x|

1 ?1+x?x≥0?, ? ? 1 ?1-x?x<0?. ?

1 当 x≥0 时, 增大, x 减小, 所以 f(x)在当 x≥0 时为减函数; 1+x

当 x<0 时,x 增大, f(-x)=

1 增大,所以 f(x)在当 x<0 时为增函数.本题也可以根据 1-x

1 1 = =f(x),得 f(x)为偶函数,图像关于 y 轴对称,选 C. 1+|-x| 1+|x|

9.已知函数 f(x)的定义域为[a,b],函数 y=f(x)的图像如下图所示,则函数 f(|x|)的图像大致是 ( )

答案

B ( )

10.设 a<b,函数 y=(x-a)2(x-b)的图像可能是

答案 解析

C 由解析式可知,当 x>b 时,f(x)>0,由此可以排除 A、B 选项.又

当 x≤b 时,f(x)≤0,从而可以排除 D.故本题选择 C. 11.下列命题正确的是 A.函数 y= 2x+1 的图像关于点(2,-1)对称 x-1 ( )

1 π π 1 B.将函数 y=sin(2x-4)的图像向右平移4个单位可得函数 y=sin2x 的图像 C.函数 y=-ex 与 y=e-x 的图像关于原点对称 D.函数 y=a-x 与 y=loga(-x)(a>0 且 a≠1)的图像关于直线 y=x 对称 答案 C

x+2 12.已知函数 y=f(x)与函数 y=lg 10 的图像关于直线 y=x 对称,则函数 y =f(x-2)的解析式为 A.y=10x-2-2 C.y=10x-2 答案 解析 B x+2 x+2 ∵y=lg 10 ,∴ 10 =10y. B.y=10x-1-2 D.y=10x-1 ( )

∴x=10y+1-2,∴f(x)=10x+1-2. ∴f(x-2)=10x-1-2. 13.

(2013· 皖南八校)已知有四个平面图形,分别是三角形、平行四边形、直角梯 形、圆.垂直于 x 轴的直线 l:x=t(0≤t≤a)经过原点 O 向右平行移动,l 在移动 过程中扫过平面图形的面积为 y(选项中阴影部分),若函数 y=f(t)的大致图像如 图所示,则平面图形的形状不可能是 ( )

答案 解析

C 观察函数图像可得函数 y=f(t)在[0,a]上是增函数,即说明随着直线

l 的右移,扫过图形的面积不断增大,从这个角度讲,四个图像都适合.再对图 像作进一步分析, 图像首先是向下凸的,说明此时扫过图形的面积增加得越来越 快,然后是向上凸的,说明此时扫过图形的面积增加得越来越慢.根据这一点很 容易判定 C 项不适合.这是因为在 C 项中直线 l 扫到矩形部分时,面积会呈直 线上升. 14.若函数 f(x)在区间[-2,3]上是增函数,则函数 f(x+5)的单调递增区间是 ________. 答案 解析 [-7,-2] ∵f(x+5)的图像是 f(x)的图像向左平移 5 个单位得到的,

∴f(x+5)的递增区间就是[-2,3]向左平移 5 个单位得到的区间[-7,-2]. 15.已知 x2> 答案 ,则实数 x 的取值范围是________.

{x|x<0 或 x>1} 解析 分别画出函数 y=x2 与 y= 的图像,如图所示,由于两函数的图像

都过点(1,1),由图像可知不等式 x2> 点评

的解集为{x|x<0 或 x>1}. 的解集即为幂函数 y=x2

本题根据幂函数的图像求解,不等式 x2>

的图像在幂函数 y=

的图像上方部分的所有点的横坐标的集合.

16.设函数 f(x)、g(x)的定义域分别为 F、G,且 F? G.若对任意的 x∈F,都 有 g(x)=f(x),则称 g(x)为 f(x)在 G 上的一个“延拓函数”.已知函数 f(x)= 1 (2)x(x≤0),若 g(x)为 f(x)在 R 上的一个延拓函数,且 g(x)是偶函数,则函数 g(x) 的解析式为________. 答案 解析 g(x)=2|x| 1 画出函数 f(x)=(2)x(x≤0)的图像关于 y 轴对称的这部分图像,即可得

到偶函数 g(x)的图像,由图可知:函数 g(x)的解析式为 g(x)=2|x|. |x2-1| 17.(2012· 天津)已知函数 y= 的图像与函数 y=kx-2 的图像恰有两个 x-1 交点,则实数 k 的取值范围是__________. 答案 解析 (0,1)∪(1,4) ?x+1,x≤-1或x>1, y=? ?-x-1,-1<x<1,

函数 y=kx-2 恒过定点 M(0,-2),kMA=0,kMB=4.

当 k=1 时,直线 y=kx-2 在 x>1 时与直线 y=x+1 平行,此时有一个公共 点, ∴k∈(0,1)∪(1,4),两函数图像恰有两个交点. 1 18.如果关于 x 的方程 ax+x2=3 有且仅有一个正实数解,那么实数 a 的取 值范围为________. 答案 {a|a≤0 或 a=2}

解析

1 令 f(x)=ax-3,g(x)=-x2,在同一坐标系中分别作出 f(x)=ax-3 与

1 g(x)=-x2的图像,显然 a≤0.又当 a=2 时,f(x)=g(x)有且只有一个正的实数解. 19.作图:(1)y=a|x-1|,(2)y=loga|x-1|,(3)y=|loga(x-1)|(a>1). 答案

解析

(1)的变换是:y=ax→y=a|x|→y=a|x-1|,而不是:y=ax→y=ax-1→y

=a|x-1|,这需要理解好 y=f(x)→y=f(|x|)的交换.(2)题同(1),(3)与(2)是不同的变 换,注意区别. 20.已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)若关于 x 的方程 f(x)-a=x 至少有三个不相等的实数根, 求实数 a 的取值 范围. 解析
2 ??x-2? -1,x∈?-∞,1]∪[3,+∞?, f(x)=? 作出图像如图所示. 2 ?-?x-2? +1,x∈?1,3?.

(1)递增区间为[1,2],[3,+∞), 递减区间为(-∞,1],[2,3]. (2)原方程变形为|x2-4x+3|=x+a,于是,设 y=x+a,在同一坐标系下再 作出 y=x+a 的图像.如图. 则当直线 y=x+a 过点(1,0)时 a=-1; ?y=x+a, 当直线 y=x+a 与抛物线 y=-x2+4x-3 相切时,由? ?x2 2 ?y=-x +4x-3 -3x+a+3=0. 3 由 Δ=9-4(3+a)=0,得 a=-4.

3 由图像知当 a∈[-1,-4]时方程至少有三个不等实根.

1.(2013· 山东潍坊)若直角坐标平面内的两点 P,Q 满足条件:①P,Q 都在 函数 y=f(x)的图像上;②P,Q 关于原点对称.则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的 一对“友好点对”(点对[P, Q]与[Q, P]看作同一对“友好点对”). 已知函数 f(x) ?log2x,x>0, =? 2 则此函数的“友好点对”有 ?-x -4x,x≤0, A.0 对 C.2 对 答案 解析 C ?log2x,x>0, 函数 f(x)=? 2 的图像及函数 f(x)=-x2-4x(x≤0)的图 -x -4x,x≤0 ? B.1 对 D.3 对 ( )

像关于原点对称的图像如图所示.

则 A,B 两点关于原点的对称点一定在函数 f(x)=-x2-4x(x≤0)的图像上, 故函数 f(x)的“友好对点”有 2 对,选 C. 1 2.(2012· 山东)设函数 f(x)= x ,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0).若 y=f(x) 的图像与 y=g(x)的图像有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下 列判断正确的是 A.当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2>0 B.当 a<0 时,x1+x2>0,y1+y2<0 C.当 a>0 时,x1+x2<0,y1+y2<0 D.当 a>0 时,x1+x2>0,y1+y2>0 答案 解析 B 方法一 ( )

由题意知满足条件的两函数图像只有图(1)与图(2)两种情况, 图(1)中,作 B 关于原点的对称点 B′,据图可知: 当 a<0 时,x1+x2>0,y1+y2<0,故 B 正确. 图(2)中,作 A 关于原点的对称点 A′,据图可知: 当 a>0 时,x1+x2<0,y1+y2>0,C,D 均错. 方法二 1 1 =ax2+bx?x2=ax+b, x 1 分别作出 y=x2和 y=ax+b 的图像,如下:

不妨设 x1<0,x2>0, 当 a>0 时,x1+x2<0, 1 1 x1+x2 y1+y2=x +x = x x >0. 1 2 1 2 1 1 x1+x2 当 a<0 时,x1+x2>0,y1+y2=x +x = x x <0.故选 B.
1 2 1 2

1 3.(2012· 陕西宝鸡质检)函数 f(x)=lnx-2x2 的图像大致是

(

)

答案 解析

B 1 ∵f′(x)= x -x=0 在(0,+∞)上的解为 x=1,且在 x∈(0,1)时,

f′(x)>0,函数单调递增;

故 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,函数单调递减. 1 故 x=1 为极大值点,f(1)=-2<0,故选 B. 1 4. a>1, 设 对于实数 x, 满足: y |x|-loga y=0, y 关于 x 的函数图像是 ( 则 )

答案

B

解析

??1?x,x≥0, ?a 1 由题意知 y=a|x|,∴y=? 1 ??a? x,x<0. ?


∵a>1,∴函数在[0,+∞)上是减函数,经过点(0,1),且函数为偶函数.故 图像关于 y 轴对称.故选 B. 5.已知函数 f(x)=x|m-x|(x∈R),且 f(4)=0. (1)求实数 m 的值; (2)作出函数 f(x)的图像; (3)根据图像指出 f(x)的单调递减区间; (4)根据图像写出不等式 f(x)>0 的解集; (5)求当 x∈[1,5)时函数的值域. 解析 (1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即 m=4.

(2)f(x)=x|x-4|
2 ?x?x-4?=?x-2? -4,x≥4, =? 2 ?-x?x-4?=-?x-2? +4,x<4.

f(x)的图像如图所示. (3)f(x)的减区间是[2,4]. (4)由图像可知 f(x)>0 的解集为

{x|0<x<4 或 x>4}. (5)∵f(5)=5>4, 由图像知,函数在[1,5]上的值域为[0,5). 6.已知函数 f(x)=|x-3|+|x+1|. (1)作出 y=f(x)的图像; (2)解不等式 f(x)≤6.

解析

?-2x+2,x≤-1, (1)f(x)=|x-3|+|x+1|=?4,-1<x≤3, ?2x-2,x>3.

图像如下图所示:

(2)由 f(x)≤6,得当 x≤-1 时,

-2x+2≤6,x≥-2. ∴-2≤x≤-1; 当-1<x≤3 时,4≤6 成立; 当 x>3 时,2x-2≤6,x≤4, ∴3<x≤4. ∴不等式 f(x)≤6 的解集为[-2,4]. 另解:(数形结合) 由上图可知,不等式 f(x)≤6 的解集为{x|-2≤x≤4}. 7.已知函数 f(x)=ax3-x2+cx(a≠0)的图像如下所示,它与 x 轴仅有两个交 点 O(0,0)和 A(xA,0)(xA>0).

(1)证明:常数 c≠0; 1 (2)如果 xA=2,求函数 f(x)的解析式. 解析 (1)反证法:假设 c=0,则 y=x2(ax-1).

1 ∴xA=a>0. 当 x>xA 时,f(x)>0;当 x<xA 时,f(x)<0.这与图像所给的当 0<x<xA 时 f(x)>0 矛盾,∴c≠0. (2)f(x)=x(ax2-x+c). ∵函数的图像与 x 轴有且仅有两个公共点, 1 ∴ax2-x+c=0 有两个相等的实数根 x=2. ?a=1, ? 1 1 1 ∴a=2+2=1 且 Δ=1-4ac=0,解得? 1 ?c=4. ? 1 故所求函数为 f(x)=x3-x2+4x.


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