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2012届高三理科数学一轮总复习第五章 三角函数(教师用书)

三角函数
5.1 任意角的三角函数的概念
典例精析
题型一 象限角与终边相同的角 【例 1】若 α 是第二象限角,试分别确定 2α、

?
2

的终边所在的象限. ) D.第一或第四象限角

【变式训练 1】若角 2α 的终边在 x 轴上方,那么角 α 是( A.第一象限角

B.第一或第二象限角 C.第一或第三象限角

题型二 弧长公式,面积公式的应用 【例 2】已知一扇形的中心角是 α,所在圆的半径是 R.(1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面 积;(2)若扇形的周长是一定值 C(C>0),当 α 为多少弧度时,该扇形的面积有最大值?并求出这个最大值.

【变式训练 2】已知一扇形的面积为定值 S,当圆心角 α 为多少弧度时,该扇形的周长 C 有最小值?并求出最小值.

题型三 三角函数的定义,三角函数线的应用 【例 3】(1)已知角 α 的终边与函数 y=2x 的图象重合,求 sin α;(2)求满足 sin x≤ 3 的角 x 的集合. 2

【变式训练 3】函数 y=lg sin x+

1 cos x- 的定义域为 2

.

5.2 同角三角函数的关系、诱导公式
典例精析
题型一 三角函数式的化简问题

3π 【变式训练 1】已知 f(x)= 1-x,θ∈( ,π),则 f(sin 2θ)+f(-sin 2θ)= 4 题型二 三角函数式的求值问题

.

【例 2】已知向量 a=(sin θ,cos θ-2sin θ),b=(1,2).(1)若 a∥b,求 tan θ 的值;(2)若|a|=|b|,0<θ<π,求 θ 的值.

1 【变式训练 2】已知 tan α= ,则 2sin αcos α+cos2α 等于( 2 4 A. 5 8 B. 5 6 C. 5

) D.2

题型三 三角函数式的简单应用问题 π 1 π π 【例 3】已知- <x<0 且 sin x+cos x= ,求:(1)sin x-cos x 的值;(2)sin3( -x)+cos3( +x)的值. 2 5 2 2 1-cos4α-sin4α 【变式训练 3】化简 . 1-cos6α-sin6α

5.3 两角和与差、二倍角的三角函数
典例精析 题型一 三角函数式的化简 ? ? (1 ? sin ? ? cos ? )(sin ? cos )
【例 1】化简

2 ? 2 cos ?

2

2 (0<θ<π).

1 2cos4x-2cos2x+ 2 【变式训练 1】化简 . π 2 π 2tan( -x)sin ( +x) 4 4

题型二 三角函数式的求值 x x 【例 2】已知 sin -2cos =0.(1)求 tan x 的值;(2)求 2 2 2cos 5° -sin 25° 【变式训练 2】 = sin 65° .

cos 2x 的值. π 2cos( +x)sin x 4

题型三 已知三角函数值求解 1 1 【例 3】已知 tan(α-β)= ,tan β=- ,且 α,β∈(0,π),求 2α-β 的值. 2 7

【变式训练 3】若 α 与 β 是两锐角,且 sin(α+β)=2sin α,则 α 与 β 的大小关系是( A.α=β B.α<β C.α>β D.以上都有可能

)

5.4 三角恒等变换
典例精析
题型一 三角函数的求值 π π α α 【例 1】已知 0<α< ,0<β< ,3sin β=sin(2α+β),4tan =1-tan2 ,求 α+β 的值. 4 4 2 2 3 π 1 π 【变式训练 1】如果 tan(α+β)= ,tan(β- )= ,那么 tan(α+ )等于( ) 5 4 4 4 13 13 7 3 A. B. C. D. 18 22 23 18 题型二 等式的证明 sin β sin(2α+β) 【例 2】求证: = -2co s(α+β). sin α sin α 【变式训练 2】已知 5sin α=3sin(α-2β),求证:tan(α-β)+4tan β=0. 题型三 三角恒等变换的应用 【例 3】已知△ABC 是非直角三角形.(1)求证:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C; sin 2B (2)若 A>B 且 tan A=-2tan B,求证:tan C= ;(3)在(2)的条件下,求 tan C 的最大值. 3-cos 2B

【变式训练 3】在△ABC 中,tan B+tan C+ 3tan Btan C= 3, 3tan A+ 3tan B+1=tan Atan B,试判断△ABC 的形状.

5.5 三角函数的图象和性质
典例精析
题型一 三角函数的周期性与奇偶性 x x x cos + 3cos . 4 4 2 π (1)求函数 f(x)的最小正周期;(2)令 g(x)=f(x+ ),判断 g(x)的奇偶性. 3

【例 1】已知函数 f(x)=2sin

【变式训练 1】函数 y=sin2x+sin xcos x 的最小正周期 T 等于( π A.2π B.π C. 2 题型二 求函数的值域 【例 2】求下列函数的值域: sin 2xsin x (1)f(x)= ; 1-cos x π (2)f(x)=2cos( +x)+2cos x. 3 【变式训练 2】求 y=sin x+cos x+sin xcos x 的值域. 题型三 三角函数的单调性

) π D. 3

π 【例 3】已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(φ>0,|φ|<π)的部分图象如图所示.(1)求 ω,φ 的值;(2)设 g(x)=f(x)f(x- ),求函数 4 g(x)的单调递增区间.

π 【变式训练 3】使函数 y=sin( -2x)(x∈[0,π])为增函数的区间是( 6 π A.[0, ] 3 π 7π B.[ , ] 12 12 π 5π C.[ , ] 3 6

) 5π D.[ ,π] 6

5.6 函数 y=Asin(ωx+ ? )的图象和性质
典例精析
题型一 “五点法”作函数图象 【例 1】设函数 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx(ω>0)的周期为 π.(1)求它的振幅、初相;(2)用五点法作出它在长度为一个周期 的闭区间上的图象;(3)说明函数 f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换得到. 【变式训练 1】函数 1 1 π A.k= ,ω= ,φ= 2 2 6 1 1 π B.k= ,ω= ,φ= 2 2 3 1 π C.k= ,ω=2,φ= 2 6 1 π D.k=-2,ω= ,φ= 2 3 题型二 三角函数的单调性与值域 π π 【例 2】已知函数 f(x)=sin2ωx+ 3sin ωxsin(ωx+ )+2cos2ωx,x∈R(ω>0)在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 . 2 6 (1)求 ω 的值; π (2)若将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 6 函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)的最大值及单调递减区间. 的图象如图所示,则(

)

π π 【变式训练 2】 若将函数 y=2sin(3x+φ)的图象向右平移 个单位后得到的图象关于点( , 0)对称, 则|φ|的最小值是( 4 3 π π π 3π A. B. C. D. 4 3 2 4 题型三 三角函数的综合应用

)

π 【例 3】已知函数 y=f(x)=Asin2(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ< )的最大值为 2,其图象相邻两对称轴间的距离为 2,并过 2 点(1,2).(1)求 φ 的值;(2)求 f(1)+f(2)+?+f(2 008).

【变式训练 3】已知函数 f(x)=Acos2 ωx+2(A>0,ω>0)的最大值为 6,其相邻两条对称轴间的距离为 4,则 f(2)+f(4) +f(6)+?+f(20)= .

5.7 正弦定理和余弦定理 典例精析
题型一 利用正、余弦定理解三角形 3 【例 1】在△ABC 中,AB= 2,BC=1,cos C= .(1)求 sin A 的值;(2)求 BC ? CA 的值. 4 a2+b2-c2 【变式训练 1】在△ABC 中,已知 a、b、c 为它的三边,且三角形的面积为 ,则∠C= 4 题型二 利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题 π π 【例 2】设△ABC 是锐角三角形,a、b、c 分别是内角 A、B、C 所对的边长,并且 sin2A=sin( +B)sin( -B)+sin2B. 3 3 (1)求角 A 的值;(2)若 AB ? AC =12,a=2 7,求 b,c(其中 b<c). 【变式训练 2】在△ABC 中,a、b、c 分别是 A、B、C 的对边,且满足(2a-c)cos B=bcos C. (1)求角 B 的大小;(2)若 b= 7,a+c=4,求△ABC 的面积. 题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用 【例 3】(2010 陕西)如图所示,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点.现位于 A 点北偏东 45° , B 点北偏西 60° D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60° 的 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救 援船立即前 往营救,其航行速度为 30 海里/小时,则该救援船到达 D 点需要多长时间?

.

5.8
典例精析

三角函数的综合应用

题型一 利用三角函数的性质解应用题

【例 1】如图,ABCD 是一块边长为 100 m 的正方形地皮,其中 AST 是一半径为 90 m 的扇形小山,其余部分都是 平地.一开发商想在平地上建一个矩形 停车场,使矩形的一个顶点 P 在 BC、CD 上,求矩形停车场 PQCR 面积的最大值和最小值. π 【变式训练 1】若 0<x< ,则 4x 与 sin 3x 的大小关系是( 2 A.4x>sin 3x C.4x≥sin 3x 题型二 函数 y=Asin(ωx+φ)模型的应用 B.4x<sin 3x D.与 x 的值有关 ) 上,相邻两边 CQ、CR 分别落在正方形的边

【例 2】已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作 y=f(t).下表是某日各时的 浪花高度数据.

经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acos ωt+b. (1)根据以上数据,求出函数 y=Acos ωt+b 的最小正周期 T、振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放. 请依据(1)的结论,判断一天内的上午 8:00 至晚上 20: 00 之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?

【变 式训练 2】 如图, 一个半径为 10 m 的水轮按逆时针方向每分钟转 4 圈, 记水轮上的点 P 到水面的距离为 d m(P 在水面下则 d 为负数),则 d(m)与时间 t(s)之间满足关系式:d=Asin(ωt+φ)+k(A>0,ω π π >0,- <φ< ),且当点 P 从水面上浮现时开始计算时间,有以下四个结论:①A=10; 2 2 2π π ②ω= ;③φ= ;④k=5.其中正确结论的序号是 15 6 【解析】①②④. .

题型三 正、余弦定理的应用 【例 3】为了测量两山顶 M、N 间的距离,飞机沿水平方向在 A、B 两点进行测量,A、B、M、N 在同一个铅垂平面内 (如图所示),飞机 能测量的数据有俯角和 A、B 之间的距离,请设计一个方案,包括:(1)指出需测量的数据(用字母表 示,并在图中标示);(2)用文字和公式写出计算 M、N 间距离的步骤.

【变式训练 3】一船向正北方向匀速行驶,看见正西方向两座相距 10 海里的灯塔恰好与该船在同一直线上,继续航行 半小时后,看见其中一座灯塔在南偏西 60° 方向上,另一灯塔在南偏西 75° 方向上,则该船的速度是 海里/小时.


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