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山东省青岛二中2014届高三12月阶段性检测 数学文 Word版含答案


2014 届高三阶段性检测 文科数学
第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.
1.已知全集 U A. [0, ??)

? R , A ? {y | y ? 2x ?1},则 CU A ?
B. ( ??, 0) C. (0, ??) D. ( ??, 0]

2.已知直线 m、n 和平面α ,在下列给定的四个结论中,m∥n 的一个必要但不充分条件是 A.m∥α ,n∥α C.m∥α ,n? α 3.向量 a B.m⊥α ,n⊥α D.m、n 与α 所成的角相等

1 ? ? ( , tan ? ) , b ? (cos ? ,1) ,且 a ∥ b ,则 cos( ? ? ) ? 3 2
B.

A.

1 3

?

1 3

C.

?

2 3

D.

?

2 2 3

4.在正项等比数列 {a n } 中, lg a3 A.

? lg a6 ? lg a9 ? 6 ,则 a1 a11 的值是
C.

10000

B.

1000

100

D.

10

5.已知

x a ? 0, 且 a ? 1 ,函数 y ? loga x, y ? a , y ? x ? a 在同一坐标系中的图象可能是

y
1 1

y
1

y
1

y

O
A
6. 定义运算 范围是

1

x

O
B

1

x

O
C

1

x

O
D

1

x

a b x ?1 2 在 (??, m) 上单调递减,则实数 m 的取值 ? ad ? bc ,若函数 f ? x ? ? c d ?x x ? 3

A. (?2, ??)

B. [?2, ??)

C. (??, ?2)

D. (??, ?2]

? x ? y ?1 ? 0 ? 7.已知 x, y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? 3 y 的最小值是 ?x ? 2 ?
A.

7 2

B. ?4

C. ?7

D. ?8

8.已知函数

f ( x) ? sin ? x 在[0,

3? 4

]恰有 4 个零点,则正整数 ? 的值为.

A.2 或 3 B.3 或 4 C.4 或 5 9.函数

D.5 或 6 .

y ? 2 ? 3x ?

4 ? x ? 0 ? 的最大值是 x

A. 2 ? 2

3

B.

2?4 3

C.

2?2 3

D.

2?4 3

10.在 ?ABC 中,若 sin A ? sin A cos C ? cos A sin C ,则 ?ABC 的形状是. A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角形 11. 设 、 都是非零向量, 下列四个条件中, 一定能使 成立的是 A .

a

b

a b ? ?0 |a| |b|

1 a?? b 3

B.

a / /b

C.

a ? 2b

D.

a?b

12. 已 知

9 2 x ? 6 x ? abc, a<b<c, 且f (a ) ? f (b) ? f (c) ? 0 , 现 给 出 如 下 结 论 : ① 2 f (0) f (1) > 0 ;② f (0) f (1)<0 ;③ f (0) f (2)>0 ;④ f (0) f (2)<0 .其中正确结论的序号为: f ( x) ? x3 ?
B.①④ C.②④ D.②③

A.①③

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 已 知 某 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 ( 主 视 图 的 弧 线 是 半 圆 ) , 根 据 图 中 标 出 的 数 据 , 这 个 几 何 体 的 体 积 是 .

14.若直线 l 与幂函数

y ? xn 的图象相切于点 A( 3,3 3) ,则直线 l 的方程为

.

15. 已 知 函 数 时,

f ( x)

是 (-?,+?) 上 的 奇 函 数 , 且

f ( x)

的图象关于直线 .

x ? 1 对 称 , 当 x ? [?1, 0]

f ( x) ? ? x ,则 f (2013) ? f (2014) ?

16.若对任意 x ?

A, y ? B , ( A 、 B ? R )有唯一确定的 f ( x, y ) 与之对应,称 f ( x, y ) 为关于 x 、 y

的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数 (1)非负性: (2)对称性:

f ( x, y ) 为关于实数 x 、 y 的广义“距离”:

f ( x, y) ? 0 ,当且仅当 x ? y ? 0 时取等号;
f ( x, y ) ? f ( y , x ) ; f ( x, y ) ? f ( x, z ) ? f ( z , y ) 对任意的实数 z 均成立.

(3)三角形不等式:

今 给 出 四 个 二 元 函 数 : ①

f ( x, y) ? x2 ? y 2

; ②

f ( x , y ) ? ( x ? y )2



f ( x, y) ? x ? y ;④ f ( x, y) ? sin( x ? y) .
能够成为关于的 x 、

y 的广义“距离”的函数的所有序号是

.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分. 17、已知函数 (Ⅰ)求函数

f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3sin 2 ? x ? 3 ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? .
f ( x) 的单调增区间;

(Ⅱ)将函数

f ( x) 的图象向左平移

? 6

个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数

y ? g ( x) 的图象.求

y ? g ( x) 在区间 [0,10? ] 上零点的个数.

18.在 ?ABC 中,角 (Ⅰ)求角

A、B、C 对边分别是 a、b、c ,且满足 2bc cos A ? a2 ? (b ? c)2 .

(Ⅱ)若 a ? 4 3 , ?ABC 的面积为 4 3 ;求 b, c . A 的大小;

19. 已知等比数列 {an } 为递增数列, 且 a5 (Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)令 cn

2

? a10 , 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,n ? N? .

? ? 1 ? (?1)n an ,不等式 ck ? 2014(1? k ? 100,k ? N )的解集为

M ,求所有 ak (k ? M ) 的和.
20.在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,DB=BC,DB⊥AC,点 M 是棱 BB1 上一点. (1)求证:B1D1∥平面 A1BD;(2)求证:MD⊥AC; (3)试确定点 M 的位置,使得平面 DMC1⊥平面 CC1D1D.

21.某连锁分店销售某种商品, 每件商品的成本为 4 元,并且每件商品需向总店交 a(1 ? a ? 3) 元的管理费 ,预 计当每件商品的售价为 x(7 ?

x ? 9) 元时,一年的销售量为 (10 ? x)2 万件.

(1)求该连锁分店一年的利润 L (万元)与每件商品的售价 x 的函数关系式 L( x ) ; (2)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值.

22.已知函数

f ?x? ? ?1 ? x? ? a ln?1 ? x?
2

2



?? 2, ? 1? 上是增函数, ?? ?, ? 2? 上是减函数.

(1)求函数

f ?x ? 的解析式;
1 ? 1, e ? 1] 时, f ?x ? ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围; e

(2)若 x ? [

(3)是否存在实数 b,使得方程

f ?x? ? x2 ? x ? b 在区间 [0 , 2] 上恰有两个相异实数根,若存在,求出 b

的范围,若不存在说明理由.

2014 届高三阶段性检测 文数参考答案
一、选择题:B D B A C 二、填空题:13.288+36 ? 17.解: (Ⅰ)由题意得 D C C B B 14. 9 x ? A D

y ?6 3 ? 0

15. ?1

16.①

f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin 2 ? x ? 3

? sin 2? x ? 3 cos 2? x ? 2sin(2? x ? ) 3
由周期为 ? ,得 ?

?

??????2 分 ??????4 分

?1.



f ? x ? ? 2sin(2 x ? ) 3

?

由正弦函数的单调增区间得

2 k? ?

?
2

所以函数

12 ? 5? f ( x) 的单调增区间 [k? ? , k? ? ] , k ? Z . 12 12
f ( x) 的图象向左平移

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

,得 k?

?

?

? x ? k? ?

5? ,k ?Z 12
????6 分

(Ⅱ)将函数 得到

y ? 2sin 2 x ? 1 的图象,所以 g ( x) ? 2sin 2 x ? 1 7? 11? (k ? Z) 令 g ( x) ? 0 ,得: x ? k? ? 或 x ? k? ? 12 12
所以函数在每个周期上恰有两个零点,

? 个单位,再向上平移 1 个单位, 6
????????8 分 ???10 分

?0,10? ? 恰为 10 个周期,故 g ( x) 在 ?0,10? ? 上有 20 个零点
a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A
2 2

???12 分

18.解: (Ⅰ)由余弦定理得 ?????2 分

代入 2bc cos A ? a ? (b ? c) 得 4bc cos A ? ?2bc ,?????4 分 ∴ cos A ? ? (Ⅱ) S

2? 1 , ∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ? ??????6 分 3 2

1 ? bc sin A ? 4 3 ? bc ? 16 ??????8 分 2 2 a ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c 2 ? 32 ? b ? c ? 8 ???10.

解得: b

? c ? 4 ………………12 分

19 解: (Ⅰ)设 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q , 所以 (a1q
4 2

) ? a1q9 ,解得 a1 ? q

????2 分

又因为 2(an 则 2(1 ? q
2

? an?2 ) ? 5an?1 ,所以 2(an ? an q2 ) ? 5an q

) ? 5q , 2q2 ? 5q ? 2 ? 0 ,解得 q ?

1 (舍)或 q ? 2 2

?4 分

所以 an

? 2 ? 2n?1 ? 2n

????6 分

(Ⅱ)则 cn

? 1 ? (?1)n an ? 1 ? (?2)n ,
? 1 ? 2n ? 2014 ,即 2n ? ?2013 ,不成立 ? 1+2n ? 2014 ,即 2n ? 2013 ,
????10 分 ????8 分

当 n 为偶数, cn 当 n 为奇数, cn 因为 2
10

=1024, 211 =2048 ,所以 n ? 2m ? 1,5 ? m ? 49
组 成 首 项 为
1 0 ?2 3 1

{ak }(k ? M )

211

, 公 比 为

4

的 等 比 数 列 , 则 所 有

ak (k ? M )

的 和

4 5 21 1 ( ? 1 4 ) ? 1? 4

?????12 分

2 0 4 8

20、解析 (1)由直四棱柱概念,得 BB1 綊 DD1, ∴四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴B1D1∥BD. 而 BD? 平面 A1BD,B1D1?平面 A1BD,∴B1D1∥平面 A1BD.[来 w (2)∵BB1⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD,∴BB1⊥AC. 又∵BD⊥AC,且 BD∩BB1=B,∴AC⊥平面 BB1D1D. 而 MD? 平面 BB1D1D,∴MD⊥AC. (3)当点 M 为棱 BB1 的中点时,取 DC 的中点 N,D1C1 的中点 N1,连接 NN1 交 DC1 于 O,连接 OM,如图所示. ∵N 是 DC 的中点,BD=BC,∴BN⊥DC.又∵DC 是平面 ABCD 与平面 DCC1D1 的交线,而平面 ABCD⊥平面 DCC1D1,∴

w w .x k m

BN⊥平面 DCC1D1.[来 www.1.com]又可证得,O 是 NN1 的中点,∴BM 綊 ON,即四边形 BMON 是平行四边形,
∴BN∥OM,∴OM⊥平面 CC1D1D,

?????10 分 ? L(7) ? 27 ? 9a 2 3 ②当 6 ? a ? 7 ,即 ? a ? 3 时, 3 2 2 2 ? x ? [7, 6 ? a ] 时, L' ( x) ? 0 ; x ? [6 ? a,9] 时, L?( x) ? 0 3 3 2 2 ? L( x) 在 x ? [7, 6 ? a ] 上单调递增;在 x ? [6 ? a,9] 上单调递减, 3 3 2 a 3 故 L( x) max ? L(6 ? a ) ? 4(2 ? ) 3 3 3 答:当 1 ? a ? 每件商品的售价为 7 元时,该连锁分店一年的利润 L 最大, 2 最大值为 27 ? 9 a 万元; 3 a 3 2 当 ? a ? 3 每件商品的售价为 6 ? a 元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,最大值为 4(2 ? ) 万元. 2 3 3 故 L( x)max 22.解:⑴f ?

?x ? ? 2 x ? 2 ? 2?1 ? x ?2a ? 2?x ? 1? ? 2a x ?1 ?x ? 1?
f ??2? ? ?2 ? 2a ? 0 ,所以 a ? 1 ,从而 f ?x? ? ?x ? 1? ? ln?x ? 1?
2 2

依题意得

??2 分



f ??x ? ?

2?x ? 1? ? 2 2 x?x ? 2? ? x ?1 x ?1
2



2 ,所以 m ? f ?e ? 1? ? e ? 2 f ??x ? ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? ?2 (舍去)

?????6 分

⑶ 设F 即F

?x? ? ?1 ? x?2 ? ln?1 ? x?2 ? x2 ? x ? b ,
????7 分

?x? ? x ? ln?1 ? x?2 ? 1 ? b , x ? [0, 2] .
?x ? ? 1 ?

又 F?

2 x ?1 ? ,令 F ??x ? ? 0 ,得 1 ? x ? 2 ;令 F ?? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? 1 . 1? x x ?1

所以函数 F

?x ? 的增区间 ?1, 2? ,减区间 ?0, 1? .

要使方程有两个相异实根,则有

? F ?0 ? ? 1 ? b ? 0 ? ? F ?1? ? 2 ? 2 ln 2 ? b ? 0 ? b ,解得 2 ? 3 ln 2 ? b ? 3 ? 2 ln 3 ? F ?2 ? ? 3 ? 2 ln 3 ? b ? 0 ?


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