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3.1.2 两条直线平行与垂直的判定


1 斜率存在时两直线平行.

y

l1 l2

?1
O

?2
x

结论1: 如果直线L1,L2的斜率为k1,k2. 那么 L1∥L2 ? k1=k2
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的, 缺少这个前提,结论并不成立.

特殊情况下的两直线平行: 两直线的倾斜角都为90°,互相平行.

例: 求与直线2x+3y+5=0平行,且在两坐标轴上的截距之

5 和为 6

的直线的方程.

一般地,直线Ax+By+C=0中系数A、B确定直线的斜率, 因此,与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+?=0 , 其中?待定(直线系)

1 若直线 x - 2ay = 1和 2 x - 2ay = 1 平行,则 a =

0


1

2 若直线 x + ay = 2a + 2和 ax + y = a + 1平行,则 a =
3 直线 Ax - 2 y - 1 = 0和直线 6 x - 4 y + C = 0平行 的条件是 。

2 斜率存在时两直线垂直.
y
y

y
l2

l1 ?2
O

l2 ?1
x

l1

l1 ?1
x
O

l2 ?2
x

?1
O

?2







结论2: 如果两直线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直 的充要条件是k1·k2= -1 注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的, 缺少这个前提,结论并不存立. 特殊情况下的两直线平行与垂直. 当两条直线中有一条直线没有斜率时: 当另一条直线的斜率为0时, 则一条直线的倾斜角为900,另一条直线的倾斜角为0° 两直线互相垂直
l1 ? l 2 ? k 1 ? k 2 = - 1或 l1 , l 2 一斜率不存在另一斜率 为0

例4 已知直线 (a + 2) x + (1 - a ) y - 3 = 0 与

(a - 1) x + (2a + 3) y + 2 = 0 互相垂直,求?的值

例5: 求过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线的方程
注意: ①解法一求直线方程的方法是通法,必须掌握; ②解法二是常常采用的解题技巧:

一般地,由于与直线Ax+By+C=0垂直的直线的斜率互为负 倒数,故可得其方程为Bx-Ay+?=0 ,其中?待定(直线系)

1

如果直线L1,L2的方程为 L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0)
A1 B1 C1 ? 那么L1∥L2的充要条件是 = A2 B2 C2

2

如果直线L1,L2的方程为 L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0)

那么L1⊥L2的充要条件是A1A2+B1B2=1

如果直线L1,L2的斜截式方程为 L1:y=k1x+b1,L2:y=k2x+b2, 那么L1∥L2 ? k1=k2且b1≠b2
l1 // l 2 ? k 1 = k 2 且 b1 ? b 2 或 l1 , l 2 斜率都不存在且不重合

例1: 两条直线L1:2x-4y+7=0,L2:x-2y+5=0求证:L1∥L2
例2: 求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程。
注意: ①解法一求直线方程的方法是通法,必须掌握; ②解法二是常常采用的解题技巧。


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