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必修二立体几何单元测试题(详细答案)


立体几何单元测试

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.下面四个命题: ①分别在两个平面内的两直线是异面直线; ②若两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面; ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行; ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行. 其中正确的命题是( A.①② C.①③ 答案:B 2.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是( A.平行 C.平行或相交 B.相交 D.不相交 ) ) B.②④ D.②③

解析:由棱台的定义知,各侧棱的延长线交于一点,所以选 B. 答案:B 3.一直线 l 与其外三点 A,B,C 可确定的平面个数是( A.1 个 C.1 个或 3 个 B.3 个 D.1 个或 3 个或 4 个 )

解析:当 A、B、C 共线且与 l 平行或相交时,确定一个平面;当 A、B、C 共线且与 l 异面时,可确定 3 个平面;当 A、B、C 三点不共线时,可确定 4 个平面. 答案:D 4.若三个平面两两相交,有三条交线,则下列命题中正确的是( A.三条交线为异面直线 B.三条交线两两平行 C.三条交线交于一点 D.三条交线两两平行或交于一点 答案:D 5.如图,在△ABC 中,∠BAC=90° ,PA⊥面 ABC,AB=AC,D 是 BC 的中点,则图 中直角三角形的个数是( ) )

A.5 C.10

B.8 D.6

解析:这些直角三角形是:△PAB,△PAD,△PAC,△BAC,△BAD,△CAD,△PBD, △PCD.共 8 个. 答案:B 6.下列命题正确的有( )

①若△ABC 在平面 α 外,它的三条边所在直线分别交 α 于 P、Q、R,则 P、Q、R 三点 共线. ②若三条平行线 a、b、c 都与直线 l 相交,则这四条直线共面. ③三条直线两两相交,则这三条直线共面. A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个

解析:易知①与②正确,③不正确. 答案:C 7.若平面 α⊥平面 β,α∩β=l,且点 P∈α,P?l,则下列命题中的假命题是( A.过点 P 且垂直于 α 的直线平行于 β B.过点 P 且垂直于 l 的直线在 α 内 C.过点 P 且垂直于 β 的直线在 α 内 D.过点 P 且垂直于 l 的平面垂直于 β 答案:B )

8.如右图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,M、 N 分别是棱 DD1、D1C1 的中点,则直线 OM( A.与 AC、MN 均垂直相交 B.与 AC 垂直,与 MN 不垂直 C.与 MN 垂直,与 AC 不垂直 D.与 AC、MN 均不垂直 )

解析:易证 AC⊥面 BB1D1D,OM?面 BB1D1D,∴AC⊥OM.计算得 OM2+MN2=ON2 =5,∴OM⊥MN. 答案:A

9.(2010· 江西高考)如图,M 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点,给出下列四 个命题: ①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB,B1C1 都相交; ②过 M 点有且只有一条直线与直线 AB,B1C1 都垂直; ③过 M 点有且只有一个平面与直线 AB,B1C1 都相交; ④过 M 点有且只有一个平面与直线 AB,B1C1 都平行. 其中真命题是( A.②③④ C.①②④ ) B.①③④ D.①②③

解析: 将过点 M 的平面 CDD1C1 绕直线 DD1 旋转任意非零的角度, 所得平面与直线 AB, B1C1 都相交,故③错误,排除 A,B,D. 答案:C 10.已知平面 α 外不共线的三点 A、B、C 到 α 的距离相等,则正确的结论是( A.平面 ABC 必平行于 α B.平面 ABC 必不垂直于 α C.平面 ABC 必与 α 相交 D.存在△ABC 的一条中位线平行于 α 或在 α 内 解析:排除 A、B、C,故选 D. 答案:D 11.(2009· 广东高考)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直. 其中,为真命题的是( A.①和② ) B.②和③ )

C.③和④ 答案:D

D.②和④

12.(2009· 海南、宁夏高考)如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上 1 有两个动点 E、F,且 EF= ,则下列结论错误的是( 2 A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.三棱锥 A—BEF 的体积为定值 D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 解析:易证 AC⊥平面 BB1D1D,∴AC⊥BE. ∵EF 在直线 B1D1 上,易知 B1D1∥面 ABCD,∴EF∥面 ABCD, 1 1 1 2 2 VA-BEF= × × ×1× = . 3 2 2 2 24 ∴A、B、C 选项都正确,由排除法即选 D. 答案:D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.把答案填在题中横线上) 13.已知 A、B、C、D 为空间四个点,且 A、B、C、D 不共面,则直线 AB 与 CD 的位 置关系是________. 解析:如图所示:由图知,AB 与 CD 为异面直线. )

答案:异面 14.在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上分别取点 E、F、G、H,如果 EH、 FG 相交于一点 M,那么 M 一定在直线________上. 答案:BD 15. 如下图所示, 以等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 上的高 AD 为折痕. 使△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面,则:

(1)BD 与 CD 的关系为________. (2)∠BAC=________. 解析:(1)AB=AC,AD⊥BC, ∴BD⊥AD,CD⊥AD, ∴∠BDC 为二面角的平面角,∠BDC=90° , ∴BD⊥DC. (2)设等腰直角三角形的直角边长为 a,则斜边长为 2a. ∴BD=CD= 2 a. 2

∴折叠后 BC=

? 2a?2+? 2a?2=a. ?2 ? ?2 ?

∴折叠后△ABC 为等边三角形.∴∠BAC=60° . 答案:(1)BD⊥CD (2)60°

16.在正方体 ABCD—A′B′C′D′中,过对角线 BD′的一个平面交 AA′于 E,交 CC′于 F,则 ①四边形 BFD′E 一定是平行四边形. ②四边形 BFD′E 有可能是正方形. ③四边形 BFD′E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形. ④平面 BFD′E 有可能垂直于平面 BB′D. 以上结论正确的为__________.(写出所有正确结论的编号) 解析:如图所示:

∵BE=FD′,ED′=BF,∴四边形 BFD′E 为平行四边形.∴①正确. ②不正确(∠BFD′不可能为直角).③正确(其射影是正方形 ABCD).④正确.当 E、F 分别是 AA′、CC′中点时正确. 答案:①③④ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17. 分)如下图, (10 已知 ABCD 是矩形, 是以 CD 为直径的半圆周上一点, E 且面 CDE⊥

面 ABCD.

求证:CE⊥平面 ADE. 证明:
? 面ABCD⊥面CED? ? ? ?

ABCD为矩形

? ? 点E在直径为CD的半圆上?CE⊥ED? ? 又AD∩ED=D ?
?AD⊥面CDE?AD⊥CE ?CE⊥面 ADE. 18.(12 分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形. 已知:如图,三棱锥 S—ABC,SC∥截面 EFGH,AB∥截面 EFGH. 求证:截面 EFGH 是平行四边形. 证明:

∵SC∥截面 EFGH,SC?平面 EFGH,SC?平面 ASC,且平面 ASC∩平面 EFGH=GH, ∴SC∥GH. 同理可证 SC∥EF,∴GH∥EF. 同理可证 HE∥GF. ∴四边形 EFGH 是平行四边形. 19.(12 分)已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点, A1M=AN= 2 a,如图. 3

(1)求证:MN∥面 BB1C1C; (2)求 MN 的长. 解:(1)证明:作 NP⊥AB 于 P,连接 MP.NP∥BC,



AP AN A1M = = , AB AC A1B

∴MP∥AA1∥BB1, ∴面 MPN∥面 BB1C1C. MN?面 MPN, ∴MN∥面 BB1C1C. 2 a NP AN 3 1 1 (2) = = = ,NP= a, BC AC 3 2a 3 2 同理 MP= a. 3 又 MP∥BB1, ∴MP⊥面 ABCD,MP⊥PN. 在 Rt△MPN 中 MN= 4 2 1 2 5 a + a = a. 9 9 3

20.(12 分)(2009· 浙江高考)如图,DC⊥平面 ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2, ∠ACB=120° ,P,Q 分别为 AE,AB 的中点.

(1)证明:PQ∥平面 ACD; (2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值. 解:(1)证明:因为 P,Q 分别为 AE,AB 的中点, 所以 PQ∥EB.又 DC∥EB,因此 PQ∥DC, 又 PQ?平面 ACD, 从而 PQ∥平面 ACD.

(2)如图,连接 CQ,DP,因为 Q 为 AB 的中点,且 AC=BC,所以 CQ⊥AB. 因为 DC⊥平面 ABC,EB∥DC, 所以 EB⊥平面 ABC,因此 CQ⊥EB. 故 CQ⊥平面 ABE. 1 由(1)有 PQ∥DC,又 PQ= EB=DC, 2 所以四边形 CQPD 为平行四边形,故 DP∥CQ, 因此 DP⊥平面 ABE, ∠DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角, 在 Rt△DPA 中,AD= 5,DP=1, sin∠DAP= 5 , 5 5 . 5

因此 AD 和平面 ABE 所成角的正弦值为

21.(12 分)如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E、F 分别是 AB、BD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥面 ACD. (2)平面 EFC⊥平面 BCD. 证明:(1)在△ABD 中, ∵E、F 分别是 AB、BD 的中点, ∴EF∥AD. 又 AD?平面 ACD,EF?平面 ACD, ∴直线 EF∥面 ACD. (2)在△ABD 中,∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD. 在△BCD 中,∵CD=CB,F 为 BD 的中点, ∴CF⊥BD. ∵CF∩EF=F,∴BD⊥平面 EFC,

又∵BD?平面 BCD, ∴平面 EFC⊥平面 BCD. 22.(12 分)(2010· 安徽文)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,AB= 2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90° ,BF=FC,H 为 BC 的中点.

(1)求证:FH∥平面 EDB; (2)求证:AC⊥平面 EDB; (3)求四面体 B—DEF 的体积. 解:(1)证明:设 AC 与 BD 交于 G,则 G 为 AC 中点,连接 EG,GH,由于 H 为 BC 中 1 点,故 GH 綊 AB. 2

1 又∵EF 綊 AB,∴EF 綊 GH, 2 ∴四边形 EFHG 为平行四边形, ∴EG∥FH,而 EG?平面 EDB,FH?平面 EDB, ∴FH∥平面 EDB. (2)证明:由于四边形 ABCD 为正方形,∴AB⊥BC, ∵EF∥AB,∴EF⊥BC,而 EF⊥FB, ∴EF⊥平面 BFC, ∴EF⊥FH,∴AB⊥FH. ∵BF=FC,H 为 BC 中点,∴FH⊥BC, ∴FH⊥平面 ABCD, ∴FH⊥AC,∵FH∥EG,∴AC⊥EG. ∵AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面 EDB. (3)∵EF⊥FB,∠BFC=90° ,∴BF⊥平面 CDEF, ∴BF 是四面体 B—DEF 的高, ∵BC=AB=2,∴BF=FC= 2. 1 1 1 ∴VB-DEF= × ×1× 2× 2= . 3 2 3


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