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2017届高三数学理一轮总复习课时跟踪检测:57用样本估计总体(江苏专用).doc


课时跟踪检测(五十七) 用样本估计总体 ?一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.在频率分布直方图中,所有小长方形的面积的和等于________. 解析:在频率分布直方图中,每个小长方形的面积是 方形的面积的和等于 1. 答案:1 2.如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图,去 掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为________. 频率 × 组距=频率,所以所有小长 组距

1 1 解析:依题意,所剩数据的平均数是 80+ × (4× 3+6 + 7) = 85 ,所剩数据的方差是 5 5 × [3× (84-85)2+(86-85)2+(87-85)2]=1.6. 答案:85,1.6 3.(2015· 江苏高考)已知一组数据 4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________.
- 4+6+5+8+7+6 解析:x = =6. 6

答案:6 4.某公司 300 名员工 2015 年年薪情况的频率分布直方图如图所示,由图可知,员工中 年薪在 1.4~1.6 万元的共有________人.

解析:由频率分布直方图知年薪低于 1.4 万元或者高于 1.6 万元的频率为(0.2+0.8+0.8 +1.0+1.0)× 0.2=0.76,因此,年薪在 1.4 到 1.6 万元间的频率为 1-0.76=0.24,所以 300 名员工中年薪在 1.4 到 1.6 万元间的员工人数为 300× 0.24=72(人). 答案:72 5.(2016· 盐城一模)若一组样本数据 2,3,7,8,a 的平均数为 5,则该组数据的方差 s2= ________. 2+3+7+8+a 1 解析:由 =5 得 a=5.故 s2= [(2-5)2+(3-5)2+(7-5)2+(8-5)2+(5- 5 5

26 5)2]= . 5 26 答案: 5 ?二保高考,全练题型做到高考达标 1.(2015· 武汉调研)将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分, 去 掉 1 个最低分,7 个剩余分数的平均分为 91.现场作的 9 个分数 的茎叶图后来有 1 个数据模糊,无法辨认,在图中以 x 表示, 则 7 个剩余分数的方差为________. 解析:由题图可知去掉的两个数是 87,99,所以 87+90× 2+91× 2+94+90+x=91× 7, 解得 x=4. 1 36 所以 s2= × [(87-91)2+(90-91)2× 2+(91-91)2× 2+(94-91)2× 2]= . 7 7 36 答案: 7 2. (2016· 陕西一检)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示, 其中 成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],则图中 x 的值等于 ________.

解析:依题意,0.054× 10+10× x+0.01× 10+0.006× 10× 3=1,解得 x=0.018. 答案:0.018 3.(2016· 南通调研)为了了解某校教师使用多媒体进行教学的 情况,采用简单随机抽样的方法,从该校 400 名授课教师中抽取 20 名,调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数,结果用茎 叶图表示,如图所示.据此可估计上学期该校 400 名教师中,使 用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为________. 解析:由茎叶图可知,在 20 名教师中,上学期使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内 的人数为 8,据此可以估计 400 名教师中,使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为 8 400× =160. 20 答案:160 4.样本中共有五个个体,其值分别为 0,1,2,3,m.若该样本的平均值为 1,则其方差为 ________.

1 解析: 依题意得 m=5× 1-(0+1+2+3)=-1, 样本方差 s2= (12+02+12+22+22)=2, 5 即所求的样本方差为 2. 答案:2 5.如图是某样本的频率分布直方图,由图中数据可以估计平均数是________.

解析:平均数等于各组中值与对应频率之积的和,故平均数的估计值为 7.5× 0.04× 5+ 12.5× 0.10× 5+17.5× (1-0.04× 5-0.10× 5)=13. 答案:13 6.某一段公路限速 60 公里/小时,现抽取 200 辆通过这一段公路的汽车的时速,其频 率分布直方图如图所示,则这 200 辆汽车中在该路段超速的有________辆.

解析:由频率分布直方图可得超速的频率为 0.04× 10+0.02× 10=0.6,所以该路段超速 的有 200× 0.6=120 辆. 答案:120 7.(2016· 郑州质检)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中 m 位数相同,平均数也相同,则图中的 m,n 的比值 =________. n 解析:由茎叶图可知甲的数据为 27,30+m,39,乙的数据为 20+n,32,34,38.由此可知乙 的中位数是 33,所以甲的中位数也是 33,所以 m=3.由此可以得出甲的平均数为 33,所以 乙的平均数也是 33,所以有 3 答案: 8 8.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次, 投中的次数如下表: 学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7 3号 7 6 4号 8 7 5号 7 9 20+n+32+34+38 m 3 =33,所以 n=8,所以 = . 4 n 8

若以上两组数据的方差中较小的一个为 s2,则 s2=________. 解析: 由数据表可得出乙班的数据波动性较大, 则其方差较大, 甲班的数据波动性较小, 1 2 其方差较小,其平均值为 7,方差 s2= (1+0+0+1+0)= . 5 5 2 答案: 5 9.某车间将 10 名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件,在单 位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示, 已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为 10. (1)求出 m,n 的值;
2 (2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差 s甲 和 s2 乙,并由此分析两组

技工的加工水平; (3)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名,对其加工的零件进行检测, 若两人加工的合格零件个数之和大于 17, 则称该车间“质量合格”, 求该车间“质量合格”的概 率. 1 1 - - 解: (1)根据题意可知: x 甲= (7+8+10+12+10+m)=10, x 乙= (9+n+10+11+12) 5 5 =10, ∴m=3,n=8. 1 2 2 2 2 2 (2)s2 甲= [(7-10) +(8-10) +(10-10) +(12-10) +(13-10) ]=5.2, 5 1 2 2 2 2 2 s2 乙= [(8-10) +(9-10) +(10-10) +(11-10) +(12-10) ]=2, 5 - - 2 ∵ x 甲= x 乙,s2 甲>s乙, ∴甲、乙两组的整体水平相当,乙组更稳定一些. (3)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名,对其加工的零件进行检测, 设两人加工的合格零件数分别为 a,b,则所有(a,b)有(7,8),(7,9),(7,10),(7,11),(7,12), (8,8),(8,9),(8,10),(8,11),(8,12),(10,8),(10,9),(10,10),(10,11),(10,12),(12,8),(12,9), (12,10),(12,11),(12,12),(13,8),(13,9),(13,10),(13,11),(13,12),共计 25 个,而 a+b≤17 的基本事件有(7,8),(7,9),(7,10),(8,8),(8,9),共计 5 个,故满足 a+b>17 的基本事件共 20 4 有 25-5=20(个),故该车间“质量合格”的概率为 = . 25 5 10.(2016· 惠州调研)某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生,将他们的期中考试数 学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100] 后得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中实数 a 的值; (2)若该校高一年级共有学生 640 名,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数; (3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取 2 名学生,求这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率. 解:(1)因为图中所有小矩形的面积之和等于 1, 所以 10× (0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1, 解得 a=0.03. (2)根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率为 1-10× (0.005+0.01)=0.85. 由于该校高一年级共有学生 640 名, 利用样本估计总体的思想, 可估计该校高一年级期 中考试数学成绩不低于 60 分的人数约为 640× 0.85=544. (3)成绩在[40,50)分数段内的人数为 40× 0.05=2, 成绩在[90,100]分数段内的人数为 40× 0.1=4, 则记在[40,50)分数段的两名同学为 A1,A2,在[90,100]分数段内的同学为 B1,B2,B3, B4. 若从这 6 名学生中随机抽取 2 人,则总的取法共有 15 种. 如果 2 名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这 2 名学 生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10;如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩 在[90,100]分数段内,那么这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10. 则所取 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的取法有(A1,A2),(B1,B2),(B1, B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4)共 7 种取法,所以所求概率为 P= ?三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1 5 1.已知 x 是 1,2,2,3,x,6,7,7,8 这 9 个数的中位数,当 x2- - 取得最大值时,1,2,2,3, x 6 x,6,7,7,8 这 9 个数的平均数为________. 1 5 解析:因为 x 是 1,2,2,3,x,6,7,7,8 这 9 个数的中位数,所以 3≤x≤6.因为 f(x)=x2- - 在 x 6 1 5 [3,6]上为增函数,所以当 x=6 时,x2- - 取得最大值,此时 1,2,2,3,x,6,7,7,8 这 9 个数的 x 6 7 . 15

1 14 平均数为 × (1+2+2+3+6+6+7+7+8)= . 9 3 14 答案: 3 2.抽样统计甲、乙两个城市连续 5 天的空气质量指数(AQI),数据如下: 城市 甲 乙 空气质量指数(AQI) 第1天 109 110 第2天 111 111 第3天 132 115 第4天 118 132 第5天 110 112

则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为________(填“甲”或“乙”). 解析:因为 x 甲= x 乙=116,所以 1 2 2 2 2 2 s2 甲= [(109-116) +(111-116) +(132-116) +(118-116) +(110-116) ]=74, 5 1 2 2 2 2 2 s2 乙= [(110-116) +(111-116) +(115-116) +(132-116) +(112-116) ]=66.8. 5
2 所以 s2 乙<s甲.

答案:乙 3.某市约有 20 万住户,为了节约能源,拟出台“阶梯电价”制度,即制定住户月用电量 的临界值 a,若某住户某月用电量不超过 a 度,则按平价(即原价)0.5(单位:元/度)计费;若 某月用电量超过 a 度,则超出部分按议价 b(单位:元/度)计费,未超出部分按平价计费.为 确定 a 的值, 随机调查了该市 100 户的月用电量, 统计分析后得到如图所示的频率分布直方 图.根据频率分布直方图解答以下问题(同一组数据用该区间的中点值作代表).

(1)若该市计划让全市 70%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变,求临界值 a; (2)在(1)的条件下,假定出台“阶梯电价”之后,月用电量未达 a 度的住户用电量保持不 变,月用电量超过 a 度的住户节省“超出部分”的 60%,试估计全市每月节约的电量; (3)在(1)(2)条件下,若出台“阶梯电价”前后全市缴纳电费总额不变,求议价 b.

解:(1)由频率分布直方图,可算得各组数据对应的频率及频数.如下表: 分组 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100) [100,120]

频率 频数

0.04 4

0.12 12

0.24 24

0.30 30

0.25 25

0.05 5

由表可知,在区间[0,80)内的频率总和恰为 0.7,由样本估计总体,可得临界值 a 的值为 80. (2)由(1)知,月用电量在[0,80)内的 70 户住户在“阶梯电价”出台前后用电量不变,节电 量为 0 度; 月用电量在[80,100)内的 25 户住户, 平均每户用电 90 度, 超出部分为 10 度, 根据题意, 每户每月节电 10× 60%=6 度,25 户每月共节电 6× 25=150 度; 月用电量在[100,120]内的 5 户住户,平均每户用电 110 度,超出部分为 30 度,根据题 意,每户每月节电 30× 60%=18 度,5 户每月共节电 18× 5=90 度. 故样本中 100 户住户每月共节电 150+90=240 度,用样本估计总体,得全市每月节电 200 000 量约为 240× =480 000 度. 100 (3)由题意,全市缴纳电费总额不变, 由于“未超出部分”的用电量在“阶梯电价”前后不发 生改变,故“超出部分”对应的总电费也不变. 由(1)(2)可知, 在 100 户住户组成的样本中, 每月用电量的“超出部分”共计 10× 25+30× 5 =400 度,实行“阶梯电价”之后,“超出部分”节约了 240 度,剩余 160 度,因为“阶梯电价” 前后电费总额不变,所以 400× 0.5=160× b,解得 b=1.25.


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