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函数教学的三个关键点


函数教学的三个关键点 函数概念贯穿中学数学的始终,利用函数知识、思想可以处理、解决很多数 学问题. 因此,多年来高考始终贯穿着函数及其性质这条主线. 显现出“函数热” 居高不下的趋势. 函数问题具有较强的伸缩性,既可以“低档题”填空形式出现, 也可以“中档题”、“高档题”形式出现,并多与其他问题联系在一起. 因此,函数 是我们高中数学问题的基础主体内容,也是重点、热点内容. 一方面,函数它不 但是数学研究的对象, 同时也是数学中常用的一种思想方法,函数的思想广泛地 渗透到数学教学的全过程及其他各学科之中,因此搞好函数的教学至关重要,另 一方面,函数概念因为其高度的抽象性而成为最难把握的概念之一. 无论是教师 的教还是学生的学,都存在困难,笔者认为,函数教学关键应抓住三个关键点. 一、 关键点 1:必须使学生深刻理解并把握函数概念的本质 实践表明,由于函数概念的抽象性,“变量”概念的复杂性以及函数符号的抽 象性,使函数概念成为中学生感到最难学的数学概念之一. 学习了集合理论后, 教材运用集合与映射的观点重新定义了函数:函数是非空数集上的映射. 而映射 是一对一,多对一的对应. 于是在康托集合论的基础上来理解函数,别有一片天 地. 之前的函数概念:在某一运动变化过程中有两个变量 x,y,当 x 在某一给定 范围内任意取值时, 在某一对应法则 f 的作用下, y 都有唯一确定的值与它对应, 那么 y 就叫做 x 的函数, 其中 x 叫自变量, x 的取值范围构成的集合就是定义域, y 的对应值的集合是值域,这种运动变化观点下的函数定义称为传统定义,而现 在建立在集合与映射观点之上的函数定义称之为近代定义. 事实上,函数的本质是两个变量之间的一种特殊的对应关系,有三个要素: 定义域,值域和对应法则,通常可表示为 f:A→C,A 代表定义域,C 代表值域, f 指的是对应法则,函数就是建立在两个非空数集 A,C 上的一种对应关系,有 判别两个函数是否表示同一函数的问题. 如 ①f(x)=x,g(t)=■;虽然表示自 变量的字母不一样,但因为 g(t)=■=t,和 f(x)=x 的定义域和对应法则都一 样,因而值域肯定一样,g(t)与 f(x)表示同一函数;②f(x)=■,g(x)=x+2; 因为②中的两函数虽然化简后的解析式一样,但因定义域不同,故就不是同一函 数;③f(x)=x,g(x)=■;这两个函数,虽然定义域相同,但 g(x)=x,与 f(x)=x 的对应法则不同,也不是同一个函数. 三要素中只要有一项不同就不是 同一函数,这种题型有助于我们理解函数的本质. 对于一个具体的函数关系, 我们首先要把握一个重要的原则,就是定义域优 先. 定义域是函数的一条生命线,在求函数值域,判断函数的周期性或奇偶性时 必须首先考虑函数的定义域. 如求 f(x)=loga(x2-2x-3)的单调区间,学生们 常常会忽视定义域,有时在求解过程中还要注意定义域的变化. 例 1 已知 f(x+■)=x2+■,求 f(x-1). 错解:由已知得:f(x+■)=(x+■)2-2. ∴f(x)=x2-2. ∴ f(x-1)=(x-1)2-2=x2-2x-1. 剖析:在使用直接拼配法或换元法求函数解析式时,没有考虑定义域变化. 正解:由已知得 f(x+■)=(x+■)2-2. ∵x+■≥2,∴f(x)=x2-2(x≥2). 从而. f(x-1)=(x-1)2-2=x2-2x-1(x≥3 或 x≤-1) 分段函数的学习更能帮助我们理解函数的本质, 分段函数是一个函数而不是 多个函

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