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2017年春季学期苏教版高中数学必修4教案:2.2.3 向量的数乘(1)

2.2.3 向量的数乘(1) 一、课题:向量的数乘(1) 二、教学目标:1.掌握实数与向量的积的定义; 2.掌握实数与向量的积的运算律,并进行有关的计算; 3.理解两向量共线(平行)的充要条件,并会判断两个向量是否共线。 三、教学重、难点:1.实数与向量的积的定义及其运算律,向量共线的充要条件; 2.向量共线的充要条件及其应用。 四、教学过程: (一)复习: 已知非零向量 a ,求作 a ? a 和 (?a) ? (?a) . a O a A a B E ?a D ?a C 如图: OB ? a ? a ? 2a , CE ? (?a) ? (?a) ? ?2a . (二)新课讲解: 1.实数与向量的积的定义: 一般地,实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a ,它的长度与方向规定如下: (1) | ? a |?| ? || a | ; (2)当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同; 当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反; 当 ? ? 0 时, ? a ? 0 . 2.实数与向量的积的运算律: (1) ? (? a) ? (?? )a (结合律) ; (2) (? ? ? )a ? ? a ? ? a (第一分配律) ; (a+b )=? a ? ? b (第二分配律) (3) ? . 例 1 计算: (1) (?3) ? 4a ; 解: (1)原式= ?12a ; 3.向量共线的充要条件: (2) 3(a ? b) ? 2(a ? b) ? a ; (3) (2a ? 3b ? c) ? (3a ? 2b ? c) . (2)原式= 5b ; (3)原式= ?a ? 5b ? 2c . 定理: (向量共线的充要条件)向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 ? ,使得 b ? ? a . 例 2 如图,已知 AD ? 3 AB , DE ? 3BC .试判断 AC 与 AE 是否共线. 解:∵ AE ? AD ? DE ? 3AB ? 3BC ? 3( AB ? BC) ? 3AC ∴ AC 与 AE 共线. 例 3 判断下列各题中的向量是否共线: E C A B D 2 1 e 2 , b ? e1 ? e 2 ; 5 10 (2) a ? e1 ? e2 , b ? 2e1 ? 2e2 ,且 e1 , e2 共线. 解: (1)当 a ? 0 时,则 b ? 0 ,显然 b 与 a 共线. 1 1 2 1 当 a ? 0 时, b ? e1 ? e 2 ? (4e1 ? e2 ) ? a ,∴ b 与 a 共线. 10 4 5 4 (3)当 e1 , e2 中至少有一个为零向量时,显然 b 与 a 共线. 当 e1 , e2 均不为零向量时,设 e1 ? ? e2 (1) a ? 4e1 ? ∴ a ? (1 ? ? )e2 , b ? (2? ? 2)e2 若 ? ? ?1 时, , a ? 0 ,显然 b 与 a 共线. 若 ? ? ?1 时, b ? ∴ b 与 a 共线. 例 4 设 e1 , e2 是两个不共线的向量,已知 AB ? 2e1 ? ke2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 , 若 A , B , D 三点共线,求 k 的值。 解: BD ? CD ? CB ? 2e1 ? e2 ) ? e1 ? 3e2 即是 2e1 ? ke2 ? ? (e1 ? 4e2 ) . 由向量相等的条件,得 ? 五、课堂练习: 六、小结:1.掌握实数与向量的积的定义; 2.掌握实数与向量的积的运算律,并进行有关的计算; 3.理解两向量共线(平行)的充要条件,并会判断两个向量是否共线。 七、作业: 补充:1.设 e1 , e2 是两个不共线的向量,而 e1 ? 4e2 和 ke1 ? e2 共线,求实数 k 的值; 2.设二个非零向量 e1 , e2 不共线,如果 AB ? 2e1 ? 3e2 , BC ? 6e1 ? 23e2 , 2? ? 2 a, 1? ? ? ? ?? ? e ? 4e 1 2 ∵ A , B , D 三点共线,∴ AB 与 BD 共线,即存在实数 ? ,使得 AB ? ? BD , ?2 ? ? ?k ? ?4? ,∴ k ? ?8 . CD ? 4e1 ? 8e2 ,求证 A , B , D 三点共线。

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