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炜昊教育2014年暑期高一数学讲义


炜昊教育 2014 年暑期高一数学讲义 一 画出下列函数的图象,观察其变化规律: 1.f(x) = x 1 从左至右图象上升还是下降 ______?○ 2 在区间 ____________ 上, ○ 随着 x 的增大, f(x)的值随着 ________ . y 1 -1 -1 1 x -1 -1 y 1 1 x -1 -1 y 1 1 x

2.f(x) = -2x+1 1 从左至右图象上升还是下降 ______?○ 2 在区间 ____________ 上, ○ 随着 x 的增大, f(x)的值随着 ________ . 2 3.f(x) = x 1 在区间 ____________ 上,f(x)的值随着 x 的增大而 ________ . ○ 2 在区间 ____________ 上,f(x)的值随着 x 的增大而 ________ . ○ 二 新课教学 (一)函数单调性定义 1.增函数 一般地, 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2, 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function) . 仿照增函数的定义说出减函数的定义.注意: 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○ 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) . ○ 2.函数的单调性定义 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数, 那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有 (严格的) 单调性, 区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间: 3.判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;○ 2 作差 f(x1)-f(x2);○ 3 变形(通常是因式分解和配方) ○ ; 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) 5 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) ○ ;○ .



例题讲解:

根据函数图象说明函数的单调性. 例 1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函 数还是减函数?

例 2.画出下列函数图象,并写出单调区间

(1)y=--x2+2

y=1/x

例 3.求证:函数 f(x)=--1/x---1 在区间(-∞,o)上是单调增函数。

例 4.判断函数 f(x)=x2—1 在(o +∞)上是增函数还是减函数?

例 5 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 (??,4] 上减函数,求实数 a 的取值范围

例 6 已知 f ( x) 是定义在 [ ?1,1] 上的增函数,且 f ( x ? 2) ? f (1 ? x) ,求 x 的取值范围。

四.强化训练 1 求证:函数 f(x)=--2x +3 在区间(-∞,o)是单调增函数
2

2、若函数 f(x)=(k-1)x+2 在实数内为减函数,则 k 的范围是多少?

3.函数 f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,且 f(a-4)-f(5-a)<0, 那么 a 的取值范围为多少

4. 函数 y=x —4x+1 的单调递增区间为___________

2


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