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2013高考新课标数学考点总复习 考点3 看似复杂,实则简单,带你融汇贯通三角问题


2013 高考新课标数学考点总复习

一 专题综述
该专题是高考重点考查的部分, 从最近几年考查的情况看, 主要考查三角函数的图象和 性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角 函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用.该部分在试卷中一般是 2~3 个选择题或者填空题,一个解答题,选择题在于有针对性地考查本专题的重要知识点 (如三角函数性质、平面向量的数量积等),解答题一般有三个命题方向,一是以考查三角函 数的图象和性质为主,二是把解三角形与三角函数的性质、三角恒等变换交汇,三是考查解 三角形或者解三角形在实际问题中的应用.由于该专题是高中数学的基础知识和工具性知 识,在试题的难度上不大,一般都是中等难度或者较为容易的试题.基于这个实际情况以及 高考试题的相对稳定性.

二 考纲解读
1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化.借助单位圆理解任意角三角函数 π (正弦、余弦、正切)的定义.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(2±α,π±α 的正弦、 余弦、正切),能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性. π π 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在?-2,2?上的性质(如单调性、最 ? ? sinx 大和最小值、图象与 x 轴交点等).理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1, cosx =tanx.结合具体实例,了解 y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助计算器或计算机画出 y= Asin(ωx+φ)的图象,观察参数 A,ω,φ 对函数图象变化的影响. 3.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模 型. 4.掌握正弦定理、 余弦定理, 并能解决一些简单的三角形度量问题.能运用两角和与差的正弦、 余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和 差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆) 5.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正 弦、正切公式.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角 的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.

三.2013 年高考命题趋向
1.在选择题或者填空题部分命制 2~3 个试题,考查三角函数的图象和性质、通过简单的三 角恒等变换求值、解三角形等该专题的重点知识中的 2~3 个方面.试题仍然是突出重点和 重视基础,难度不会太大. 2.在解答题的前两题(一般是第一题)的位置上命制一道综合性试题, 考查综合运用该部分

知识分析解决问题的能力,试题的可能考查方向如我们上面的分析.从难度上讲,如果是单 纯的考查三角函数图象与性质、解三角形、在三角形中考查三角函数问题,则试题难度不会 大, 但如果考查解三角形的实际应用, 则题目的难度可能会大一点, 但也就是中等难度. 由 于该专题内容基础,高考试题的难度不大,经过一轮复习的学生已经达到了高考的要求,二 轮复习就是在此基础上进行的巩固和强化,在复习中注意如下几点: (1)该专题具有基础性和工具性,虽然没有什么大的难点问题,但包含的内容非常广泛, 概念、公式、定理很多,不少地方容易混淆,在复习时要根据知识网络对知识进行梳理,系 统掌握其知识体系. (2)抓住考查的主要题型进行训练, 要特别注意如下几个题型: 根据三角函数的图象求函数 解析式或者求函数值, 根据已知三角函数值求未知三角函数值, 与几何图形结合在一起的平 面向量数量积,解三角形中正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合运用,解三角形的 实际应用问题. (3)注意数学思想方法的应用,该部分充分体现了数形结合思想、函数与方程思想、化归与 转化思想(变换), 在复习中要有意识地使用这些数学思想方法, 强化数学思想方法在指导解 题中的应用.

四.高频考点解读
考点一 三角函数的定义
例 1 [2011· 课标全国卷] 已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直 线 y=2x 上,则 cos2θ=( ) 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 【答案】B 【解析】 解法 1:在角 θ 终边上任取一点 P(a,2a)(a≠0),则 r2=|OP|2=a2+(2a)2=5a2, a2 1 2 3 ∴cos2θ= 2= ,∴cos2θ=2cos2θ-1= -1=- . 5a 5 5 5 2 2 cos θ-sin θ 1-tan2θ 2a 3 解法 2:tanθ= =2,cos2θ= 2 = =- . a 5 cos θ+sin2θ 1+tan2θ 例 2 [2011· 江西卷] 已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4,y)是角 θ 2 5 终边上一点,且 sinθ=- ,则 y=________. 5 【答案】-8 【解析】 r= x2+y2= 16+y2, 2 5 y y 2 5 ∵sinθ=- ,∴sinθ= = 2=- 5 ,解得 y=-8. 5 r 16+y 【解题技巧点睛】以三角函数的定义为载体,求三角函数的值.题目的鲜明特点是给出角的 终边上的点的坐标,此时我们要联想到三角函数的定义求解所需三角函数值.

考点二 三角恒等变换
sin2α 例 3 [2011· 福建卷] 若 tanα=3,则 2 的值等于( ) cos α A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】D sin2α 2sinαcosα 2sinα 【解析】 因为 2 = = =2tanα=6,故选 D. cos α cos2α cosα π π β β π π 1 3 例 4[2011· 浙江卷] 若 0<α< , <β<0, ?4+α?= , ?4-2?= , cos?α+2?=( - cos? ? 3 cos? ? 3 则 ? ? 2 2

)

3 3 B.- 3 3 【答案】C A.

5 3 6 C. D.- 9 9

1 π 例 5 [2011· 广东卷] 已知函数 f(x)=2sin?3x-6?,x∈R. ? ? 5π (1)求 f? 4 ?的值; ? ? π π 10 6 (2)设 α,β∈?0,2?,f?3α+2?= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ? 13 5 5π? 1 5 π? π 【解答】 (1)f? 4 ?=2sin?3×4π-6?=2sin = 2. ? ? 4 10 π 1 π π (2)∵ =f3α+ =2sin ×3α+ - =2sinα, 13 2 3 2 6 1 π π 6 =f(3β+2π)=2sin?3×?3β+2π?-6?=2sin?β+2?=2cosβ, ? ? ? ? 5 π? 5 3 ∴sinα= ,cosβ= ,又∵α,β∈?0,2?, ? 13 5 5 ?2 12 ∴cosα= 1-sin2α= 1-?13? = , ? 13 3 4 sinβ= 1-cos2β= 1-?5?2= , ? ? 5 3 12 5 4 16 故 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= × - × = . 5 13 13 5 65 【解题技巧点睛】三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路:一角二名三结构. 即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心! 第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有: (1)巧变角:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角 与其和差角的变换. 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

2 (2)三角函数名互化:切割化弦,弦的齐次结构化成切. (3)公式变形使用:如

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ? ? ? 2 ?

? ??
2



???

? ??

?

?
2

? ?? ? ?
? 2 ?

等.

cos ?? ? ? ? cos ? ? sin ?? ? ? ? sin ? ? cos ?, ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ? tan ? ? tan ? . tan
2

(4)三角函数次数的降升:降幂公式有 cos ? ?
2

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? 与升幂公 2 2
[来源:Z*xx*k.Com]

式有 1 ? cos 2? ? 2cos ? , 1 ? cos 2? ? 2sin ? . (5)式子结构的转化:对角、函数名、式子结构化同. (6)常值变换主要指“1”的变换:
2

1 ? sin 2 x ? cos2 x ? sec2 x ? tan 2 x ? tan x ? cot x ? tan ? ? sin ? ?? 等. 4 2 2 2 (7)辅助角公式:a sin x ? b cos x ? a ? b sin ? x ? ? ? (其中 ? 角所在的象限由 a、b 的
符号确定, ? 角的值由

tan ? ?

b 确定)在求最值、 化简时起着重要作,这里只要掌握辅助角 ? 为特殊角的情况即可. a

实际上是两角和与差的三角函数公式的逆用.如

sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ),sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ), 3 sin x ? cos x ? 2sin( x ? ) 4 3 6
等.

?

?

?

考点三 三角函数的性质
π 例 6 [2011· 课标全国卷] 设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?的最小正周期 ? ? 为 π,且 f(-x)=f(x),则( π A.f(x)在?0,2?单调递减 ? ? ?0,π?单调递增 C.f(x)在? 2? 【答案】A ) π 3π B.f(x)在?4, 4 ?单调递减 ? ? π 3π D.f(x)在?4, 4 ?单调递增 ? ?

π 2π 【解析】 原式可化简为 f(x)= 2sin?ωx+φ+4?,因为 f(x)的最小正周期 T= =π, ? ? ω π? 所以 ω=2.所以 f(x)= 2sin?2x+φ+4?, ? 又因为 f(-x)=f(x),所以函数 f(x)为偶函数, π π π 所以 f(x)= 2sin?2x+φ+4?=± 2cos2x,所以 φ+ = +kπ,k∈Z, ? ? 4 2 π π π 所以 φ= +kπ,k∈Z,又因为|φ|< ,所以 φ= . 4 2 4 π? 所以 f(x)= 2sin?2x+2?= 2cos2x, ? π 所以 f(x)= 2cos2x 在区间?0,2?上单调递减. ? ? π 例 7 [2011· 安徽卷] 设 f(x)=asin2x+bcos2x,其中 a,b∈R,ab≠0.若 f(x)≤?f?6??对一切 x ? ? ?? ∈R 恒成立,则 11π 7π π ①f? 12 ?=0;②?f?10??<?f?5??;③f(x)既不是奇函数也不是偶函数; ? ? ? ? ?? ? ? ?? π 2π ④f(x)的单调递增区间是?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z). ? ? ⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图像不相交. 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号). 【答案】 ①③ b a ? ? 【解析】 f(x)=asin2x+bcos2x= a2+b2sin(2x+φ)?sinφ= 2 ?,因为 2,cosφ= 2 a +b a +b2? ? π π 对一切 x∈R 时,f(x)≤?f?6??恒成立,所以 sin?3+φ?=± ? ? ?? ? ? 1. π π 5π 故 φ=2kπ+ 或 φ=2kπ- (k∈Z).故 f(x)= a2+b2sin?2x+6?, ? ? 6 6 π? 或 f(x)=- a2+b2sin?2x+6?. ? 11π? 11π 对于①,f? 12 ?= a2+b2sin2π=0,或 f? 12 ?=- a2+b2sin2π=0,故①正确; ? ? ? ?f?7π??=? a2+b2sin?7π+π??= a2+b2?sin47π?= a2+b2sin17π, 对于②,? ?10?? ? ? 5 6? ? ? 30 ? 30 π?? ? 2 2π π?? 17π? ?f? = a +b2sin? + = a2+b2?sin ? ?5?? ? ? 5 6?? ? 30 ?

7π π 17π .所以?f?10??=?f?5??,故②错误; ? ? ?? ? ? ?? 30 π π 对于③,由解析式 f(x)= a2+b2sin?2x+6?,或 f(x)=- a2+b2sin?2x+6?知其既不是奇函 ? ? ? ? 数也不是偶函数,故③正确; π π 2π 对于④,当 f(x)= a2+b2sin?2x+6?时,?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z)是 f(x)的单调递减区间,故 ? ? ? ? ④错误;对于⑤,要使经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图像不相交,则此直线须与横轴平 行,且|b|> a2+b2,此时平方得 b2>a2+b2,这不可能,矛盾,故不存在过点(a,b)的直线与 函数 f(x)的图像不相交.故⑤错. 【解题技巧点睛】 近几年高考降低了对三角变换的考查要求, 而加强了对三角函数的图象与 性质的考查.在众多的性质中, 三角函数的图象的对称性是一个高考的热点.在复习时要充分 运用数形结合的思想,把图象与性质结合起来,即利用图象的直观性得出函数的性质,同时 也要能利用函数的性质来描绘函数的图象. = a2+b2sin

考点四 三角函数的图像
π π 例 8 [2011· 辽宁卷] 已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?,y=f(x)的部分图象则 f?24? ? ? ? ? =( )

A.2+ 3 【答案】 B

B. 3

C.

3 3

D.2- 3

3π π π π π π π 【解析】 由图象知 =2×? 8 -8?= ,ω=2.又由于 2× +φ=kπ+ (k∈Z),φ=kπ+ (k ? ? 2 ω 8 2 4 π? π π ∈Z),又|φ|< ,所以 φ= .这时 f(x)=Atan?2x+4?.又图象过(0,1),代入得 A=1,故 f(x)= ? 2 4 π? π? π π? tan?2x+4?.所以 f?24?=tan?2×24+4?= 3,故选 B. ? ? ? 例 9[2011· 天津卷] 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中 ω>0,-π<φ≤π.若 f(x)的最小 π 正周期为 6π,且当 x= 时, f(x)取得最大值,则( ) 2 A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 【答案】A 2π 1 1 π π 【解析】 ∵ =6π,∴ω= .又∵ × +φ=2kπ+ ,k∈Z 且-π<φ≤π, ω 3 3 2 2 1 π? π π 1 π π ∴当 k=0 时,φ= ,f(x)=2sin?3x+3?,要使 f(x)递增,须有 2kπ- ≤ x+ ≤2kπ+ ,k∈ ? 3 2 3 3 2 5 π 5π π 5 π Z, 解之得 6kπ- ≤x≤6kπ+ , k∈Z, k=0 时, π≤x≤ , 当 - ∴f(x)在?-2π,2?上递增. ? ? 2 2 2 2 π π 例 10 [2011· 课标全国卷] 设函数 f(x)=sin?2x+4?+cos?2x+4?,则( ) ? ? ? ? π π A.y=f(x)在?0,2?单调递增,其图像关于直线 x= 对称 ? ? 4 π π B.y=f(x)在?0,2?单调递增,其图像关于直线 x= 对称 ? ? 2
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π π C.y=f(x)在?0,2?单调递减,其图像关于直线 x= 对称 ? ? 4 π? π D.y=f(x)在?0,2?单调递减,其图像关于直线 x= 对称 ? 2 【答案】D π π π 【解析】 f(x)= 2sin?2x+4+4?= 2sin?2x+2?= 2cos2x, ? ? ? ? π? π? 所以 y=f(x)在?0,2?内单调递减,又 f?2?= 2cosπ=- 2,是最小值. ? ? π 所以函数 y=f(x)的图像关于直线 x= 对称. 2 【解题技巧点睛】 1.根据三角函数的图象求解函数的解析式时,要注意从图象提供的信息确定三角函数 的性质,如最小正周期、最值,首先确定函数解析式中的部分系数,再根据函数图象上的特 殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字母的值, 同时要注意解析式中各个字母 的范围. 2. 进行三角函数的图象变换时, 要注意无论进行的什么样的变换都是变换的变量本身, 特别在平移变换中,如果这个变量的系数不是 1,在进行变换时变量的系数也参与其中,如 π π π π 把函数 y=sin?2x+4?的图象向左平移 个单位时,得到的是函数 y=sin?2?x+12?+4? = ? ? ? ? 12 ? ? 5π sin2x+ 的图象. 12 3.解答三角函数的图象与性质类的试题,变换是其中的核心,把三角函数的解析式通 过变换,化为正弦型、余弦型、正切型函数,然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的 性质进行研究.

考点五 与三角相关的最值问题
例 11[2011· 课标全国卷] 在△ABC 中, B=60° AC= 3, AB+2BC 的最大值为________. , 则 【答案】2 7 【解析】 因为 B=60° ,A+B+C=180° ,所以 A+C=120° , 由正弦定理,有 AB BC AC 3 = = = =2 , sinC sinA sinB sin60° 所以 AB=2sinC,BC=2sinA. 所以 AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin(120° -A)+4sinA =2(sin120° cosA-cos120° sinA)+4sinA = 3cosA+5sinA 3 5 =2 7sin(A+φ),(其中 sinφ= ,cosφ= ) 2 7 2 7 所以 AB+2BC 的最大值为 2 7. 例 12 [2011· 湖南卷] 在△ABC 中, A, C 所对的边分别为 a, c, 角 B, b, 且满足 csinA=acosC. (1)求角 C 的大小; π (2)求 3sinA-cos?B+4?的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小. ? ? 【解答】 (1)由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC. 因为 0<A<π,所以 sinA>0. 从而 sinC=cosC. π 又 cosC≠0,所以 tanC=1,则 C= . 4 3π (2)由 (1)知,B= -A,于是 4

π 3sinA-cos?B+4?= 3sinA-cos(π-A) ? ? π = 3sinA+cosA=2sin?A+6?. ? ? π 3π π π 11π π π π 因为 0<A< ,所以 <A+ < .从而当 A+ = ,即 A= 时,2sin?A+6?取最大值 2. ? ? 4 6 6 12 6 2 3 π? π 5π 综上所述, 3sinA-cos?B+4?的最大值为 2,此时 A= ,B= . ? 3 12 例 13[2011· 福建卷] 设函数 f(θ)= 3sinθ+cosθ,其中,角 θ 的顶点与坐标原点重合,始边 与 x 轴非负半轴重合,终边经过点 P(x,y),且 0≤θ≤π. 1 3 (1)若点 P 的坐标为? , ?,求 f(θ)的值; ?2 2 ?

?x+y≥1, ? (2)若点 P(x,y)为平面区域 Ω:?x≤1, ?y≤1 ?
函数 f(θ)的最小值和最大值.

上的一个动点,试确定角 θ 的取值范围,并求

?sinθ= 23, 【解答】 (1)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得? 1 ?cosθ=2.
3 1 + =2. 2 2 (2)作出平面区域 Ω(即三角形区域 ABC)如图所示,其中 A(1,0),B(1,1),C(0,1). 于是 f(θ)= 3sinθ+cosθ= 3×

π 于是 0≤θ≤ . 2 π 又 f(θ)= 3sinθ+cosθ=2sin?θ+6?, ? ? π π 2π 且 ≤θ+ ≤ , 6 6 3 π π π 故当 θ+ = ,即 θ= 时,f(θ)取得最大值,且最大值等于 2; 6 2 3 π π 当 θ+ = ,即 θ=0 时,f(θ)取得最小值,且最小值等于 1. 6 6 【解题技巧点睛】三角函数的最值既是高考中的一个重点,也是一个难点,其类型丰富,解 决的方法比较多.但是归纳起来常见的下面三种类型: (1)可化为 y ? A sin ? x ? ? ) ? B 型函数值域:利用三角公式对原函数进行化简、整理, ( 最终得到 y ? A sin ? x ? ? ) ? B 的形式,然后借助题目中给定的 x 的范围,确定 ? x ? ? 的 ( 范 围 , 最 后 利 用 y ? sin x 的 图 象 确 定 函 数 的 值 域 . 如 : y ? a i n x s ? 、 b

y ? a sin x ? b cos x ? c y ? a sin 2 x ? b sin x cos x ? c cos 2 x 等.

(2)可化为 y ? f (sin x) 型求函数的值域: 首先借助三角公式, 把函数化成 y ? f (sin x) 型, 然后采用换元法,即令 t ? sin x ?[?1,1] ,构造关于 t 的函数,然后根据具体的结构,采取 相应的方法求解.如: y ? a sin x ? b sin x ? c 、 y ? a sin x cos x ? b(sin x ? cos x) ? c 可
2

转化为二次函数求值域;y ? sin x ?

a 、y ? a tan x ? b cot x 可转化为对号函数求值域. sin x

(3)利用数性结合思想求函数的值域:此类题目需分析函数的结构特征,看能否转化为有几 何含义的式子结构,有时也可以把函数图象画出来,直接观察确定函数的值域 .如

y?

a sin x ? b ,常转化为直线的斜率的几何含义求解. c cos x ? d

考点六 解三角形的相关问题
例 14 [2011· 安徽卷] 已知△ABC 的一个内角为 120° 并且三边长构成公差为 4 的等差数列, , 则△ABC 的面积为________. 【答案】15 3 【解析】 不妨设∠A=120° ,c<b,则 a=b+4,c=b-4,于是 cos120° = 2 2 2 b +?b-4? -?b+4? 1 1 =- ,解得 b=10,所以 c=6.所以 S= bcsin120° =15 3. 2 2 2b?b-4? π 例 15 [2011· 北京卷] 在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,tanA=2,则 sinA=________;a= 4 ________. 2 5 【答案】 2 10 5 2 5 a b a 5 【解析】 因为 tanA=2,所以 sinA= ;再由正弦定理有: = ,即 = ,可 5 sinA sinB 2 5 2 5 2 得 a=2 10. 例 16 [2011 · 福建卷] 如图 1-5,△ABC 中,AB=AC=2,BC=2 3,点 D 在 BC 边上,∠ ADC=45° ,则 AD 的长度等于________. 【答案】 2 【解析】 在△ABC 中,由余弦定理,有 AC2+BC2-AB2 ?2 3?2 3 cosC= = = ,则∠ACB=30° . 2AC· BC 2×2×2 3 2 在△ACD 中,由正弦定理,有 AD AC = , sinC sin∠ADC 1 2× 2 AC· sin30° ∴AD= = = 2,即 AD 的长度等于 2. sin45° 2 2 cosA-2cosC 例 17 [2011· 山东卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 = cosB 2c-a . b sinC (1)求 的值; sinA

1 (2)若 cosB= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. 4 a b c 【解答】 (1)由正弦定理,设 = = =k. sinA sinB sinC 2c-a 2ksinC-ksinA 2sinC-sinA 则 = = . b ksinB sinB cosA-2cosC 2sinC-sinA 所以原等式可化为 = . cosB sinB 即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C), 又因为 A+B+C=π, 所以原等式可化为 sinC=2sinA, sinC 因此 =2. sinA sinC (2)由正弦定理及 =2 得 c=2a, sinA 1 1 由余弦定理及 cosB= 得 b2=a2+c2-2accosB=a2+4a2-4a2× =4a2. 4 4 所以 b=2a.又 a+b+c=5.从而 a=1,因此 b=2. 【解题技巧点睛】 1.使用正弦定理能够解的三角形有两类,一类是已知两边及其中一边的对角,一类已知一 边和两个内角(实际就是已知三个内角), 其中第一个类型也可以根据余弦定理列出方程求出 第三边,再求内角.在使用正弦定理求三角形内角时,要注意解的可能情况,判断解的情况 的基本依据是三角形中大边对大角. 2.当已知三角形 的两边和其中一个边的对角求解第三边时,可以使用正弦定理、也可以使 用余弦定理, 使用余弦定理就是根据余弦定理本身是一个方程, 这个方程联系着三角形的三 个边和其中的一个内角. 3.正弦定理揭示了三角形三边和其对角正弦的比例关系,余弦定理揭示了三角形的 三边和 其中一个内角的余弦之间的关系.

考点七 三角化简与三角函数相结合
π 例 18 [2011· 天津卷] 已知函数 f(x)=tan?2x+4?. ? ? (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; π α (2)设 α∈?0,4?,若 f?2?=2cos2α,求 α 的大小. ? ? ? ? π π π kπ 【解答】 (1)由 2x+ ≠ +kπ,k∈Z,得 x≠ + ,k∈Z. 4 2 8 2 ? ? π kπ 所以 f(x)的定义域为?x∈R?x≠8 + ,k∈Z?. ? 2 ? ? π f(x)的最小正周期为 . 2 π sin?a+4? ? ? α? π? (2)由 f?2?=2cos2α,得 tan?α+4?=2cos2α, =2(cos2α-sin2α), ? ? π? ?α+ cos? 4? sinα+cosα 整理得 =2(cosα+sinα)(cosα-sinα). cosα-sinα π 因为 α∈?0,4?,所以 sinα+cosα≠0, ? ? 1 1 因此(cosα-sinα)2= ,即 sin2α= . 2 2

π π π π 由 α∈?0,4?,得 2α∈?0,2?,所以 2α= ,即 α= . ? ? ? ? 6 12 例 19 [2011· 江西卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 3acosA=ccosB +bcosC. (1)求 cosA 的值; 2 3 (2)若 a=1,cosB+cosC= ,求边 c 的值. 3 【解答】 (1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC, 1 有 ccosB+bcosC=a,代入已知条件得 3acosA=a,即 cosA= . 3 1 2 2 (2)由 cosA= 得 sinA= , 3 3 1 2 2 则 cosB=-cos(A+C)=- cosC+ sinC, 3 3 2 3 代入 cosB+cosC= , 3 3 6 π 得 cosC+ 2sinC= 3,从而得 sin(C+φ)=1,其中 sinφ= ,cosφ= ,0<φ< . 3 3 2 π 6 则 C+φ= ,于是 sinC= , 2 3 asinC 3 由正弦定理得 c= = . sinA 2 【解题技巧点睛】解答三角综合问题的策略: (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”. (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系. (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化.
[来源:学*科*网]

考点八 三角化简和解三角形相结合
例 20 [2011· 安徽卷] 在△ABC 中,a,b ,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3,b= 2,1+2cos(B+C)=0,求边 BC 上的高. 【解答】 由 1+2cos(B+C)=0 和 B+C=π-A,得 1-2cosA=0, 1 3 cosA= ,sinA= . 2 2 bsinA 2 再由正弦定理,得 sinB= = . a 2 π 2 由 b<a 知 B<A,所以 B 不是最大角,B< ,从而 cosB= 1-sin2B= . 2 2 2 3 1 由上述结果知 sinC=sin(A+B)= ? + ?. 2 ? 2 2? 3+1 设边 BC 上的高为 h,则有 h=bsinC= . 2 例 21 [2011· 江西卷]在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 sinC+cosC=1 C -sin . 2 (1)求 sinC 的值; (2)若 a2+b2=4(a+b)-8,求边 c 的值. C C C C 【解答】 (1)由已知得 sinC+sin =1-cosC,即 sin ?2cos 2 +1?=2sin2 , ? 2 2? 2

C C C C C 1 3 由 sin ≠0 得 2cos +1=2sin ,即 sin -cos = ,两边平方得:sinC= . 2 2 2 2 2 2 4 C C 1 π C π π 3 7 (2)由 sin -cos = >0 得 < < ,即 <C<π,则由 sinC= 得 cosC=- , 2 2 2 4 2 2 2 4 4 由 a2+b2=4(a+b)-8 得:(a-2)2+(b-2)2=0,则 a=2,b=2. 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC=8+2 7,所以 c= 7+1. 【解题技巧点睛】 利用正弦定理与余弦定理解题,经常利用转化思想,一个是边转化为角,另一个是角转化为 边.具体情况应根据题目给定的表达式进行确定,不管哪个途径,最终转化为角的统一或边 的统一,也是我们利用正余弦定理化简式子的最终目的.对于两个定理都能用的题目,应优 先考虑利用正弦定理, 会给计算带来相对的简便.根据已知条件中边的大小来确定角的大小, 此时利用正弦定理去计算较小边所对的角,可避免分类讨论;利用余弦定理的推论,可根据 角的余弦值的正负直接确定所求角是锐角还是钝角,但是计算麻烦.

针对训练
一.选择题

1.【2012 届河北正定中学高三上学期第二次月考】
若 sin ? ? ? , a ? ? ?

3 5

5 ? ? ? ? ? , 0 ? , 则 cos ? ? ? ? ? = 4 ? ? 2 ? ?
B.





A. ? 答案:C

2 10

2 10

C. ?

7 2 10

D.

7 2 10

解析:由 sin ? ? ? , ? ? (? 所以 cos(? ?

3 5

?
2

, 0) 得 cos ? ?

4 , 5

2 4 3 7 2 5? 5? 5? ( ? )?? . ) ? cos cos ? ? sin sin ? = ? 2 5 5 10 4 4 4

2.【2012 届河北正定中学高三上学期第二次月考】 ? 将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式 4
是( )
2

A. y ? 2 cos x C. y ? 1 ? sin(2 x ? 答案:A

B. y ? 2sin x
2

?
4

)

D. y ? cos 2 x

? 个单位, 再向上平移 1 个单位可得 4 ? ? y ? sin 2( x ? ) ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? 2cos 2 x . 4 2 ? 3. 【2012 届四川自贡高三一诊】 已知函数 y ? sin(2 x ? ) , 下列结论正确的个数 ( 3
解析: y ? sin 2 x 的图象向左平移



①图像关于 x ? ?

?
12

对称;

②函数在区间 [0, ? ] 上的最大值为 1; ③函数图像按向量 a ? (? A.0 答案:D 解析:当 x ? ?

?

?
6

, 0) 平移后所得图像关于原点对称.
C.2 D.3

B.1

?
12

时, 2 x ?

?
3

? 2 ? (?

?
12

)?

?
3

??

?
2

,所以①正确; x ?[0, ? ] 时

2x ?

?

? ? ? ? 7? ? ? ? ? , ? ,所以②正确;函数图像按向量 a ? (? , 0) 平移后所得的解析式为 3 ? 3 3 ? 6

y ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin 2 x ,所以③正确. 6 3 4.【北京市海淀区 2011-2012 学年度高三年级第一学期期末统一考试】
函数 f ( x) = A sin(2 x + ? )( A, ?

?

?

R) 的部分图象如图所示,那么 f (0) =
3 2
3





(A) -

1 2

(B) -

(C) - 1 答案:C

(D) -

, 2) 为函数图象的最高点,? A ? 2, f ( ) ? 2, 3 3 2? 2? 2? ? ? 2sin( ? ? ) ? 2,? sin( ? ? ) ? 1,? ? ? ? ? 2k? (k ? Z ) 3 3 3 2
解析:由图可知, (

?

?

?? ? ?

1 ? 2k? ) ? 2 ? (? ) ? ?1. 故选 C. 6 6 2 5.【唐山市 2011—2012 学年度高三年级第一学期期末考试】 ? 2k? (k ? Z ),? f (0) ? 2sin ? ? 2sin(?
若x ?

?

?

?
6

是函数 f ( x) ?

3 sin ? x ? cos ? x 图象的一条对称轴,当 ? 取最小正数时(



A. f ( x) 在 ( ? C. f ( x) 在 ( ? 答案:A

?
?

, ? ) 单调递减 3 6
, 0) 单调递减

?

B. f ( x) 在 (

? ?

, ) 单调递增 6 3

6

D. f ( x) 在 (0,

?

6

) 单调递增

解析:化简函数的解析式为 f ( x) ? 2sin(? x ?

?
6

), 依题意可知:

? ? ? ? ? ? 1 f ( ) ? 2sin(? ? ? ) ? ?1,?? ? ? ? k? ? (k ? Z ),?? ? 6(k ? ), 6 6 6 6 6 2 3
当 k ? 0,

? ? 取得最小正数是 2,故函数的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ),
6

由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

(k ? Z ) ,可知函数的单调递增区间为

[k? ?
因 (0,

?

, ], 故正确答案为 A. 6 3 6 6.【唐山市 2011—2012 学年度高三年级第一学期期末考试】
若 ? ? ? ? 30?, 则 sin ? ? cos ? ? sin ? cos ? ?
2 2

?

, k? ? ](k ? Z ), 当 k ? 0, 函数的一个单调递增区间为 [? , ], 3 6 3 6 ) ? [?

?

? ?

? ?

( C. cos ?
2


2

A. 答案:B

1 4
?

B.

3 4
2

D. sin ?

解析:将 ? ? a ? 30 代入 sin ? ? cos ? ? sin ? cos ? 整理为:
2

sin 2 ? ? cos 2 (a ? 30? ) ? sin ? cos( a ? 30? ) ? sin 2 ? ? (cos a cos 30? ? sin a sin 30? ) 2 ? sin ? (cos a cos 30? ? sin a sin 30? )

? sin 2 ? ? (

3 1 3 1 cos a ? sin a)( cos a ? sin a ? sin ? ) 2 2 2 2

3 1 3 1 cos a ? sin a)( cos a ? sin a) 2 2 2 2 3 1 ? sin 2 ? ? ( cos a) 2 ? ( sin a) 2 2 2 3 1 3 3 ? sin 2 ? ? cos 2 a ? sin 2 a ? (sin 2 ? ? cos 2 a) ? . 4 4 4 4 ? sin 2 ? ? (
故答案为 B.

7.【湖北省孝感市 2011—2012 学年度高中三年级第一次统一考试】
已知 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的部分图象如图所示,则 f ( x) 的表达式为 ( )

3 ? ) 2 4 3 5? B. f ( x) ? 2sin( x ? ) 2 4 4 2? C. f ( x) ? 2sin( x ? ) 3 9
A. f ( x) ? 2sin( x ?

D. f ( x) ? 2sin( x ? 答案:B

4 3

25 ?) 18
3 4 5 ? 4 2? 3 ? ? (? ),?T ? ?, ? = = . 排除 C、D;又因 ? 6 6 3 T 2

解析:由函数的图像可知,? T ? 函数过点 (

5? , 2), 代入验证 B 满足条件. 6 8.【2012 年长春市高中毕业班第一次调研测试】 ? B? 6 ,则 ?C ? C?3, A 在 △ B 中, ? A ? , B AC 3 ? ? 3? 3? A. 或 B. C. 4 4 4 4
答案:C 解析: 由正弦定理 sin C ?

D.

?
6

2 ? , B 又 C?3,A ∴ 则 故 B? 6 , A ? C , C 为锐角, C ? . 4 2

9.【2012 年长春市高中毕业班第一次调研测试】 函数 ys?? ? ? x( 0 c o ) , ( 0 ) ? 为奇函数,该函数的部分
图像如图所示, A 、 B 分别为最高点与最低点,且 | AB |? 2 2 , 则该函数图象的一条对称轴为

? ? ?? ?
? 2 D. x ? 1
B. x ?

2 ? C. x ? 2
A. x ? 答案:D

解析:由 y c ( x ? ? s ?) o? 为奇函数,得 ? ? k? ?

?

2 T ? ? ? ) ? i? , 当 x ? 1 时 , ? ? snx 合图象知 , ∴ y cs x ?1 ,∴ ? ? ?o( 4 2 2 2 2 y ??sin ?? ,∴ x ? 1 是其一条对称轴. 1 2 10.【安徽省示范高中 2012 届高三第二次联考】
已知函数 f ( x) ? 2cos(? x ? ? ) (? ? 0) 的图像关于直线 x ? 最小值为( 答案:A ) A. 2 B. 4 C. 6

(k?Z) ,又 0????,∴ ? ?

? .结 2

?

?
12

对称, f ( ) ? 0 , ? 的 且 则

?

3

D. 8

解析:由题设

??
12

? ? ? k1? ,

??
3

? ? ? k2? ?

?
2

, ,于是

??
4

? (k2 ? k1 )? ?

?
2

,

? 最小可以取 2.

11. 【2012 届江西省重点中学协作体高三第一次联考】 5? 已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图象的一条对称轴是 x ? ,则函数 g ( x) ? a sin x ? cos x 3
的最大值是( A. ) B.

2 2 3

2 3 3

C.

4 3

D.

2 6 3

答案: A

解析:由函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图象的一条对称轴是 x ? 得 1? a ? ?
2

5? 3

3 a 3 ? ,解得 a ? ? ,所以函数 g ( x) ? a sin x ? cos x 的最大值是 2 2 3

a2 ? 1 ?

1 2 2 ?1 ? . 3 3

12. 【2012 届河北正定中学高三上学期第二次月考】若 ?ABC 的内角 A, B, C 所对
的边 a, b, c 满足 (a ? b) ? c ? 4 ,且 C ? 60 ,则 a ? b 的最小值为 (
2 2

0



A.

4 3
2 3 3

B. 8 ? 4 3

C. 答案:D

D.

4 3 3

解析:由余弦定理可得: c ? a ? b ? 2ab cos C ? (a ? b) ? 3ab ? (a ? b) ? 4,
2 2 2 2 2

所以有 ab ?

4 a?b 2 4 3 ?( ) ,? ab ? . 3 2 3

二.填空题 13.【2012 大同市高三学情调研】在
C依次成等差数列,
答案: ,则 中,内角A、B、 外接圆的面积为_____.

49 ? 3
0

解析:由题意可得 B=60 ,由余弦定理得:

AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB?BC cos 600 ? 64 ? 25 ? 2 ? 8 ? 5 ?
由正弦定理可得

1 ? 49 ,所以 AC ? 7 , 2

7 3 2 49 AC 7 7 3 2 ) ? ?. ? 2 R, ? 2 R,? R ? ,S ??R ??( 0 3 3 sin 60 3 3 2

14【2012 届江西省重点中学协作体高三第一次联考】 cos 2? 1 ? ?? 已知 sin ? ? cos? ? ,且 ? ? ? 0, ? ,则 的值为 ?? 2 ? ? 2? sin ? ? ? ? 4? ? 14 答案: ? 2

解析: 由 sin ? ? cos? ?

7 1 ? ?? ,且 ? ? ? 0, ? ,得 sin ? ? cos ? ? , 2 2 ? 2?

7 cos 2? cos 2 ? ? sin 2 ? sin ? ? cos ? 14 所以 . ? ?? ?? 2 ?? ?? 2 ? 2 2 2 2 sin ? ? ? ? sin ? ? cos ? 4? ? 2 2 2 2 15.【唐山市 2011—2012 学年度高三年级第一学期期末考试】 4 在 ?ABC 中, C ? 60?, AB ? 3, AB 边上的高为 , 则 AC+BC= . 3
答案: 11

1 1 AB ? h ? AC BC sin 60? , 2 2 1 4 1 8 ? ? 3 ? ? AC BC sin 60? ,? AC BC ? . 2 3 2 3
解析:依题意,利用三角形面积相等有: 利用余弦定理可知 cos 60 ?
?

AC ? BC ? AB
2 2

2

2 AC BC

AC ? BC ? 3 ,? cos 60 ? , 8 2? 3
2 2 ?

解得: AC ? BC ?
2 2 2

17 . 3
2 2

17 16 ? ? 11,? AC ? BC ? 11. 3 3 16.【2012 届无锡一中高三第一学期期初试卷】如图,两座相距 60m
又因 ( AC ? BC ) ? AC ? BC ? 2 AC BC ? 的建筑物 AB、CD 的高度分别为 20m、50m,BD 为水平面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角∠CAD 的大小是 . 答案: 45
?

解析:考查解三角形及和差角公式; tan ?ADC ? tan ?DAB ?

60 ? 3, 20

60 tan ?ADC ? tan ?DCA ? 2,? tan ?DAC ? tan(? ? ?ADC ? ?DCA) ? ? 50 ? 20 1 ? tan ?ADC tan ?DCA 2?3 ?? ? 1 ,而 tan ?ADC ? 45? , tan ?DCA ? 45? ,??DAC ? 45? 1? 2?3 三、解答题 17.【北京市海淀区 2011-2012 学年度高三年级第一学期期末统一考试】 tan ?DCA ?
在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , A ? 2B , sin B ? (Ⅰ)求 cos A 及 sin C 的值; (Ⅱ)若 b = 2 ,求 ?ABC 的面积.

3 . 3

解: (Ⅰ)因为 A ? 2B , 所以 cos A = cos 2B = 1- 2sin B . 因为 sin B ?
2

………………………………………2 分

3 , 3
………………………………………3 分

1 1 . 3 3 ? 由题意可知, B ? (0, ) . 2
所以 cos A = 1- 2? 所以 cos B =

1- sin 2 B =

6 . 3

………………………………………5 分

因为 sin A = sin 2 B = 2sin B cos B =

2 2 .………………………………………6 分 3

所以 sin C = sin[? - ( A + B)] = sin( A + B)

= sin A cos B + cos A sin B =
(Ⅱ)因为
[来源:学科网]

5 3 . 9

………………………………………8 分

b a ,b = 2 , = sin B sin A

………………………………………10 分

所以

2 a . = 3 2 2 3 3
4 6 . 3
………………………………………11 分

所以 a =
学。科。网 Z。X。X。K]

[来源:

所以 S?ABC =

1 20 2 ab sin C = . 2 9

………………………………………13 分

18.【2012 年长春市高中毕业班第一次调研测试】 如图,在平面直角坐标系中,锐角 ? 和钝角 ? 的终边分别与单位 圆交于 A , B 两点. 4 12 o ⑴如果 A 、 B 两点的纵坐标分别为 、 ,求 c s?和 sin ? ; 5 13 ⑵在⑴的条件下,求 c s ? ? 的值; o( ? ) ???? ? ? ? ? 1 ⑶已知点 C (? ,3),求函数 f( ) O O的值域. ?? A C ?

解: (1)根据三角函数的定义,得 sin ? ? 又 ? 是锐角,所以 cos ? ? (2)由(1)知 sin ? ?

4 12 , sin ? ? . 5 13
( 4 分)

3 . 5

12 . 13

因为 ? 是钝角,所以 cos ? ? ?

所以 c ? o ss s ?) ? ? o ) s s ? c? i ( ? ? . ( c o i n? n (3)由题意可知, O (o , , O ?? 3 . A c ? n) C ( 1 ) ? s s? i ,

3 4 2 3 ? ?? ?? 1 1 3 ?5 1 6 3 3 5 5 5
? ? ? ? ?? ? ?

5 . 13

( 8 分)

所以 f )O ? i ? ? ( ) , ( ??C s c 2 ? A O3 n o s s i n 因为 0 ? ? ?

?

?? ?? ?? ??

? ?? ? 6
( 12 分)

1 ? 3 ? ? ? ? ,所以 ? ??? ? , ? ? i ( ? )? sna 2 6 6 3 2 6 2 ???? ? ? ? ? 从而 ?? ( ) 3 1 f ?? ,因此函数 f( )? A C ? O?O的值域为 (?1, 3) .

19【湖北省八校 2012 届高三第一次联考】
已知幂函数 f ( x) ? (n ? 2n ? 1) x
2 n2 ? 2

在(0, ??) 上是增函数,

? ? a ? (sin ? , ?2), b ? (1, cos ? ) , g ( x) ? f (sin x ? cos x) ? 2 3 cos 2 x.
(1)当 a ? b 时,求 g (? ) 的值; (2)求 g ( x) 的最值以及 g ( x) 取最值时 x 的取值集合. 解: (1)依题设得 n ? 2, f ( x) ? x .
2

?

?

? ? ? a ? b ,? tan ? ? 2

g (? ) ? 2sin ? cos ? ? 2 3 cos 2 ? ? 1

?

2 tan ? ? 2 3 9?2 3 ?1 ? ……………………(6 分) 2 1 ? tan ? 5

20.【浙江省名校新高考研究联盟 2012 届第一次联考】 1 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 cos B ? ? . 2

(Ⅰ)若 a ? 2, b ? 2 3 .求 ?ABC 的面积; (Ⅱ)求 sin A ? sin C 的取值范围. 解: (1) Q cos B ? ? ,? sin B ? 由三角形正弦定理可得:
?A?

1 2

3 2

?
6

,C ?

?
6

2 2 3 1 ? , sin A ? , sin A sin B 2

……5 分 ……7 分

S ?ABC ?

1 ab sin C ? 3 2

(2) sin A ? sin C ? sin(

?
3

? C ) ? sin C ?

Q C ? (0, ) ,? 2C ? ? ( , ) 6 6 6 3
?sin(2C ?

?

1 ? 1 sin(2C ? ) ? ……11 分 2 6 4

?

? 5?

?

1 ) ? ( ,1] 6 2

……12 分

1 则 sin A ? sin C ? (0, ] 4

……14 分

21.【惠州市 2012 届高三第二次调研考试】
已知函数 y ? sin 4 x ? 2 3 sin x cos x ? cos4 x , (1)求该函数的最小正周期和最小值; (2)若 x ? ? 0, ? ? 求该函数的单调递增区间. ,

?? ? 解: (1) y= 3 sin 2 x ? sin 4 x ? cos 4 x = 3 sin 2 x ? cos 2 x=2sin ? 2 x ? ? 6? ?

?

?

………… 4 分

所以 T ? ? , ymin ? ?2 (2) 令2k? -

………… 6 分

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,k ? Z,则k? -

?
6

? x ? k? ?

?
3

,k ? Z

………… 8 分 ………… 10 分

5? 4? , ] 或 x ?[ , ] , 6 3 6 3 ? 5? 与 x ?[0, ? ] 取交集, 得到 x ? [0, ] 或 x ?[ , ? ] , 3 6 ? ? ? ? 5? ? 所以,当 x ?[0, ? ] 时,函数的 递增区间是 ?0, ? 和 ? ,? ? 3? ? 6 ? ? .
令 k ? 0,1 ,得到 x ? [-

? ?

………… 12 分

22.【北京市朝阳区 2011-2012 学年度高三年级第一学期期中统一考试】 3 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos B ? . 4 2 A?C (Ⅰ)求 sin 2 B ? cos 的值; 2
(Ⅱ)若 b ? 3 ,求 ?ABC 面积的最大值.

解析: (I)因为 cos B ? 又 sin 2 B ? cos 2

7 3 ,所以 sin B ? . 4 4

…………1 分

A?C π?B ? 2sin B cos B ? cos 2 2 2 ?( 1 B o s c )
……………6 分

?2 siB n
= 2?

1 cos B? 2

7 3 1 1? 3 7 ? + = . 4 4 8 8

(II)由已知得 cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 3 ? , 2ac 4

…………7 分

2 2 又因为 b ? 3 , 所以 a ? c ? 3 ?

3 ac . 2

…………8 分

又因为 a ? c ?
2 2

3 ac ? 3 ? 2ac , 2
6 时, ac 取得最大值.
…………11 分

所以 ac ? 6 ,当且仅当 a ? c ? 此时 S?ABC ?

1 1 7 3 7 ac sin B ? ? 6 ? ? . 2 2 4 4 3 7 . 4
……………13 分

所以 ?ABC 的面积的最大值为

23.【河北省唐山市 2012 届高三上学期摸底考试数学】
在 ?ABC 中, BC ? 1 , cos B ?

2 2 , cos A ? sin C ,求 sin A 及 AC 的值. 3

解析:由 cos A ? sin C ,得 cos A ? cos( 因为 A ? (0, 所以 A ? 若A?

?
2

? C ),

? ?
),

? ? ?? ? C ?? ? , ? , 2 2 ? 2 2?

?
2

? C , 或A ? C ?

?
2



?
2

? C ,则 A ? C ?

?
2

,B ?

?
2

,这与 cos B ?

2 2 矛盾, 3

所以 A ? C ?

?
2

? ? ? ( A ? B) ?

?
2

,即 2 A ?

?
2

? B ………………………………5 分

所以 cos 2 A ? sin B ? 1 ? cos 2 B ?

1 , 3

即 1 ? 2sin 2 A ?

1 , 3
3 ……………………………………………………8 分 3

因为 sin A ? 0 ,所以 sin A ? 由正弦定理,有

AC BC , ? sin B sin A

所以 AC ?

BC ? sin B 3 ? ………………………………………………………12 分 sin A 3


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