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高中数学基础知识强化记忆6


专题六:立体几何
一、空间几何体
1、空间几何体的结构 棱柱: (1)棱柱的分类: ①按侧棱是否与底面垂直分类:分为斜棱柱(侧棱不垂直于底面)和直棱柱(侧棱垂直于底面) ,其中底 面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。 ②按底面边数的多少分类: 底面分别为三角形, 四边形, 五边形?, 分别称为三棱柱, 四棱柱, 五棱柱, ?; (2)棱柱的性质: ①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等,直棱柱的各个侧面都是矩形,正棱柱的各个侧面 都是全等的矩形。 ②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。 平行六面体: (1)定义:底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体; (2)几类特殊的平行六面体:{平行六面体} ? ? {直平行六面体} ? ? {长方体} ? ? {正四棱柱} ? ? {正方体}; (3)性质:①平行六面体的任何一个面都可以作为底面; ②平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分; ③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和; ④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。 棱锥的性质:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比 等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比,截得小棱锥的体积与原来棱锥的体积比等于顶点至截面距离与棱 锥高的立方比。 正棱锥: (1)定义:如果一个棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫正棱锥。 特别地,侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。 (2)性质: ①正棱锥的各侧棱相等, 各侧面都是全等的等腰三角形, 各等腰三角形底边 上的高(叫侧高)也相等。 ②正棱锥的高 h 、斜高 h? 、斜高在底面的射影(底面的内切圆的半径 r ) 、 侧棱、侧棱在底面的射影(底面的外接圆的半径 R ) 、底面的半边长可组成四个直角三角形。
1

如图,正棱锥的计算集中在四个直角三角形(特征三角形)中:Rt ?SOB, Rt ?SOE ,Rt ?EOB, Rt ?SBE , 其中 a, l , ? , ? 分别表示底面边长、 侧棱长、 侧面与底面所成的角和侧棱与底
D′

面所成的角。 特别提醒: 熟练掌握正三棱锥、 正四棱锥中的线面位置关系和数量位置关系。 棱台: 一个棱锥被平行于底面的平面截去小锥以后所剩留部分的几何体, 叫 做棱台
A

A′

C′ O′ E′ B′

D O B E

C

正棱台: 由正棱锥截得的棱台叫正棱台 正棱台的特性,尤其是正棱台的上、下底面半径、边心距和侧棱、斜高和台高所形成的三个直角梯形 和两个直角三角形,在解决问题中往往起到关键的作用。直角梯形可以转化为直角三角形,这四个直角三 角形包含了正棱台的主要元素,底面边长、边心距、高、斜高、侧棱以及侧面与底面、侧棱与底面所成的 角。应用它们之间的关系就可以解决正棱台的有关计算问题。 特别提醒:由于棱台是以棱锥用平行于底面的平面截得,所以棱台与棱锥有相当密切的关系,学习中应引 起足够的重视. 圆柱、圆锥、圆台的性质 (1)圆柱的性质:①是连心线垂直圆柱的底面;②是三个截面的性质——平行于底面的截面是与底面全等 的圆;轴截面是一个以上、下底面圆的直径和母线所组成的矩形;平行于轴线的截面是一个以上、下底的 圆的弦和母线组成的矩形. (2)圆锥的性质:
V

①平行于底面的截面圆的性质:截面圆面积和底面圆面积的比等于从顶点到截 面和从顶点到底面距离的平方比. ②过圆锥的顶点,且与其底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成

1 的等腰三角形,其面积为: VB ? VC sin ?AVB 2
③圆锥的母线 l, 高 h 和底面圆 R 的半径组成一个直径三角形, 圆锥的有关计算 问题,一般都要归结为解这个直角三角形,特别是关系式 l ? h ? R .
2 2 2

B A

C

(3)圆台的性质,都是从“圆台为截头圆锥”这个事实推得的,但必须明确: ①是连心线垂直圆柱的底面 ②圆台的母线 l,高 h 和上、下两底圆的半径 r、R,组成一个直角梯形,且有 l ? h ? ( R ? r ) 圆台的有
2 2 2

关计算问题,常归结为解这个直角梯形. ③圆台的母线共点,所以任两条母线确定的截面为一等腰梯形,但是,与上、下底面都相交的截面不一定 是梯形,更不一定是等腰梯形.
2

球的截面的性质: ①用任意平面截球所得的截面是一个圆面,球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直. ②如果用 R 和 r 分别表示球的半径和截面圆的半径,d 表示球心到截面的距离,则 R ? r ? d ,即球的
2 2 2

半径,截面圆的半径,和球心到截面的距离组成一个直角三角形,有关球的计算问题,常归结为解这个直 角三角形. 提醒:球与球面的区别(球不仅包括球面,还包括其内部) 。 折叠问题:要将折叠前后的两个图形对照考察,弄清所涉及的元素在折叠前后的数量关系或位置关系. 几何体表面内两点间的最短距离问题:柱、锥、台的表面都可以平面展开,这些几何体表面内两点间最短 距离,就是其平面内展开图内两点间的线段长. “切”“接”问题:(1)对简单多面体、旋转体的“切”“接”问题,一般是通过选择能够包含各元素间的 关系的一个截面(多为轴截面) ,转化为平面图形或采用“等积法”来解决.应特别注意截面图形与直观 图的联系,并注意两者构成元素的异同. (2)对于球的内接外切问题,作适当的截面――既要能反映出位置关系,又要反映出数量关系。 2、空间几何体的三视图和直观图 (1)三视图: 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 (2)画三视图的原则:长对齐、高对齐、宽相等 (3)直观图:斜二测画法 (4)斜二侧画法规则:在画直观图时,要注意:①使 ?x?o?y? ? 135 , x?o?y ? 所确定的平面表示水平平面。
0

②已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图中保持长度和平行性不变,平行于 y 轴的线段平行性不 变,但在直观图中其长度为原来的一半。 (5)用斜二测画法画出长方体的步骤: (1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 3、空间几何体的表面积与体积 (1)空间几何体的表面积 ①直棱柱、正棱锥与正棱台的侧面积(各个侧面面积之和) : 直棱柱:直棱柱的侧面积 S =底面周长×侧棱长.

1 ×底面周长×斜高。 2 1 正棱台:正棱台的侧面积 S = ×(上底面周长+下底面周长)×斜高. 2
正棱锥:正棱锥的侧面积 S = 提醒:A 直棱柱、正棱锥与正棱台的侧面积公式是通过其侧面展开图获得的. B 全面积(也称表面积)是各个表面面积之和,故棱柱的全面积=侧面积+2×底面积;棱锥的全面 积=侧面积+底面积,棱台的全面积=侧面积+(上底面积+下底面积).
3

②圆柱的表面积 S ? 2?rl ? 2?r 2 ④圆台的表面积 S ? ?rl ? ?r ? ?Rl ? ?R
2 2

③圆锥的表面积 S ? ?rl ? ?r ⑤ 球的表面积 S ? 4?R
2

2

(2)空间几何体的体积 ①柱体的体积 ③台体的体积

V ? S底 ? h
1 V ? (S 上 ? S 上 S 下 ? S 下 ) ? h 3

②锥体的体积 ④球体的体积

V ?

1 S底 ? h 3 4 V ? ?R 3 3

特别提醒:求多面体体积的常用技巧是割补法(割补成易求体积的多面体) 。 补形:三棱锥 ? 三棱柱 ? 平行六面体; 分割:三棱柱中三棱锥、四棱锥的体积关系和等积变换法(平行换点、换底)和比例(性质转换)法等.

二、点、直线、平面之间的位置关系
1.三个公理和三条推论: 公理 1:一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平 面内的常用方法。 公理 2:经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 推论 1:经过直线和直线外一点有且只有一个平面。 推论 2:经过两条相交直线有且只有一个平面。 推论 3:经过两条平行直线有且只有一个平面。公理 2 和三个推论是确定平面的依据。 公理 3、如果两个平面有两个公共点,它们有无数个公共点,而且这无数个公共点都在同一条直线上。这 是判断几点共线(证这几点是两个平面的公共点)和三条直线共点(证其中两条直线的交点在第三条直线 上)的方法之一。 2、公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. 3、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 4、空间直线的位置关系: (1)相交直线――有且只有一个公共点。 (2)平行直线――在同一平面内,没有公共点。 (3)异面直线――不在同一平面内,也没有公共点。 5、直线与平面的位置关系: (1)直线在平面内; (2)直线与平面相交。其中,如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂 直。注意:任一条直线并不等同于无数条直线; (3)直线与平面平行。其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。

4

6、平面与平面的位置关系: (1)平行――没有公共点; (2)相交――有一条公共直线。 7、线线平行与垂直
判定线线平行的方法: (1)公理 4:平行于同一直线的两直线互相平行; (找一线和这两线都平行) (2)线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行; (3)面面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行; (4)线面垂直的性质:如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。 (5)利用中位线的性质; 两直线垂直的判定: 转化为证线面垂直;相交垂直可以考虑勾股定理.

8、直线与平面的平行与垂直
直线与平面平行的判定和性质:

(1)判定: ①判定定理:如果平面内一条直线和这个平面平面平行,那么这条直线和这个平面平行

a ∥ b,b ? 面?,a ? ? ? a ∥ 面? ; (在平面内找一条直线与已知直线平行:找一平面过已知直线与
已知平面相交,则交线就是) ②面面平行的性质:若两个平面平行,则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。

? ∥ ?,a ? ?, ? a ∥ ? (找一平面过已知直线与已知平面平行)
另外,如下方法有时也用:α 、β 表示平面,a、b 表示直线 ① a ? ? ? ? , 则a // ? (定义法) :通常反证 ② a ? b, ? ? b, a ? ? , 则a // ? . (2)性质:如果一条直线和一个平面平行,那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线 平行。 在遇到线面平行时, 常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面, 以便运用线面平行的性质。 直线和平面垂直的判定和性质: (1)判定: ①判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直。

5

②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直,那么另一条直线也和这个平面垂直。 a || b, a ? ? ? b ? ? ③一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面 ④ 面? ⊥面?,? ? ? ? l,a ? ?,a ⊥l ? a ⊥ ? (2)性质: ①如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。 ②如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。 9、面面平行与垂直 两个平面平行的判定和性质: (1)判定: ①判定定理:一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行,则这两个平面平行。 一面内找两相交直线与另一平面平行(线面 ? 面面). ②依据垂直于同一直线的两平面平行来判定 . ③利用面面平行传递性依定义 ④采用反证法证明两平面没有公共点. (2)性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 两个平面垂直的判定和性质: (1)判定: ①判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 (在一个面中找另一 个面的一条垂线:在一面内作两面交线的垂线,即为所求) ; ②定义法:找一个平面与这两个平面都垂直相交,证明两交线交角为直角; (2)性质:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 特别指出:立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化,即:

线∥线 ? ?? 线∥面 ? ?? 面∥面 判定 性质 ? ??? 线⊥线 ? ?? 线⊥面 ? ?? 面⊥面 ???? 线∥线 ? ?? 线⊥面 ? ?? 面∥面

6


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