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内蒙古包头一中届高三下学期第三次模拟考试数学试题及答案(理)

内蒙古包头一中 2013 届高三下学期第三次模拟考试(理)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案涂在答题纸相应的位置)

1.设集合U ? ? 1,2,3,4,5? ,A ? ? 1,2,3? ,B ? ?2,5?则A ? (CU B) ? ( A)?2? ( B)?2,3? (C )?3? ( D)? 1,3?
1 2. 已知函数 f ( x) ? ( ) x ? sin x ,则 f ( x) 在[0,2 ? ]上的零点个数为 2 A.1 B.2 C.3 D.4

3.已知a, b均为单位向量,它们的 夹角为60?,那么a ? 3b ? ( A) 7 ( B) 10 (C ) 13 ( D)4

?y ? x ?1 ? 4.设实数 x,y 满足不等式组 ? y ? x ? 2 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值是 ?y ? 0 ?

A. ?

7 2

B.-2

C.1

D.

5 2

5.已知三棱锥 S—ABC 的三条侧棱两两垂直,且 SA=2,SB=SC=4,则该三棱锥的 外接球的半径为 A.3 B.6 C.36 D.9
2i 1 2 2 3 3 2013 2013 1 ? i (i 是虚数单位) , C2013 x ? C2013 x ? C2013 x ? ?? C2013 x =
B. -i C. -1 +i D.1+i

6.设复数 A.i

x?

7. 在△ ABC 中,若 3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则角 C 为

A.30°或 150° B. 30°

C. 150°

D. 60°

8. 设 F1 , F2 是离心率为 2 的双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右两个焦点, a2 b2

| O 为坐标原点) 若在双曲线左支上存在点 P,使 | OP |?| OF2 ( 且 | PF2 |? ? | PF1 | ,
则 ? 的值为 (A) 2 ? 3 (C) 2 ? 5 (B)4 (D) 2 ? 6

9.如右图所示,输出的 n 为

A. 10 C. 12

B. 11 D. 13

10.如上图,已知函数 y ? sin x, x ? [?? , ? ] 与 x 轴围成的区域记为 M(图 中阴影部分),若随机向圆 O:x2+y2= ? 2 内投入一米粒,则该米粒落在区 域 M 内的概率是 A.
4 ?2

B.

4 ?3

C.

2 ?2

D.

2 ?3

11. 某班要从 A,B,C,D,E 五人中选出三人担任班委中三种不同的职务,则上届任 职的 A,B,C 三人都不再连任原职务的方法种数为 (A)30 (B)32 (C)36 (D)48

12. 设集合 A ? [0,1), B ? [1,2] , 函数 f ( x) ? ? 则 x0 的取值范围是 A.( log 2
3 ,1 ) 2

2 x , ( x ? A), x0 ? A, 且 f [ f ( x0 )]? A, 4 ? 2 x, ( x ? B),

B.( log3 2,1 )

2 C.( ,1 ) 3

D.[0,

3 ] 4

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填写在答题纸相 应位置的横线上) 13.经调查某地若干户家庭的年收入 x (万元)和年饮食支出 y (万元)具有线性
? =0.254 x +0.321,由回归 相关关系,并得到 y 关于 x 的线性回归直线方程: y

直线方程可知,家庭年收入每增加 l 万元,年饮食支出平均增加

万元.

14.点 P(4,-2)与圆 x2 ? y 2 ? 4 上任一点所连线段的中点的轨迹方程是



an ( n ? N? ) .设 bn ? an ? an?1 ( n ? N? ) , 2a n ? 1 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,则 S n 为 ______ .
15.已知数列 ?an ? 中 a1 ? 1 , a n ?1 ?

16. 对 于 三 次 函 数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 给 出 定 义 : 设 f ?( x ) 是 函 数
y ? f ( x) 的导数, f ??( x) 是函数 f ?( x ) 的导数,若方程 f ??( x) ? 0 有实数解 x 0 ,则

称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点”,某同学经过探究发现:任何一个三次 函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心。给 定 函 数 f ( x) ?
1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? ,请你根据上面探究结果,计算 3 2 12

f(

1 2 3 2012 )? f( )? f( ) ? ... ? f ( ) =____________. 2013 2013 2013 2013

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |? (Ⅰ)若 cos

?
2

?
4

cos ? ? sin

?? sin ? ? 0, 求 ? 的值; 4

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离

? ,求函数 f ( x) 的解析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x) 的图像象 3 左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数.
等于

18. (本小题满分 12 分) 2012 年“双节”期间,高速公路车辆较多。某调查公 司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆 的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查, 将他们在某段高速公路的车速 (km/t) 分成六段:[60,65),[65,70),[70,75), [75,80),[80,85), [85,90)后得到如下图 的频率分布直方图.问: (1)某调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法? (2)求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. (3) 若从车速在[60,70) 的车辆中任抽取 2 辆, 求抽出的 2 辆车中车速在 [65,70) 的车辆数 X 的分布列及其均值(即数学期望) .

19. (本小题满分 12 分)如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在 的平面互相垂直. AB ∥ CD , AB ? BC , AB ? 2CD ? 2 BC , EA ? EB . (1)求证: AB ? DE ;
E

(2)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值.

B C D

A

20.(本小题满分 12 分) 已知焦点在 y 轴上的椭圆 C1:

3 y2 x2 ? 2 =1 经过 A(1,0)点,且离心率为 . 2 a b 2

(I)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)过抛物线 C2: y ? x 2 ? h (h∈R)上 P 点的切线与椭圆 C1 交于两点 M、N, 记线段 MN 与 PA 的中点分别为 G、H,当 GH 与 y 轴平行时,求 h 的最小值.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 在点 (3, f (3))处的切线方程为
12 x ? 2 y ? 27 ? 0 ,且对任意的 x ??0, ??? , f ?( x) ? k ln( x ? 1) 恒成立.

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求实数 k 的最小值;

考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作 答时用2B铅笔在答题纸上把所选题号涂黑.

22. (本小题满分10分)选修4一 1:几何证明选讲 如图,AB是 的弦,C、F是 上的点,OC垂直于弦AB,过点F作 的切线,

交AB的延长线于D,连结CF交AB于点E. (1) 求证: ;

(2) 若BE = 1,DE = 2AE,求 DF 的长.

23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的

长度单位.已知直线 l 的参数方程为 的极坐标方程为 ,

(t为参数,

) ,曲线C

(1)求曲线C的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线C相交于A、B两点,当 ? 变化时,求|AB|的最小值.

24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设 (1)求不等式 (2 )若关于X不等式 . 的解集S; 有解,求参数t的取值范围.

参考答案
一.选择题:1-5 DBCAA 6-10 CBADB 11-12 BA 15.
n 16.2012 2n ? 1
2分

二. 填空题: 13.0.254. 14. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 三.17.解(I)由 cos
即 cos(

?
4

cos ? ? sin

?
4

? ? ) ? 0 又 | ? |?

?

3? ? ? sin ? ? 0 得 cos cos ? ? sin sin ? ? 0 4 4 4 ,?? ?

?

2

(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ? 又T ?

?
4

4
依题意,

4分

)

2?

, 故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3x ? ) ? 4

?

T ? ? 2 3
6分

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为

?? ? g ( x)? s i? n 3 x ? ( m? ) ? 4? ?
g ( x) 是偶函数当且仅当 3m ?
即m ?

8分

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z )
10 分

k? ? ? (k ? Z ) 3 12

从而,最小正实数 m ? 18.解:(1)系统抽样

? 12

12 分 (2 分) (4 分)

(2)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 77.5 设 图 中 虚 线 所 对 应 的 车 速 为 x

, 则 中 位 数 的 估 计 值 为 :

0 . ? 0 1? 5

0 ?. 0 ?2

x ? 77.5 5? 0 ?. x 0 4? 5 ? 0 .解得 ? 0 6 ( 7 5 )

0 . 5
(6 分)

即中位数的估计值为 77.5

19 解: (1)证明:取 AB 中点 O ,连结 EO , DO . 因为 EB ? EA ,所以 EO ? AB
因为四边形 ABCD 为直角梯形,

2分

AB ? 2CD ? 2 BC , AB ? BC ,
所以四边形 OBCD 为正方形,所以 AB ? OD . 所以 AB ? 平面 EOD . 所以 AB ? ED . (2)因为平面 ABE ? 平面 ABCD ,且 EO ? AB , 所以 EO ? 平面 ABCD ,所以 EO ? OD . 由 OB, OD, OE 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . 因为三角形 EAB 为等腰直角三角形,所以 OA ? OB ? OD ? OE ,设 OB ? 1 , 则 O(0,0,0), A(?1,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E (0,0,1) . 所以 EC ? (1,1,?1) ,平面 ABE 的一个法向量为 OD ? (0,1,0) . 设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为 ? , 所以 sin ? ? | cos? EC, OD? | ? 6分 4分

| EC ? OD | 3 , ? | EC || OD | 3
3 3
12 分

即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为

?1 ? b 2 ? 1, ? y2 3 ?c 2 ? 1.…4 分 20.解: (Ⅰ)由题意 ? ? ,得 a ? 2, b ?1 ,椭圆 C1 的方程为 x ? , 4 2 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ? ?
2 (Ⅱ)设 P t , t ? h ,由 y? ? 2 x ,抛物线 C2 在点 P 处的切线的斜率为 k ? y?

?

?

x ?t

? 2t ,

所以 MN 的方程为 y ? 2tx ? t 2 ? h ,……………5 分 代入椭圆方程得 4 x ? 2tx ? t ? h
2 2

?

?

2

? 4 ? 0,
2

化简得 4 1 ? t

?

2

?x

2

? 4t ? t 2 ? h ? x ? ? t 2 ? h ? ? 4 ? 0


4 2 2 又 MN 与椭圆 C1 有两个交点,故 ? ? 16 ? ? ?t ? 2 ? h ? 2 ? t ? h ? 4 ? ??0

设 M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ? , MN 中点横坐标为 x0 ,则
2 x1 ? x2 t ? t ? h ? x0 ? ? , 2 2 ?1 ? t 2 ?

…………………8 分

设线段 PA 的中点横坐标为 x3 ? 由已知得 x0 ? x3 即

t ?t 2 ? h ? 2 ?1 ? t
2

1? t , 2

?

?

1? t , ②………………10 分 2

显然 t ? 0 , h ? ? ? t ? ? 1?

? ?

1 t

? ?



当 t ? 0 时, t ? ? 2 ,当且仅当 t ? 1 时取得等号,此时 h ? ?3 不符合①式,故舍去; 当 t ? 0 时, ? ?t ? ? ? ? ? ? 2 ,当且仅当 t ? ?1 时取得等号,此时 h ? 1 ,满足①式。 综上, h 的最小值为 1.………………12 分

1 t

? 1? ? t?

9 9 21.解: (Ⅰ)将 x ? 3 代入直线方程得 y ? ? ,∴ 27a ? 9b ? ? ① 2 2

------------1分

f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx, f ?(3) ? ?6 ,∴ 27 a ? 6b ? ?6 ②
1 1 1 1 ①②联立,解得 a ? ? , b ? ∴ f ( x ) ? ? x 3 ? x 2 3 2 3 2

--------------2分 --------------4分

(Ⅱ) f ?( x)= ? x2 ? x ,∴ ? x2 ? x ? k ln( x ? 1) 在 x ??0, ??? 上恒成立;

即 x2 ? x ? k ln( x ? 1) ? 0 在 x ??0, ?? ? 恒成立;

-------------5 分

设 g ( x) ? x2 ? x ? k ln( x ? 1) , g (0) ? 0 , ∴ 只 需 证 对 于 任 意 的 x ??0, ?? ? 有
g ( x) ? g (0)

g ?( x) ? 2 x ? 1 ?

k 2x2 ? x ? k ?1 ? , x ? ? 0, ?? ? 设 h( x) ? 2x2 ? x ? k ?1 ,--------7 分 x ?1 x ?1

9 1)当 ?=1 ? 8(k ? 1) ? 0 ,即 k ? 时, h( x) ? 0 ,∴ g ?( x) ? 0 8

g ( x) 在 ?0, ?? ? 单调递增,∴ g ( x) ? g (0)

--------------8 分

2 )当 ?=1 ? 8(k ? 1) ? 0,即 k ?
x1 ? x2

9 时,设 x1 , x2 是方程 2 x 2 ? x ? k ?1 ? 0 的两根且 8

1 由 x1 ? x2 ? ? ,可知 x1 ? 0 , 2

分析题意可知当 x2 ? 0 时对任意 x ??0, ?? ? 有 g ( x) ? g (0) ;∴ k ? 1 ? 0, k ? 1 , ∴1 ? k ?
9 8

--------------10 分 ---------12 分

综 上 分 析 , 实 数 k 的 最 小 值 为 1 .


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