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2012高考文科数学圆锥曲线试题及答案


2012 高考文科数学圆锥曲线试题及答案 一、选择题

1.【2012 高考新课标文 4】设

F1F2 是椭圆

E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 的左、右焦点, P 为直

x?
线

3a 2 上一点, ?F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 2 (B) 3 ? (C ) ? ? ( D) ?



1 ( A) 2

2.【2012 高考新课标文 10】等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线

y 2 ? 16x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(
( A) 2 (B) 2 2 (C ) ?



( D) ?

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 3.【2012 高考山东文 11】已知双曲线 C1 : a 的离心率为 2.若抛物线
C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为
x2 ? 8 3 y 3 x2 ? 16 3 y 3
2 (C) x ? 8 y 2 (D) x ? 16 y

(A)

(B)

4.【2012 高考全国文 5】椭圆的中心在原点,焦距为 4 ,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方 程为

x2 y 2 ? ?1 (A) 16 12 x2 y 2 ? ?1 4 (C) 8
5. 2012 高考全国文 10】 【 已知

x2 y 2 ? ?1 (B) 12 8 x2 y 2 ? ?1 (D) 12 4

F1 、F2 为双曲线 C : x2 ? y 2 ? 2 的左、 右焦点, P 在 C 上, 点

| PF1 |? 2 | PF2 | ,则 cos ?F1PF2 ?
1 (A) 4 3 (B) 5 3 (C) 4 4 (D) 5

6.【2012 高考浙江文 8】 如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双 曲线的两顶点。若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A.3

B.2

C.

3

D.

2

7.【2012 高考四川文 9】已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点

M (2, y0 ) 。若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? (
A、 2 2 B、 2 3
2 2

) D、 2 5

C、 4

8. 2012 高考四川文 11】 【 方程 ay ? b x ? c 中的 a, b, c ?{?2,0,1, 2,3} , a, b, c 互不相同, 且 在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( A、28 条 B、32 条 C、36 条 ) D、48 条
2 2

9.【2012 高考上海文 16】对于常数 m 、 n , mn ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 的曲线是椭 “ 圆”的( ) B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充

A、充分不必要条件 分也不必要条件

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 10.【2012 高考江西文 8】椭圆 a 的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦
点分别是 F1,F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为

1 A. 4

B.

5 5

1 C. 2

D.

5-2

x2 y 2 2 2 11.【2012 高考湖南文 6】已知双曲线 C : a - b =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐
近线上,则 C 的方程为

x2 y2 x2 y 2 x2 y 2 A. 20 - 5 =1 B. 5 - 20 =1 C. 80 - 20 =1

x2 y2 D. 20 - 80 =1

x2 y 2 2 12.【2102 高考福建文 5】已知双曲线 a - 5 =1 的右焦点为(3,0) ,则该双曲线的离心率等


A

3 14 14

B

3 2 4

C

3 2

D

4 3

二 、填空题

x2 y 2 ? ? 1(a 2 5 13.【2012 高考四川文 15】椭圆 a 为定值,且 a ? 5) 的的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、B ,?FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是______。
14.【2012 高考辽宁文 15】已知双曲线 x2

?

y2 =1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线

上一点,若 P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.

x2 y2 ? 2 ?1 15.【2012 高考江苏 8】 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 m m ? 4 (5 的离心
率为 5 ,则 m 的值为 16.【2012 高考陕西文 14】右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 米.

17.【2012 高考重庆文 14】设 P 为直线 交点,

y?

b x2 y 2 x ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 3a 与双曲线 a 2 b 2 左支的

F1 是左焦点, PF1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e ?
2

18.【2012 高考安徽文 14】过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点,若

| AF |? 3 ,则 | BF | =______。

19. 【 2012 高 考 天 津 文 科 11 】 已 知 双 曲 线

C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2 与双曲线

C2 :

x2 y2 ? ?1 4 16 有相同的渐近线,且 C1 的右焦点为 F ( 5,0) ,则 a ?

b?

三、解答题

20.(本小题满分 14 分)

已知椭圆

(a>b>0),点 P(

,

)在椭圆上。

(I)求椭圆的离心率。 (II)设 A 为椭圆的右顶点,O 为坐标原点,若 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线 OQ 的 斜率的值。

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 21.【2012 高考江苏 19】 (16 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 a

? 3? ?e, ? ? 2 ? e 0) 0) ? 都在椭圆上,其中 e 为椭 的左、右焦点分别为 F1 (?c , , F2 (c , .已知 (1 , ) 和 ?
圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于 点 P.

(i)若

AF1 ? BF2 ?

6 2 ,求直线 AF1 的斜率;

(ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.

22.【2012 高考安徽文 20】 (本小题满分 13 分)

x2 y2 2 2 如图, F1 , F2 分别是椭圆 C : a + b =1( a ? b ? 0 )的左、
右焦点, A 是椭圆 C 的顶点,B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交 点, ?F1 A F2 =60°. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)已知△ A F1 B 的面积为 40 3 ,求 a, b 的值.

23.【2012 高考广东文 20】 (本小题满分 14 分)

x2 y 2 ? 2 ?1 2 C b 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 1 : a ( a ? b ? 0 )的左焦点为

F1 (? 1, 0),且点 P(0,1) 在 C1 上.
(1)求椭圆

C1 的方程; C1 和抛物线 C2 : y 2 ? 4x 相切,求直线 l 的方程.

(2)设直线 l 同时与椭圆

24.【2102 高考北京文 19】(本小题共 14 分)

x2 y 2 2 2 2 已知椭圆 C: a + b =1(a>b>0)的一个顶点为 A (2,0) ,离心率为 2 , 直线 y=k(x-1)
与椭圆 C 交与不同的两点 M,N (Ⅰ)求椭圆 C 的方程

10 (Ⅱ)当△AMN 的面积为 3 时,求 k 的值
25.【2012 高考山东文 21】 (本小题满分 13 分)

如图,椭圆

M:

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 2 ,直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩 a b 的离心率为

形 ABCD 的面积为 8.

(Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 l : y ? x ? m(m ? R) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P , Q , l 与矩形 ABCD 有两个 不同的交点 S , T .求
| PQ | | ST |

的最大值及取得最大值时 m 的值.

26.【2102 高考福建文 21】 (本小题满分 12 分) 如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个顶点均在抛物线 E:x2=2py(p>0)上。

(1) 求抛物线 E 的方程; (2) 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相较于点 Q。证明以 PQ 为直径的圆 恒过 y 轴上某定点。 27.【2012 高考上海文 22】 (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 6 分 在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C : 2 x ? y ? 1
2 2

(1)设 F 是 C 的左焦点, M 是 C 右支上一点,若

MF ? 2 2

,求点 M 的坐标;

(2) C 的左焦点作 C 的两条渐近线的平行线, 过 求这两组平行线围成的平行四边形的面积; (3)设斜率为 k ( 证: OP ⊥ OQ

k ? 2

)的直线 l 交 C 于 P 、 Q 两点,若 l 与圆 x ? y ? 1相切,求
2 2

28. 【2012 高考新课标文 20】 (本小题满分 12 分) 设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半 径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (I)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (II)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求 坐标原点到 m,n 距离的比值.

1 29.【2012 高考浙江文 22】本题满分 14 分)如图,在直角坐标系 xOy 中,点 P(1, 2 )到

5 抛物线 C: y =2px(P>0)的准线的距离为 4 。点 M(t,1)是 C 上的定点,A,B 是 C 上
2

的两动点,且线段 AB 被直线 OM 平分。

(1)求 p,t 的值。 (2)求△ABP 面积的最大值。 30.【2012 高考湖南文 21】 (本小题满分 13 分)

1 在直角坐标系 xOy 中, 已知中心在原点, 离心率为 2 的椭圆 E 的一个焦点为圆 C: x2+y2-4x+2=0
的圆心.[中国教育出%版网^@*&] (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

1 (Ⅱ)设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为 2 的直线 l1,l2.当直线 l1,l2 都与圆 C
相切时,求 P 的坐标.

2k1 ? y0? k12 ? 1

k1 x0 ? 2


31.【2012 高考湖北文 21】 (本小题满分 14 分) 设 A 是单位圆 x2+y2=1 上任意一点,是过点 A 与 x 轴垂直的直线, 是直线 l 与 x 轴的交点, l D 点 M 在直线 l 上,且满足 当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨迹 为曲线 C。 (1)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标。 (2)过原点斜率为 K 的直线交曲线 C 于 P,Q 两点,其中 P 在第一象限,且它在 y 轴上的 射影为点 N, 直线 QN 交曲线 C 于另一点 H, 是否存在 m,使得对任意的 K>0, 都有 PQ⊥PH? 若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由。 32.【2012 高考全国文 22】 (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

1 M : ( x ? 1)2 ? ( y ? )2 ? r 2 (r ? 0) 2 已知抛物线 C : y ? ( x ? 1) 与圆 有一个公共点 A ,
2

且在点 A 处两曲线的切线为同一直线 l . (Ⅰ)求 r ; (Ⅱ)设 m 、 n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线, m 、 n 的交点为 D ,求 D 到 l 的 距离。

33.【2012 高考辽宁文 20】(本小题满分 12 分) 如图,动圆

C1 : x2 ? y 2 ? t 2 ,1<t<3,

x2 ? y2 ? 1 C2 :9 A,A 与椭圆 相交于 A, C, 四点, 1 2 B, D 点
分别为

C2 的左,右顶点。

(Ⅰ)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积取得最大值?并 求出其最大面积; (Ⅱ)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程。

34.【2012 高考江西文 20】 (本小题满分 13 分) 已 知 三 点 O ( 0,0 ) A ( -2,1 ) B ( 2,1 ) 曲 线 C 上 任 意 一 点 M ( x,y ) 满 足 , , ,

(1)求曲线 C 的方程; (2)点 Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线 C 上动点,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l,点 P 的坐标是 (0,-1) 与 PA,PB 分别交于点 D,E,求△QAB 与△PDE 的面积之比。 ,l 35.【2012 高考四川文 21】(本小题满分 12 分) 如图,动点 M 与两定点 A(?1, 0) 、 B(1, 0) 构成 ?MAB ,且直线 MA、MB 的斜率之积

y

M

A
为 4,设动点 M 的轨迹为 C 。 (Ⅰ)求轨迹 C 的方程;

O B

x

y ( ( Ⅱ ) 设 直 线 y ? x ? m m ? 0 )与 轴 交 于 点 P , 与 轨 迹 C 相 交 于 点 Q、R , 且

| PR | | P Q |? | P R,求 | PQ | 的取值范围。 |

36.【2012 高考重庆文 21】本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 已知椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴 上,上顶点为 A ,左、右焦点分别为

F1 , F2 ,线段 OF1 , OF2

的中点分别为

B1, B2 ,且△ AB1B2 是面积为 4 的直角
三角形。 (Ⅰ) 求该椭圆的离心率和标准方 程; (Ⅱ)过

B1 作直线交椭圆于 P, Q ,

PB2 ? QB2 ,求△ PB2Q 的面积

37.【2012 高考陕西文 20】 (本小题满分 13 分)

已知椭圆

C1 :

x2 ? y2 ? 1 C C C 4 ,椭圆 2 以 1 的长轴为短轴,且与 1 有相同的离心率。

(1)求椭圆

C2 的方程;

??? ? ??? ? C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程。 (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆

2012 高考文科数学圆锥曲线答案 一、选择题 1.C 2.C 3.D 4.C 5.C 6.D 7.B 8.B 9.B 10.B 二 、填空题

11.A 12.C

2 13. 3

14. 2 3 15. 2 16. 2 6

3 3 2 17. 4 18. 2

19. 1,2

三、解答题 20.

21.【答案】解: (1)由题设知,

a2 =b2 ? c2,e=
c2 a 2b 2

c e a ,由点 (1 , ) 在椭圆上,得

12 a2
2 2 ∴ c =a ? 1 。

?

e2 b2

?1?

1 a2

?

=1 ? b 2 ? c 2 =a 2b 2 ? a 2 =a 2b 2 ? b 2 =1


? 3? ?e, ? ? 2 ? ? 在椭圆上,得 由点 ?

? 3? ? 3? ? ? ? ? 2 2 2 e ? 2 ? ? 1 ? c ? ? 2 ? ? 1 ? a ? 1 ? 3 ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 ? 1 4 a2 b2 a4 a4
x2 ? y2 ? 1 ∴椭圆的方程为 2 。

2

2

0) 0) (2)由(1)得 F1 (?1, , F2 (1, ,又∵ AF1 ∥ BF2 ,
∴ 设

y , AF1 、 BF2 的 方 程 分 别 为 m = ? x 1


m y ,x ? = 1

A? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,y1 > 0,y2 > 0



? x12 m ? 2m 2 ? 2 ? y12 ? 1 ? ? m2 ? 2 y12 ? 2my1 ? 1=0 ? y1 = ? 2 m2 ? 2 ?my =x ? 1 ? 1 1

?

?





AF1 = ? x1 ? 1? ? ? y1 ? 0? = ? my1 ?
2 2

2

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m ? 2m2 ? 2 ? y = m ?1 ? ? m2 ? 2 m2 ? 2 。①
2 1 2

同理,

BF2 =

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m2 ? 2
AF1 ? BF2 ?
。②

(i)由①②得,

2m m 2 ? 1 2m m 2 ? 1 6 = 2 2 2 m ? 2 。解 m ? 2 2 得 m =2。

∵注意到 m > 0 ,∴ m= 2 。

1 2 = ∴直线 AF1 的斜率为 m 2 。

( ii ) 证 明 : ∵

AF1 ∥
1

BF2

, ∴

PB BF2 ? PF1 AF1

, 即

BF PB ? PF 1 BF ? AF PB 2 ?1 ? 2 ?1? ? PF1 AF 1 PF AF 1 PF1 =


1 。

AF1 BF1 AF1 ? BF2



1 由点 B 在椭圆上知, BF ? BF2 ? 2 2 ,∴

PF1 =

AF1 2 2 ? BF2 AF1 ? BF2

?

?



PF2 =
同理。

BF2 2 2 ? AF1 AF1 ? BF2

?

?



PF1 +PF2 =


AF1 BF2 2 AF ?BF2 2 2 ? BF2 ? 2 2 ? AF1 ? 2 2 ? AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 AF1 ? BF2

?

?

?

?

由①②得,

AF1 ? BF =

2 2 m2 ? 1 m2 ? 2

?

?


AF ?BF =

m2 ? 1 m2 ? 2 ,



PF1 +PF2 =2 2 ?

2 3 = 2 2 2 。

∴ PF1 ? PF2 是定值。 【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式。

? 3? ?e, ? ? 2 ? e ? 都在椭圆上列式求解。 【解析】 (1)根据椭圆的性质和已知 (1 , ) 和 ?
AF1 ? BF2 ? 6 2 ,用待定系数法求解。

(2)根据已知条件 22.【解析】

23.【答案】 【解析】 (1)因为椭圆

C1 的左焦点为 F1 (?1,0) ,所以 c ? 1 ,

1 x2 y 2 ?1 ? ?1 P(0,1) 代入椭圆 a 2 b2 b2 点 ,得 ,即 b ? 1 ,
所以 a ? b ? c ? 2 ,
2 2 2

x2 ? y2 ? 1 C1 的方程为 2 所以椭圆 .
(2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,

? x2 ? ? y2 ? 1 ?2 2 2 2 ? y ? kx ? m y ? ,消去 并整理得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 ,
因为直线 l 与椭圆
2 2

C1 相切,所以 ? ? 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 2) ? 0 ,


整理得 2k ? m ? 1 ? 0

? y2 ? 4x ? 2 2 2 ? y ? kx ? m ,消去 y 并整理得 k x ? (2km ? 4) x ? m ? 0 。
因为直线 l 与抛物线 整理得 km ? 1 ②

C2 相切,所以 ? ? (2km ? 4)2 ? 4k 2m2 ? 0 ,

综合①②,解得

? 2 ?k ? 2 ? ?m ? 2 ?



? 2 ?k ? ? 2 ? ?m ? ? 2 ?



所以直线 l 的方程为 24.【答案】

y?

2 2 x? 2 y ?? x? 2 2 2 或 。

25.

【答案】(21)(I)

e?

c 3 a 2 ? b2 3 ? ? ? a 2 a2 4 ??①

矩形 ABCD 面积为 8,即 2 a ? 2b ? 8 ??② 由①②解得: a ? 2, b ? 1 ,

x2 ? y2 ? 1 ∴椭圆 M 的标准方程是 4 .
? x 2 ? 4 y 2 ? 4, ? 5 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 4 ? 0 ? y ? x ? m, (II) ? ,

8 4m2 ? 4 x1 ? x2 ? ? m, x1 x2 ? 5 5 , 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则
2 2 由 ? ? 64m ? 20(4m ? 4) ? 0 得 ? 5 ? m ? 5 .

4m2 ? 4 4 2 ? 8 ? | PQ |? 2 ? ? m ? ? 4 ? 5 ? m2 5 5 ? 5 ? .
2

当 l 过 A 点时, m ? 1 ,当 l 过 C 点时, m ? ?1 . ①当 ? 5 ? m ? ?1 时,有 S (?m ? 1, ?1), T (2,2 ? m),| ST |? 2(3 ? m) ,

| PQ | 4 5 ? m2 4 4 6 ? ? ? 2 ? ?1 2 | ST | 5 (3 ? m) 5 t t



| PQ | 1 3 4 5 2 ? t ? , m ? ? ? (? 5, ?1) 5 | ST | 取得最大值 5 t ? m ? 3 ,由此知当 t 4 ,即 3 3 其中 时, .

②由对称性,可知若 1 ? m ? 5 ,则当 ③当 ?1 ? m ? 1 时, | ST |? 2 2 , 由此知,当 m ? 0 时,
m??
| PQ | | ST |

m?

| PQ | 5 2 5 3 时, | ST | 取得最大值 5 .

| PQ | 2 ? 5 ? m2 | ST | 5



2 5 5 取得最大值 .

综上可知,当 26.

| PQ | 5 2 5 3 和 0 时, | ST | 取得最大值 5 .

27.

28.

29.

1 ? 2 pt ? 1 ? ? ?p ? 2 ? p 5 ? ?1 ? 2 ? 4 ?t ? 1 (1)由题意得 ? ,得 ? .
(2)设

A( x1, y1 ), B ? x2 , y2 ?

,线段 AB 的中点坐标为 Q(m, m)

由题意得,设直线 AB 的斜率为 k(k ? 0 ).



? y12 ? 2px1 ? ? 2 ? y2 ? 2px 2 ?

,得

( y2 ? y1 )( y1 ? y2 ) ? k ( x2 ? x1 ) ,得 k ? 2m ? 1
1 ( x ? m) 2 2m ,即 x ? 2my ? 2m ? m ? 0 .

y?m ?
所以直线的方程为

? x ? 2my ? 2m2 ? m ? 0 ? ? 2 2 2 ?y ? x 由? ,整理得 y ? 2my ? 2m ? m ? 0 ,
所以 ? ? 4m ? 4m ,
2

y1 ? y2 ? 2m , y1 y2 ? 2m2 ? m .从而得

AB ? 1 ?

1 y1 ? y2 ? 1 ? 4m2 4m ? 4m2 2 k ,

设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则

d?

1 ? 2m ? 2m 2 1 ? 4m
2

,设 ? ABP 的面积为 S,则

S?

1 AB ? d ? 1 ? 2(m ? m 2 ) ? m ? m 2 2 .

2 由 ? ? 4m ? 4m ? 0 ,得 0 ? m ? 1 .

令t ?

m?m ,
2
2

0?t?

1 2 2 ,则 S ? t (1 ? 2t ) . 1 2 ,则 S ? ? 1 ? 6t 2 .

设 S ? t (1 ? 2t ) ,

0?t?

由 S ? ? 1 ? 6t ? 0 , 得
2

t?

6 ? 1? 6 6 ? ? 0, S max ? 6 ? 2? , ? 所以 9 , ? ABP 的面积的最大值为 9 . 故
2 2

30. 【解析】 (Ⅰ)由 x ? y ? 4 x ? 2 ? 0 ,得 ( x ? 2) ? y ? 2 .故圆C的圆心为点
2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), (2,0), 从而可设椭圆E的方程为 a 2 b 2 其焦距为 2c ,由题设知
c ? 2, e ? c 1 ? ,? a ? 2c ? 4, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 12. a 2 故椭圆E的方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 16 12
(Ⅱ)设点

p 的 坐 标 为 ( x0 , y0 ) , l1 , l2 的 斜 分 率 分 别 为 k1 , k2 . 则 l1 , l2 的 方 程 分 别 为

1 k1k 2 ? . 2 2 l1 : y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ), l2 : y ? y0 ? k2 ( x ? x0 ), 且 2 由 l1 与圆 c : ( x ? 2) ? y ? 2 相
切,得

2k1 ? y0? k12 ? 1
即 同理可得 从而

k1 x0 ? 2


2 ?(2 ? x0 ) 2 ? 2 ? k12 ? 2(2 ? x0 ) y0 k2 ? y0 ? 2 ? 0. ? ?

?( 2 x0 2 ) ? 2 2? ? ? k2 ? ?

? ( x2 y0 k2 ? y? 2 0 ?) 2 0

.

2

0

0 2 2 k1 , k2 是方程 ?(2 ? x0 ) ? 2 ? k ? 2(2 ? x0 ) y0 k ? y0 ? 2 ? 0 的两个实根,于是 ? ?

? (2 ? x0 ) 2 ? 2 ? 0, ? ? 2 2 ?? ? 8 ?(2 ? x0 ) ? y0 ? 2 ? ? 0, ? ? ?



2 y0 ? 2 k1k2 ? ? 2. (2 ? x2 )2 ? 2 且
2 2 ? x0 y0 ? ? 1, ? ? 16 12 ? 2 10 ? y0 ? 2 ? 1 x ? . 2 ? (2 ? x0 )2 ? 2 2 5x0 ? 8x0 ? 36 ? 0. x0 ? 2, 或 0 5 由? 得 解得

x ? ?2 得 y0 ? ?3; 由 由 0

x0 ?

18 57 y0 ? ? , 5 得 5 它们满足①式,故点P的坐标为

18 57 18 57 ( , ) ( ,? ) (?2,3) ,或 (?2, ?3) ,或 5 5 ,或 5 5 .
【点评】 本题考查曲线与方程、 直线与曲线的位置关系, 考查运算能力, 考查数形结合思想、 函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程,求出 c, a, b 即得椭圆 E 的

1 方程,第二问设出点 P 坐标,利用过 P 点的两条直线斜率之积为 2 ,得出关于点 P 坐标的
一个方程,利用点 P 在椭圆上得出另一方程,联立两个方程得点 P 坐标. 31.

【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系;考查分类讨论的数学思想 以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型,求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论, 不要漏解;对于探讨性问题一直是高考考查的热点,一般先假设结论成立,再逆推所需要求 解的条件,对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求. 32.

33.

【解析】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程,椭圆的几何性质,轨迹方程的求法,考查函 数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力,难度较大。 34. 【解析】

35.

【解析】

36.

x2 y2 16 10 【答案】 (Ⅰ) 20 + 4 =1(Ⅱ) 9

37.


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