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高中数学专题训练(教师版)—3.3导数的应用——极值与最值


高中数学专题训练(教师版)—导数的应用——极值与最值
一、选择题 1 1. 函数 y=ax3+bx2 取得极大值和极小值时的 x 的值分别为 0 和3,则( )

A.a-2b=0 B.2a-b=0 C.2a+b=0 D.a+2b=0 x 2.当函数 y=x· 取极小值时,x=( 2 ) 1 1 A ln2 B.-ln2 C.-ln2 D.ln2 3 3.函数 f(x)=x -3bx+3b 在(0,1)内有极小值,则( ) A.0<b<1 B.b<1 1 C.b>0 D.b<2 4.连续函数 f(x)的导函数为 f′(x),若(x+1)· f′(x)>0,则下列结论中正确的 是( ) A.x=-1 一定是函数 f(x)的极大值点 B.x=-1 一定是函数 f(x)的极小值点 C.x=-1 不是函数 f(x)的极值点 D.x=-1 不一定是函数 f(x)的极值点 x3 2 5.函数 y= 3 +x -3x-4 在[0,2]上的最小值是( ) 17 10 A.- 3 B.- 3 64 C.-4 D.- 3 6.函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象,如右图所示,则( )

A.x=1 是最小值点 B.x=0 是极小值点 C.x=2 是极小值点 D.函数 f(x)在(1,2)上单增 1 7 7.已知函数 f(x)=2x3-x2-2x,则 f(-a2)与 f(-1)的大小关系为( ) A.f(-a2)≤f(-1) B.f(-a2)<f(-1) C.f(-a2)≥f(-1 ) D.f(-a2)与 f(-1)的大小关系不确定 8.函数 f(x)=e-x· x,则( ) 1 1 A.仅有极小值 B.仅有极大值 2e 2e 1 C.有极小值 0,极大值 D.以上皆不正确 2e 二、填空题 9. 若 y=alnx+bx2+x 在 x=1 和 x=2 处有极值,则 a=________,b= ________.

1 10.已知函数 f(x)=3x3-bx2+c(b,c 为常数).当 x=2 时,函数 f(x)取得极 值,若函数 f(x)只有三个零点,则实数 c 的取值范围为________ 11.设 m∈R,若函数 y=ex+2mx(x∈R)有大于零的极值点,则 m 的取值范 围是________. 12.已知函数 f(x)=x3 -px2 -qx 的图象与 x 轴相切于(1,0),则极小值为 ________. 三、解答题 13. 设函数 f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π, 求函数 f(x)的单调区间与极值.

14.设函数 f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax. (1)若 f(x)的两个极值点为 x1,x2,且 x1x2=1,求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a,使得 f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

15.已知定义在 R 上的函数 f(x)=x2(ax-3),其中 a 为常数. (1)若 x=1 是函数 f(x)的一个极值点,求 a 的值; (2)若函数 f(x)在区间(-1,0)上是增函数,求 a 的取值范围.

16.已知函数 f(x)=-x2+ax+1-lnx. 1 (1)若 f(x)在(0,2)上是减函数,求 a 的取值范围; (2)函数 f(x)是否既有极大值又有极小值?若存在,求出 a 的取值范围;若不 存在,请说明理由.

强化练习 1 1. 已知 y=f(x)是奇函数,当 x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax(a>2),当 x∈(-2,0) 时,f(x)的最小值为 1,则 a 的值等于________.

2.设函数 f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c 在 x=1 及 x=2 时取得极值. (1)求 a、b 的值; (2)若对任意的 x∈[0,3],都有 f(x)<c2 成立,求 c 的取值范围.

3.已知函数 f(x)=x3-3ax2+3x+1. (1)设 a=2,求 f(x)的单调区间; (2)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围.

4.“我们称使 f(x)=0 的 x 为函数 y=f(x)的零点.若函数 y=f(x)在区间[a, b]上是连续的,单调的函数,且满足 f(a)· f(b)<0,则函数 y=f(x)在区间[a,b]上有 唯一的零点”.对于函数 f(x)=6ln(x+1)-x2+2x-1, (1)讨论函数 f(x)在其定义域内的单调性,并求出函数极值. (2)证明连续函数 f(x)在[2,+∞)内只有一个零点.

5.设函数 f(x)=ln x+ln (2-x)+ax(a>0). (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; 1 (2)若 f(x)在(0,1]上的最大值为2,求 a 的值.

6.已知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.

7.已知函数 f(x)=xe-x(x∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间和极值; (2)已知函数 y=g(x)的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 证明当 x>1 时,f(x)>g(x); (3)如果 x1≠x2,且 f(x1)=f(x2),证明 x1+x2>2.

3 8.已知函数 f(x)=ax3-2ax2,函数 g(x)=3(x-1)2. (1)当 a>0 时,求 f(x)和 g(x)的公共单调区间; (2)当 a>2 时,求函数 h(x)=f(x)-g(x)的极小值; (3)讨论方程 f(x)=g(x)的解的个数.


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