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福建省泉港区第一中学2015-2016学年高二数学下学期期末考试试题 文

泉港一中 2015-2016 学年第二学期期末考 高二文科数学试题
(考试时间:120分钟 总分:150分)

第Ⅰ卷

(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求 的.
x 1.设 U ? R , A ? x 2 ? 1 , B ? x log2 x ? 0 ,则 A ? CU B ? (

?

A. x x ? 0

?

?

? B. ?x x ? 1?

?

?

) D. x 0 ? x ? 1 )

C. x 0 ? x ? 1

?

?

?

?

2. 已知 a, b ? R , i 是虚数单位,若 (a ? i)(1 ? i ) ? bi ,则 a ? bi ? ( A. ? 1 ? 2i 3.函数 y ? B. 1 ? 2i C. 1 ? 2i ) D. 1 ? i

x 2 ? 2 x ? 3 ? ln( x ? 1) 的定义域为(

A.(-∞,-1)∪(3,+∞) C.(-2,-1]

B.(-∞,-1]∪[3,+∞)? D.[3,+∞) )

?? 4. ? 的终边过点 P ? ?1, 2? ,则 sin ? ? ? ? ? 的值为( 2? ?
A.

5 5
cos30?

B. ?

5 5

C.

2 5 5


D. ?

1 2

5.若 a ? 3

, b ? log 1 sin 30? , c ? log 2 tan 30? ,则(
3

A. a ? b ? c 6.已知函数 f ( x) ? A. (0, 1)

B. b ? c ? a

C. c ? b ? a

D. b ? a ? c )

6 ? log 2 x ,在下列区间中,包含 f ( x) 零点的区间是( x
B. (1, 2) C.(2, 4)

(4,? ?) D.

7.下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? A. y ? sin ? 2 x ?

?
3

对称的是(

)

? ?

??
? 3?

B. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

C. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

D. y ? sin ?

?x ?? ? ? ?2 3?
2

1 x 8.已知函数 f ( x) ? e ? mx ? 1 的图像为曲线 C ,曲线 C 存在与直线 y ? x 垂直的切线,则实数 m 的取值范围是





1

A. m ? ?

1 2

B. m>?

1 2

C. m ? 2

D. m> 2

9.函数 f ( x) ? ? A.1

?1 ? x, x ? 0
x ?a ,

x?0
B.2

若 f(1)=f(-1),则实数 a 的值等于( C.3

) D.4 )

10.对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足 A. f (0) ? f ( 2)<2 f (1) C. f (0) ? f ( 2)>2 f (1)

1? x ? 0 ,则必有( f ?( x)
B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

11.等腰 ?ABC 中 AB ? AC, 3BC ? 2 AB ,点 D 为 BC 边上一点且 AD=BD,则 sin ? ADB 的值为 ( A. )

3 6

B.

2 2 3

C.

2 3

D.

6 3

12.函数 f ( x) 的定义域为 R, f (?1) ? 2 ,对任意的 x ? R, f ' ( x) ? 2 ,则 f (x) ? 2 x ? 4 的解集为 ( ) A. ? ?1,1? B. ? ?1, ?? ? C. ? ??,1? 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将 答案填在答题纸上。 13.幂函数 f(x )=(m ﹣m﹣1) x
2

D. ? ??, ???

m2 ? m?3

在(0,+∞)上为减函数,则 m=

. .

14. 已知函数 f ( x) ? 2 x2 ? xf ?(2) ,则函数 f ( x) 的图象在点 2, f ? 2? 处的切线方程是 15.已知函数 f ( x) ? x 3 ? 12x ? 8 在区间 ?? 3,3? 上的最大值与最小值分别为 M,m,则 M+m=

?

?

16. 设 函 数 f ( x ) 、 g ( x) 的 定 义 域 分 别 为 DJ、DE , 且 DJ ? DE , 若 对 于 任 意 x ? DJ , 都 有

g ( x) ? f ( x),则称 g ( x) 函数为 f ( x) 在 DE 上的一个延拓函数.设 f ( x) ? e? x ( x ?1)( x ? 0) , g ( x)
为 f ( x ) 在 R 上的一个延拓函数,且 g ( x) 是奇函数.给出以下命题: ①当 x ? 0 时, g ( x) ? e (1 ? x) ;
?x

②函数 g ( x) 有 3 个零点;

, 0) ? (1, ? ?) ;④ ?x1,x2 ? R ,都有 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 2 。 ③ g ( x) ? 0 的解集为 (?1
其中所有正确命题的序号是 .

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴 为极轴,曲线 C 的 极坐标方程为 ? ?

sin ? . cos 2 ?

(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)作斜率为 l 直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,试求

1 1 的值. ? | PA | | PB |

2 2 18. (本小题满分 12 分)设命题 p :函数 f ? x ? ? lg x ? 4 x ? a 的定义域为 R ;命题 q :对任意

?

?

m ???1,1? ,不等式 a2 ? 5a ? 3 ? m2 ? 8 恒成立;如果命题“ p ? q ”为真命题,“ p ? q ”为假
命题,求实数 a 的取值范围.

19. (本题满分 12 分) 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查, 在高三的全体 1000 名学生中随机抽取了 100 名学生的体检表,并得到如图 1 的频率 分布直方图. (Ⅰ)若直方图中后四组的频数成等差数列,计算高三全体学生视力在 5. 0 以下的人数,并估计这 ; 100 名学生视力的中位数(精确到 0. 1 ) (Ⅱ)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成 绩是否有关系, 对高三全体学生成绩名次在前 50 名和后 50 名的学生进行了调查, 得到如表 1 中数据, 根据表 1 及临界值表 2 中的数据,能否在犯错的概率不超过 0. 05 的 前提下认为视力 与学习成绩有 关系? 年级名次 前 50 名 是否近视 近视 不近视
表1 图1

后 50 名 34 16

42 8

附:临界值表 2

P( K 2 ≥ k )

0.15 2.07 2

0.10 2.70 6

0.05 3.84 1

0.02 5 5. 02 4

0.01 0 6.63 5

0.00 5 7.87 9

0 .001 10.82 8

k
20. (本小题满分 12 分)

(本小题满分 12 分)已知? f (x) ? 2cos 2 x ? 2 (1)求 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间。

3sin xcos x

3

(2)在△ABC 中,a,b,c,分别是 A,B,C 的对边,若 (a ? 2c) cos B ? ?b cos A 成立 , 求 f(A)的取值范围。

21.(本小题满分 12 分) 设 a、b∈R,且 a≠1,若奇函数 f ( x ) ? lg (1)求 a 的值; (2)求 b 的取值范围;? (3)求解不等式 f ( x) ? 0

1 ? ax 在区间(-b,b)上有定义. 1? x

22.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? ax , a ? R 是常数. (Ⅰ) a ? ?1 时,求函数 f ( x) 在区间 (0 , 1) 上的值域; (Ⅱ)若曲 线 y ? f ( x) 有且仅有一条平行于直线 y ? x 的切线,求 a .

泉港一中 2015-2016 学年第二学期期末考 高二文科数学参考答案及评分标准 一、选择题: 本大题共 12 小题,每 小题 5 分,共 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4

答案

C

B

D

B

A

C

B

D

B

A

B

B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. m=-1. 14. 4x-y-8=0 . 15. 16 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.

16. ②③④

.

17.(本小题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴 为极轴,曲线 C 的 极坐标方程为 ? ?

sin ? . cos 2 ?

(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)作斜率为 l 直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,试求 17. 【解析】 (Ⅰ)令 x ? ? cos? , y ? ? sin ? , 代入得 y ? x2
x? t (Ⅱ)设 A,B 两点对应参数为 t1,t2,直线 l 方程 ? ? 2 ? 2

1 1 的值. ? | PA | | PB |

??5 分 ,代入 y ? x 得
2

? ?y ? 2? 2 t ? ? 2

2 t 2 ? 2t ? 4 ? 0, t1t2 ? ?4, t1 ? t2 ? 2 , 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? (t1 ? t2 ) ? 4t1t2 ? 3 2 ??10 分

PA

PB

t1

t2

t1t2

4

2 2 18. (本小题满分 12 分)设命题 p :函数 f ? x ? ? lg x ? 4 x ? a 的定义域为 R ;命题 q :对任意

?

?

m ???1,1? ,不等式 a2 ? 5a ? 3 ? m2 ? 8 恒成立;如果命题“ p ? q ”为真命题,“ p ? q ”为假
命题,求实数 a 的取值范围.
2 2 2 18.【解析】命题 p : f ? x ? ? lg x ? 4 x ? a 的定义域为 R ? ? ? 16 ? 4a ? 0

?

?

? a ? 2 ? 或 a ? ?2

??2 分
2

命题 q :∵ m ?? ?1,1? , ∴ m ? 8 ? ? 2 2,3? .
2

?

?

∵对 任意 m ?? ?1,1? ,不等式 a -5a-3≥ m +8恒成立,
2

∴只须满足 a -5a-3≥3,解得 a≥6 或 a≤-1.

2

??5 分

∵“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则 p 与 q 一真一假.
?a>2或a<-2, ? ①若 p 真 q 假,则? ? ?-1<a<6 ?-2≤a≤2, ? ②若 p 假 q 真,则? ?a≤-1或a≥6 ?

? 2<a<6;

??8 分

? -2≤a≤-1,

??10 分

综上,实数a的取值范围为 ? ?2, ?1? ∪(2,6)

??12

19. (本题满分 12 分) 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查, 在高三的全体 1000 名学生中随机抽取了 100 名学生的体检表,并得到如图 1 的频率 分布直方图. (Ⅰ)若直方图中后四组的频数成等差数列,计算高三全体学生视力在 5. 0 以下的人数,并估计这
5

; 100 名学生视力的中位数(精确到 0. 1 ) (Ⅱ)学习小组成员发现,学习成绩突出的学 生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成 绩是否有关系, 对高三全体学生成绩名次在前 50 名和后 50 名的学生进行了调查, 得到如表 1 中数据, 根据表 1 及临界值表 2 中的数据,能否在犯错的概率不超过 0. 05 的 前提下认为视力与学习成绩有 关系? 年级名次 前 50 名 是否近视 近视 不近视
表1 图1

后 50 名 34 16

42 8

附:临界值表 2

P( K 2 ≥ k )

0.15 2.07 2

0.10 2.70 6

0.05 3.84 1

0.02 5 5. 02 4

0.01 0 6.63 5

0.00 5 7.87 9

0 .001 10.82 8

(参考公式:

k

K2 ?

n( ad ? bc )2 ( a ? b)( c ? d )( a ? c )(b ? d )

, 其中 n ? a ? b ? c ? d )

19. 【解析】 (Ⅰ)设各组的频率为 f i (i ? 1,2,3,4,5,6) ,由图可知,第一组有 3 人,第二组 7 人,第三 组 27 人,因为后四组的频数成等差数列,所以后四组频数依次为 则后四组频率依次为
27, 24, 21,18 ??3 分 0.27,0.24,0.21,0.18 视力在 5.0 以下的频率为 3 ? 7 ? 27 ? 24 ? 21 ? 82 人,

82 ?? 5 分 ? 820 人. 100 设 100 名学生视力的中位数为 x ,则有 (0.15 ? 0.35 ? 1.35) ? 0.2 ? ( x ? 4.6) ? (0.24 ? 0.2) ? 0.5
故全年级视力在 5.0 以下的人数约为 1000 ?

x ? 4.7
(Ⅱ)

?? 7 分

k2 ?

100(42 ? 16 ? 34 ? 8) 200 ? ? 3.509 ? 3.841 50 ? 50 ? 76 ? 24 57
2

?? 11 分

因此在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩没有关系. ??12分 20. (本小题满分 12 分) 已知? f ( x) ? 2cos2 x ? 2

3sin x cos x

(1)求 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间。

(a ? 2c) cos B ? ?b cos A 成立 , (2)在△ABC 中,a,b,c,分别是 A,B,C 的对边,若
求 f(A)的取值范围。 解: (1)? f ( x) ? 2cos2 x ? 2

3sin x cos x

6

? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ?1

??????????????3 分

?T ? ? ?????????????????????..4 分
单调递增区间为: ? 解得: ?

? ? 2k? ? 2x ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z)
2 6 2

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? (k ? Z )
(k ? Z ) ??..6 分

? ? ? ? 故单调递增区间为: x ? ?? ? k?, ? k? ? 6 ? 3 ?
sin(A+B)= -2sinCcosB

(2)由正弦定理得:(sinA+2sinC)cosB=-sinBcosA

? B 为三角形的内角 ? B= 2? ? cosB= ? 1 2 3
)+1 ?1 ? f ( A) ? 2sin(2A ? ? 6
又 ? 0? A?

?????????. 8 分

?
3

?

?
6

? 2A ?

?
6

?

5? ?????????10 分 6

?

1 ? ? sin(2A ? ) ? 1 2 6

故 f ( A) ? ?2 ,? 3]??????.. 12 分 0,1 ?

21.设 a、b∈R,且 a≠1,若奇函数 f ( x ) ? lg

1 ? ax 在区间(-b,b)上有定义. 1? x

(1)求 a 的值;(2)求 b 的取值范围;?(3)求解不等式 f ( x) ? 0 21. (本小题满分 12 分) 解:(1)f(-x)=-f(x),即 lg 即

1 ? ax 1 ? x 2 2 2 ? ,整理得:1-a x =1-x ,?∴a=±1????????????2 分 1 ? x 1 ? ax
1? x 的定义域是(-1,1),∴0<b≤1.?????????????8 分 1? x
? ?2 x

1 ? ax 1 ? ax ? ? lg ,? 1? x 1? x

又 a≠1,故 a=-1.?----------4 分 (2)f(x)=lg

?0 1? x ? 1? x ? ?1 ? x ? 0 ? lg1 ? 1 ? x ? 1 ? ?1 ? x (3)f(x)= lg ? 1? x ? 1 ? x ? 1 ?
所以原不等式的解集为 ? x ?1 ? x ? 0? 22.已知 f ( x) ? x ? x ? ax , a ? R 是常数.
3 2

????????12 分

(Ⅰ) a ? ?1 时,求函数 f ( x) 在区间 (0 , 1) 上的值域; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 有且仅有一条平行于直线 y ? x 的切线,求 a . 22.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 2x ? 1 ??1 分
2

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

1 或x ? ?1 ??2 分 3

7

x
f ?( x) f ( x)
??3 分

(0 ,

1 ) 3

1 3
0 极小值

1 ( , 1) 3
+ ↗

- ↘

1 5 5 f (0) ? 0 , f (1) ? 1 , f ( ) ? ? ,所求值域为 [? , 1) ??4 分 3 27 27 (Ⅱ) “曲线 y ? f ( x) 有且仅有一条平行于直线 y ? x 的切线” ,有两种情况:其一,曲线

y ? f ( x) 有且仅有一条斜率为 1 的切线,且这条切线不是直线 y ? x ;其二,曲线 y ? f ( x) 有两条
斜率为 1 的切线,且其中一条为直线 y ? x 。 ① 若 f / ( x) ? 3x 2 ? 2 x ? a ? 1 仅 有 一 个 实 根 , 则 2 2 ? 3 ? 4 ? (a ? 1) ? 0 ? ? 5 分 , 解 得

a?

4 4 1 1 / 2 ??6 分,此时由 f ( x ) ? 3 x ? 2 x ? ? 1 得 x ? ? ,斜率为 1 的切线为 y ? x ? ,符 3 3 3 27
3 2 ? ? x0 ? x0 ? ax0 ? x0 ②若 y ? x 是曲线 y ? f ( x) 的一条切线,设切点为 ( x0 , x0 ) ,则 ? ??8 2 ? ?3x0 ? 2 x0 ? a ? 1

合题意??7 分

1 ? x0 ? ? ? ? x0 ? 0 ? 2 分,解得 ? 或? ??9 分 ?a ? 1 ?a ? 5 ? 4 ?
3 2 当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? x ? x ,曲线 y ? f ( x) 的斜率为 1 的切线是 y ? x 与 y ? x ?

4 ,符合题 27

意??11 分 当a ? 符合题意。 综上所述, a ? 1 ,

5 5 1 3 2 时, f ( x) ? x ? x ? x ,曲线 y ? f ( x) 的斜率为 1 的切线是 y ? x 与 y ? x ? , 4 4 54 5 4 ? 5 4? , 或 a 的取值范围为 ? 1 , , ? ??12 分 4 3 ? 4 3?

8


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