广东省13大市2013届高三上学期期末数学(理)试题分类汇编9：三角函数

广东省 13 大市 2013 届高三上期末考数学理试题分类汇编
三角函数
一、选择、填空题 1、（潮州市 2013 届高三上学期期末）在{ EMBED Equation.DSMT4 | ?ABC 中角、、的 对边分别是、、，若， 则________． 答案：

１ ２

解析：由，得， ，故， 又在中，故， 2、（东莞市 2013 届高三上学期期末）若函数，则是 A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 答案：D 3、 （佛山市 2013 届高三上学期期末） 函数 y ? sin x ? sin ? x ? 最大值是 ．

? ?

??

? 的最小正周期为 3?

，

答案： 2? （2 分）， 3 （3 分） 4、（广州市 2013 届高三上学期期末）函数的图象向右平移单位后与函数的图象重合， 则的解析式是 A． B． C． D． 答案：B 分析：逆推法，将的图象向左平移个单位即得的图象， 即 5、（江门市 2013 届高三上学期期末）函数 f ( x) ? ? sin( 2 x ? A．周期为 ? 的奇函数 C．周期为 ? 的偶函数 B．周期为 2? 的奇函数 D．周期为 2? 的偶函数 ）

3 ? ) 在其定义域上是 2

答案：C 6、茂名市 2013 届高三上学期期末） （ 已知函数 y ? sin x ? cos x ， 则下列结论正确的是 （ A. 此函数的图象关于直线 x ? ? C. 此函数在区间 ( ?

?
4

对称

B. 此函数的最大值为 1 D. 此函数的最小正周期为 ?

? ?

, ) 上是增函数 4 4

答案：C 7、（汕头市 2013 届高三上学期期末）若已知 a，b，c 分别是△ABC 的三个内角 A，B，C 所 对的边，若 a＝1，，A＋B＝2C，则 sinB＝＿＿＿＿ 答案：1 8、（汕头市 2013 届高三上学期期末）设命题 p：函数 y＝sin2x 的最小正周期为；

命题 q：函数 y＝cosx 的图象关于直线 x＝对称，则下列的判断正确的是（ A、p 为真 B、q 为假 C、q 为假 D、为真 答案：C

）

9、（湛江市 2013 届高三上学期期末）在△ABC 中，∠A＝，AB＝2，且△ABC 的面积为， 则边 AC 的长为 A、1 B、 C、2 D、1 答案：A 10、（中山市 2013 届高三上学期期末）若△的三个内角满足，则△（ A．一定是锐角三角形 C．一定是钝角三角形 B．一定是直角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ）

答案：C 12、（珠海市 2013 届高三上学期期末）函数 y＝sin (2x＋)的图象可由函数 y＝sin 2x 的图象 A．向左平移个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到 C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到 答案：A 二、解答题 1、（潮州市 2013 届高三上学期期末）已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ， f ?( x) 是 f ( x) 的导 函数． （1）求函数 g ( x) ? f ( x) ? f '( x) 的最小值及相应的 x 值的集合； （2）若 f ( x) ? 2 f ?( x) ，求 tan( x ?

?
4

) 的值．
…… 2 分

解：（1）∵ f ( x) ? sin x ? cos x ，故 f '( x) ? cos x ? sin x ． ∴ g ( x) ? f ( x) ? f '( x) ? ( sin x ? cos x )( cos x ? sin x )

? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ．
∴当 2 x ? ?? ? 2k? ( k ? Z ) ，即 x ? ?

……… 5 分

?
2

? k? ( k ? Z ) 时， g ( x) 取得最小 ? k? , k ? Z } ． ……… 7 分

值 ?1 ，相应的 x 值的集合为 { x | x ? ?

?
2

评分说明：学生没有写成集合的形式的扣分． （2）由 f ( x) ? 2 f ?( x) ，得 sin x ? cos x ? 2 cos x ? 2sin x ， ∴ cos x ? 3sin x ，故 tan x ?

∴ tan( x ?

?
4

)?

tan x ? tan

?
4

1 ? tan x tan

?
4

1 ， 3 1 1? 3 ?2． ? 1 1? 3

……… 10 分

……… 12 分

2、（东莞市 2013 届高三上学期期末）

设函数，在△ABC 中，角 A、Ｂ、Ｃ的对边分别为 a,b,c (1)求的最大值； (2)若,,,求 A 和 a。 解：（1）因为 …………1 分 …………3 分 . 所以，当，即，时，取得最大值， 其最大值为. （2）由得，，即. ……7 分 在中，因为，所以. 又， 所以，. 又因为，所以. ………9 分 ………10 分 …………6 分 …………4 分 …………5 分

在△ ABC 中，由及，得 . …………12 分

3、（佛山市 2013 届高三上学期期末）
? 如图，在△ ABC 中， ?C ? 45 ， D 为 BC 中点， BC ? 2 .

A

记锐角 ?ADB ? ? ．且满足 cos 2? ? ? （1）求 cos ? ； （2）求 BC 边上高的值．

7 ． 25

解析：（1）∵ cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? ?
2

∵ ? ? (0,

?
2

7 9 2 ，∴ cos ? ? C， D B 25 25 第 16 题图
-----------------5 分
2

) ，∴ cos ? ?

3 ． 5

（2）方法一、由（1）得 sin ? ? 1 ? cos ? ? ∵ ?CAD ? ?ADB ? ?C ? ? ? 45 ，
?

4 ， 5

∴ sin ?CAD ? sin(? ?

?
4

) ? sin ? cos

?
4

? cos ? sin

?
4

?

2 ， 10

----------9 分

在 ?ACD 中，由正弦定理得：

CD AD ? ， sin ?CAD sin ?C

CD ? sin ?C ? ∴ AD ? sin ?CAD

1?

2 2 ? 5， 2 10

A ----------11 分

4 ? 4． 5 方法二、如图，作 BC 边上的高为 AH
则高 h ? AD ? sin ?ADB ? 5 ? 在直角△ ADH 中，由（1）可得 cos ? ?

-----------------12 分 C D B
第 16 题图

H

DB 3 ? ， AD 5

则不妨设 AD ? 5m, 则 DH ? 3m, AH ? 4m

---------8 分

? 注意到 ?C =45 ，则 ?AHC 为等腰直角三角形，所以 CD ? DH ? AH ，

则 1 ? 3m ? 4m 所以 m ? 1 ，即 AH ? 4

----------10 分 ----------12 分

4、（广州市 2013 届高三上学期期末）已知的内角的对边分别是,且. (1) 求的值； (2) 求的值. （1）解:∵, 依据正弦定理得:, 即,解得. (2)解:∵， ∴. ∴. ∴, . ∵, ∴. ∴ …………… 8 分 …………… 9 分 …………… 10 分 …………… 4 分 …………… 5 分 …………… 6 分 …………… 7 分 …………… 1 分 …………… 3 分

.

…………… 12 分

5、 （惠州市2013届高三上学期期末） 已知函数 f ( x) ? sin x cos ? ? cos x sin ?（其中 x ? R ，

? ?? ? 0 ? ? ? ? ），且函数 y ? f ? 2 x ? ? 的图像关于直线 x ? 对称． 6 4? ?
（1）求 ? 的值；

2? 2 ，求 sin 2? 的值。 )? 3 4 （1）解：∵ f ( x) ? sin ? x ? ? ? ，……………………………………2分
（2）若 f (? ? ∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? ．……………………………………3分

? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ，……………………………………5分 4? 4 ? ? ? 又 y ? sin x 的图像的对称轴为 x ? k? ? （ k ? Z ），………………………………6分 2 ? ? 令 2 x ? ? ? ? k? ? ， 4 2 ? ? 将 x ? 代入，得 ? ? k? ? （ k ? Z ）． 6 12 11? ∵ 0 ? ? ? ? ，∴ ? ? ．……………………………………7分 12 2? 2 2? 11? ? 2 （2）解： f (? ? )? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ) ? (sin ? ? cos ? ) ，…9 3 4 3 12 4 2
∵函数 y ? f ? 2 x ?

? ?

??

分

1 1 3 ? 1 ? sin 2? ? ? sin 2? ? ? ………12分 2 4 4 6、（江门市 2013 届高三上学期期末）在 ?ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边长分别为 a 、 b 、 c ，已知 cos A ? cos 2 A ? 0 ． ⑴求角 A 的大小； sin ? ? cos ? ?
⑵若 a ? 3 ， b ? 2 ，求 sin( B ?

?
4

) 的值．

2 解：⑴由 cos A ? cos 2 A ? 0 得 2 cos A ? cos A ? 1 ? 0 ……2 分，

解得 cos A ? ?1 或 cos A ?

1 ……4 分， 2

因为 A 是三角形的内角， 0 ? A ? ? ，所以 A ? ⑵由正弦定理

?
3

……6 分

a b ? 得 sin A sin B

3 sin

?
3

?

2 3 ……8 分，解得 sin B ? ……9 分， sin B 3

6 ……10 分， 3 3 ? ? ? 6?2 3 所以 sin(B ? ) ? sin B cos ? cos B sin ? ……12 分 4 4 4 6
因为 b ? a ，所以 0 ? B ? A ? ， cos B ? 7、（茂名市 2013 届高三上学期期末） 如图所示，角 A 为钝角，且 cos A ?

?

4 ，点 P 、 Q 分别在角 A 5

的两边上. （1）已知 AP =5，AQ =2，求 PQ 的长；

12 , 求n 2? ? ? ) 的值. s i ( 13 3 4 解：（1）? ?A 是钝角， sin A ? ，? cos A ? ? ………………1 分 5 5 在 ?APQ 中，由余弦定理得： PQ2 ? AP2 ? AQ2 ? 2 AP ? AQ cos A
（2） ?APQ ? ? , ?AQP ? ? , 且 cos ? ? 设 所以 AQ2 ? 8AQ ? 20 ? 0 解得 AQ ? 2 或 ?10 （舍去负值），所以 AQ ? 2 （2）由 cos ? ? ………………4 分 …………………6 分 …………………7 分

12 5 , 得 sin ? ? 13 13 在三角形 APQ 中， ? ? ? ? A ? ?
又 sin(? ? ? ) ? sin(? ? A) ? sin A ?

3 , 5

…………………8 分

4 ………………9 分 5 ?sin(2? ? ? ) ? sin[? ? (? ? ? )] ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? sin(? ? ? ) ……11 分 5 4 12 3 56 ? ? ? ? ? ………………………12 13 5 13 5 65 cos(? ? ? ) ? ? cos A ?
8、（汕头市 2013 届高三上学期期末）已知函数 (I)求 f（x）的最小正周期； (II)求的值； (皿)设，求的值. 解：（1）的最小正周期为 T= （2）…………（6 分） （3）由……（8 分） 所以…………（9 分） …………（3 分）

．…………（10 分） …………（11 分） …………（12 分）

9、（增城市 2013 届高三上学期期末）已知函数 （1）求的最小正周期及最大值； （2）用五点法画出在一个周期上的图像 （1） 1分 3分 = 4分 = 的最小正周期是，最小值是 6.列表 5分 7分 9分 10 分 11 分 12 分

画图 特征点 坐标系 10、（湛江市 2013 届高三上学期期末）已知函数的部分图象如图所示。 （1）求函数 f（x）的表达式； （2）若，求的值。

11、肇庆市 2013 届高三上学期期末） （ 已知向量 a ? ? A sin

? ?

x x? ? ?? ? , A cos ? , b ? ? cos ,sin ? ， 3 3? 6 6? ?

b 函数 f ( x) ? a ? （ A ? 0, x ? R ），且 f (2? ) ? 2 .（1）求函数 y ? f ( x) 的表达式；（2）

设 ? , ? ? [0,

?
2

] ， f (3? ? ? ) ?

16 5? ? , f ? 3? ? 5 2 ?

20 ? ? ? ? ；求 cos(? ? ? ) 的值 13 ?

解析：（1）依题意得 f ( x) ? A sin

x ? x ? ?x ?? cos ? Acos sin ? A sin ? ? ? 3 6 3 6 ?3 6?

(2 分)

又 f (2? ) ? 2 得 A sin ?

5? ? 2? ? ? ? 2 ，∴ A ? 4 ? ? ? 2 ,即 A sin 6 ? 3 6?

(4 分)

∴ f ( x) ? 4sin ?

?x ?? ? ? ?3 6?
16 ? ? 16 ? ? 16 ?1 ? 得 4sin ? (3? ? ? ) ? ? ? ，即 4sin ? ? ? ? ? 5 6? 5 2? 5 ?3 ?

(5 分)

（2）由 f (3? ? ? ) ? ∴ cos ? ?

4 , 5

(7 分)

又∵ ? ? [0, 由 f ? 3? ? ∴ sin ? ?

?
2

] ,∴ sin ? ?

3 ， 5

(8 分)

? ?

5? 2

5 20 5? ? ? 20 ? ?1 ? ? ? 得 4sin ? (3? ? ) ? ? ? ? ,即 sin( ? ? ? ) ? ? 13 13 2 6? 13 ? ?3
(10 分)

5 , 13

又∵ ? ? [0,

?

2

] ,∴ cos ? ?

12 13
(12 分)

4 12 3 5 33 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65
12、（珠海市 2013 届高三上学期期末）设向量 a＝，b＝，θ 为锐角． 13 （1）若 a·b＝ |，求 sinθ＋cosθ 的值； 6 π （2）若 a∥b，求 sin(2θ＋ |)的值． 3 解：（1） 因为 a·b＝2＋sinθcosθ＝ 13 1 |，所以 sinθcosθ＝ |． 6 6

……………… 3 分

4 所以 (sinθ＋cosθ)2＝1＋2 sinθcosθ＝ |． 3 2 3 又因为 θ 为锐角，所以 sinθ＋cosθ＝ |． 3 （2） 解法一 因为 a∥b，所以 tanθ＝2． ……………… 6 分 ……………… 8 分

所以 sin2θ＝2 sinθcosθ＝

2 sinθcosθ 2 tanθ 4 |＝ |＝ |， sin2θ＋cos2θ tan2θ＋1 5 cos2θ－sin2θ 1－tan2θ 3 |＝ |＝－ |．……………… 10 分 2 2 2 5 sin θ＋cos θ tan θ＋1

cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝

π 1 3 所以 sin(2θ＋ |)＝ |sin2θ＋ |cos2θ 3 2 2 4－3 3 1 4 3 3 ＝ |× |＋ |×(－ | )＝ |． 2 5 2 5 10 解法二 因为 a∥b，所以 tanθ＝2． 2 5 5 所以 sinθ＝ |，cosθ＝ |． 5 5 4 3 因此 sin2θ＝2 sinθcosθ＝ |， cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－ |． 5 5 π 1 3 所以 sin(2θ＋ |)＝ |sin2θ＋ |cos2θ 3 2 2 4－3 3 1 4 3 3 ＝ |× |＋ |×(－ | )＝ |． 2 5 2 5 10 ……………… 12 分 ……………… 10 分 ……………… 12 分 ……………… 8 分