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公开课课件函数的单调性与导数


判断函数单调性有哪些方法?

定义法 图象法

y ? x3 ? 3 x ?
2 y ? x 比如:判断函数 的单调性。

y

y ? x2

如图:

减 函数, 函数在 (??, 0)上为____ 增 函数。 在 (0, ??) 上为____

o

x

函数及图象 y o y o
y

单调性

导数的正负

f ( x) ? x
x

在(??, ??)上 递增 在(??, ??)上 递减
2

f ( x) ? 1 ? 0
'

f ( x) ? ? x

x
f ( x) ? x

f ( x) ? ?1 ? 0
'

在(??,0)上递减
在(0, ??)上递增

f ( x) ? 2 x ? 0
' '

o

x

f ( x) ? 2 x ? 0

在某个区间(a, b)内,

f '( x ) ? 0

? f ( x)在(a, b)内单调递增

f '( x ) ? 0
注意:

? f ( x)在(a, b)内单调递减

应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义, 它必 是定义域内的某个区间。

1.应用导数求函数的单调区间

求函数 y ? 3 x 2 ? 3 x 的单调区间。
1 1 注意 :单调区间不可以并起来 令 y ' ? 0得x ? , 令y.' ? 0得x ? 2 2 1 2 ? y ? 3 x ? 3 x 的单调递增区间为 ( , ?? ) 2 1 单调递减区间为 ( ??, ) 2 变1:求函数 y ? 3 x 3 ? 3 x 2 的单调区间。

解: ? y ' ? 6 x ? 3

解: ? y ' ? 9 x ? 6 x ? 3 x(3 x ? 2)
2

2 令y ' ? 0得x ? 或x ? 0 3 2 令y ' ? 0得0 ? x ? 3

2

1°什么情况下,用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便?

总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
画出的函数求单调性问题时,应考虑导数法。 2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤? ①求定义域

②求 f '( x )

③令f '( x ) ? 0解不等式 ? f ( x )的递增区间
f '( x ) ? 0解不等式 ? f ( x )的递减区间

2.应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息:

分析:
? f ( x )在此区间递减

当2 ? x ? 3时,f '( x ) ? 0;

当x ? 3或x ? 2时,f '( x ) ? 0; ? f ( x)在此区间递增 当x ? 3或x ? 2时,f '( x ) ? 0. ? f ( x )图象在此两处
附近几乎没有升降

试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 解: f ( x )的大致形状如右图:

变化,切线平行x轴
y ? f ( x)

y A B

这里,称A,B两点为“临界点”
o

2

3 x

通过这堂课的研究,你明确了



你的收获与感受是
你存在的疑惑之处有




(课本) P107 A组 1

(课本) P95 A组 1


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