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高中数学必修二第二章总结


高中数学必修2第二章 知识点总结

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示

(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画 成邻边的2倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平 行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC、平面ABCD等。

( 1 )公理 1 : 如果一条直线上的两点在一个平 面内,那么这条直线在此平面内
A∈L B∈L => L α A ∈α B∈α 公理1作用:判断直线是否在平面内

(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且 只有一个平面。 符号表示为:A、B、C三点不 共线 => 有且只有一个平面α,使A∈α、B∈α、 C∈α。

公理2作用:确定一个平面的依据。

(3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 · 符 号 表 示 为 : P ∈ α ∩ β => α ∩ β =L , 且 P ∈ L

公理3作用:判定两个平面是否相交的依据

2.1.2 空 间 中 直 线 与 直 线 之 间 的 位 置 关 系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 共 面 直
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 行直线:同一平面内,没有公共点;

线


异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。

2 公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行 符号表示为:设a、b、c是三条直线



a∥b c∥b

=>a∥c

强调 : 公理 4 实质上是说平行具有传递性 , 在 平 面 、 空 间 这 个 性 质 都 适 用 。

公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理:空间中如果两个 角的两边分别对应平行,那么 这两个角相等或互补

4 注意点: ① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定, 与O的选择无关,为简便,点O一般取在两直线中的 一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这 两条异面直线互相垂直,记作a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种 情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两 条相交直线所成的角。

空 间 中直 线 与平 面 、 平 面 与平 面 之间 的 位置 关 系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点

2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直 线 与 平 面 平 行 的 判 定

1 、直线与平面平行的判定定理:平面外一条 直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与 此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示:

2.2.2 平面与平面平行的判定 1 、两个平面平行的判定定理:一个平面内的 两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面 平行。

2 、判断两平面平行的方法有 三种: (1)用定义; (2)判定定理; ( 3 )垂直于同一条直线的两 个平面平行。

直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们 的交线平行。 符号表示: α∥β α∩γ= a a∥b β∩γ= b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3 直 线 、 平 面 垂 直 的 判 定 及 其 性 质 2.3.1 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定

1、定义

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平 面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 直 , 则 该 直 线 与 此 平 面 垂 直 。

注 意 点 : a) 定 理 中 的 “ 两 条 相 交 直 线 ” 这 一 条 件 不 可 忽 视
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相 转化的数学思想。

2.3.2 平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定

1 、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图



2 、 二 面 角 的 记 法 : 二 面 角 α -l- β 或 α -AB- β

3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过
另一个平面的垂线,则这两个平面垂直 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂 直于交线的直线与另一个平面垂直。

本章知识结构框图
平面(公理1、 公理2、公理3、 公理4) 空间直线、平面 的位置关系

直线与平面的位 置关系

平面与平面的位 置关系


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