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四川省泸州市2015届高三第一次诊断性考试数学(理)试题 Word版含答案


泸州市 2015 届高三第一次教学质量诊断性考试


第一部分

学(理工类)
(选择题 共 50 分)

本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题) 。第一部分 1 至 2 页,第二部分 3 至 4 页,共 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 用 2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其 它答案。不能答在草稿子、试题卷上。 一选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的。 1、设全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 0} , B ? {x | ?1 ? x ? 3} ,则 (? ) B ?( U A) A、 {x | ?1 ? x ? 0} 2、函数 y ? ( ) ?
x

B、 {x | 0 ? x ? 1}

C、 {x | ?3 ? x ? 0}

D、 {x | x ? 3}

1 2

1 的图象可能是( 2


y

y

y

1 x O 1 y

1 1

1
x

O 1

x

1 O
A、

x 1
B、 C、 D、

3、已知命题 p : ?x ? R , x ? 2 ? 0 ,命题 q : ?x ? R , 是( ) A、命题 p ? q 是假命题 C、命题 p ? (?q) 是假命题

x ? x ,则下列说法中正确的

B、命题 p ? q 是真命题 D、命题 p ? (?q) 是真命题

4、 下列函数 f ( x ) 中, 满足 “对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , 都有 A、 f ( x) ? ln x B、 f ( x) ? ( x ? 1)
2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ”的是( x1 ? x2
1 x ?1
D、 f ( x) ? x


3

C、 f ( x ) ?

3 5、设函数 f ( x) ? ax ? 3x ,其图象在点 (1, f (1)) 处的切线 l 与直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,则

直线 l 与坐标轴围成的三角形的面积为( A、 1 B、 3

) C、 9 D、12

?ABC 所在平面内有一个点 P , 6、 已知 D 为 ?ABC 的边 BC 的中点, 满足 PA ? PB ? PC ,


| PD | 的值为( | AD |



A、 1 7、设 ? ? (0, A、 2? ? ? ?

B、

1 3

C、

1 2

D、 2 )

?

? 1 ? sin 2 ? ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则下列结论中正确的是( 2 4 cos 2?
4
B、 2? ? ? ?

?

?
4

C、? ? ? ?

?
4

D、? ? ? ?

?
4

8、学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一有 A 、 B 两种菜可供选择。调查表明,凡 是在这星期一选 A 菜的, 下星期一会有 20% 改选 B 菜; 而选 B 菜的, 下星期一会有 30% 改 选 A 菜。用 an 表示第 n 个星期一选 A 的人数,如果 a1 ? 428 ,则 a6 的值为( A、 301 B、 304 C、 306 ) ) D、 308

? a?b?c ? 9、已知实数 a, b, c 满足 ? a ? b ? c ? 1 ,则 a ? b 的取值范围是( ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 ?
A、 ( , ) 10、已知函数 f ( x) ? ?

3 5 2 3

B、 (1, ]

4 3

C、 (1, )

4 3

D、 (? , 0)

1 3

?2? | x ? 2 |, 0 ? x ? 4, ,若存在 x1 , x2 ,当 0 ? x1 ? 4 ? x2 ? 6 时, x ?2 4? x?6 ? 2 ? 3,
) C、[1, 6] D、[0,1] [3,8] B、[1, 4]

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? f ( x2 ) 的取值范围是(
A、[0,1)

第二部分
注意事项:

(非选择题 共 100 分)

用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡上, 答在试题卷上无效, 作图题可先用铅笔绘出, 确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11、设复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ( i 是虚数单位) ,则 z ? ____________。 12、已知点 A(1,3) , B(4, ?1) ,则与向量 AB 方向相同的单位向量的坐标为____________。 13、已知数列 {an } 为等差数列, a1 ? 1 ,公差 d ? 0 , a1 、 a2 、 a5 成等比数列,则 a2014 的 值为____________。

?1 ? 3a ? 4a , 0 ? x ? 1 ? 14、已知函数 f ( x) ? ? x 在 (0, ??) 上是减函数,那么 a 的取值范围是 ? x ?1 ? log a x,
____________。 15、设非空集合 A ,若对 A 中任意两个元素 a , b ,通过某个法则“ ” ,使 A 中有唯一确 定的元素 c 与之对应,则称法则“ ”为集合 A 上的一个代数运算。若 A 上的代数运算“ ” 还满足: (1)对 ?a, b, c ? A ,都有 (a b) c ? a (b c) ; (2)对 ?a ? A , ?e, b ? A ,使得

e a ? a e ? a , a b ? b a ? e 。称 A 关于法则“ ”构成一个群。给出下列命题:
①实数的除法是实数集上的一个代数运算; ②自然数集关于自然数的加法不能构成一个群; ③非零有理数集关于有理数的乘法构成一个群; ④正整数集关于法则 a b ? a 构成一个群。
b

其中正确命题的序号是____________。 (填上所有正确命题的序号) 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 3a cos C ? c sin A 。 (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 , ?ABC 的面积为

3 3 ,求 CA ? AB 的值。 2

17、(本小题满分 12 分) 某校校庆, 各界校友纷至沓来, 某班共来了 n 位校友( n ? 8 且 n ? N ) ,其中女校友 6 位,组委会对这 n 位校友登记制作了一份校友名单,现随机从中选出 2 位校友代表,若选出 的 2 位校友代表是一男一女,则称为“友情搭档” 。 (Ⅰ)若随机选出的 2 位校友代表为“友情搭档”的概率不小于
?

1 ,求 n 的最大值; 2

(Ⅱ )当 n ? 12 时,设选出的 2 位校友代表中女校友人数为 ? ,求 ? 的分布列和均值。

18、(本小题满分 12 分) 设 Sn 为 数 列 {an } 的 前 n 项 和 , 且 对 任 意 n ? N 时 , 点 (an ,Sn )都 在 函 数
?

1 1 f ( x) ? ? x ? 的图象上。 2 2 (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式;
(Ⅱ )设 bn ? lg(1 ? 2Sn ) ? 2 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 的最大值。

19、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 1 ? 。 2 ?1 2
x

(Ⅰ )判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并证明; (Ⅱ )若对于任意 x ? [2, 4] ,不等式 f ( 取值范围。

x ?1 m )? f( ) 恒成立,求正实数 m 的 x ?1 ( x ? 1) 2 (7 ? x)

20、(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )( ? ? 0 ,| ? |? 若将函数 f ( x ) 的图象向左平移 (Ⅰ )求使 f ( x ) ?

?
2

)图象的相邻两对称轴间的距离为

? , 2

? 个单位后图象关于 y 轴对称。 6

1 成立的 x 的取值范围; 2 1 ? 2 (Ⅱ ) 设 g ( x) ? ? g '( ) sin ? x ? 3 cos ? x , 其中 g '( x ) 是 g ( x) 的导函数, 若 g ( x) ? , 2 6 7


?
12

?x?

?
3

,求 cos 2 x 的值。

21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? ln a , g ( x) ?

1 2 x ? ( a ? 1) x 。 2

(Ⅰ )求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ )若函数 f ( x ) 有两个零点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,求实数 a 的取值范围并证明 x1 ? x2 随 a 的 增大而减小。

答案
一、 选择题 题 号 答 案 二、填空题 11. ?1? i ; 三、解答题 16 .解: (I)∵ 3a cos C ? c sin A , 由正弦定理得: 3 sin A cos C ? sin C sin A , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ∵ 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ∴ 3 cos C ? sin C ,即 tan C ? 3 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 又 0 ? C ? ? ,∴ C ? 1 A 2 D 3 D 4 5 B 6 A 7 C 8 B 9 C 1 0 B

C

3 4 12. ( , ? ) ; 5 5

13. 4027 ;

1 14. (0, ] ; 7

15.② ③.

?
3

;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

(II)∵ a ? 3 , △ ABC 的面积为

3 3 , 2

1 ? 3 3 ∴ ? 3b sin ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 3 2

∴b ? 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

c2 ? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3cos
cos A ? 22 ? ( 7) 2 ? 32 2? 2? 7 ?

?
3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? 7 ,即 c ? 7 , ·

7 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 14

∴ CA AB ? bc cos(? ? A) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分

? 2 ? 7 ? (?

7 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 ) ? ?1 . · 14

17 .解: (Ⅰ)由题可知,所选两人为“最佳组合”的概率 P ? 则

1 1 Cn 12(n ? 6) ? 6 C6 ? , · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 2 n(n ? 1) Cn

12( n ? 6) 1 ≥ , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 n( n ? 1) 2

化简得 n 2 ? 25n ? 144 ≤ 0 ,解得 9 ≤ n ≤ 16 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 故 n 的最大值为 16;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)由题意得, ? 的可能取值为 0 , 1 , 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分
? 则 P(? ? 0) P(? ? 1) ? P (? ? 2) ? C62 5 ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 2 22 C12

1 1 C6 C6 6 ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 2 11 C12

C62 5 ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 2 C12 22

所以 ? 的分布列为

?

0

1

2

P

5 22

5 6 22 11 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分

5 6 5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 ? 1? ? 2 ? ?1. · 22 11 22 1 1 18 解: (Ⅰ)因为点 (an , Sn ) 都在函数 f ( x) ? ? x ? 的图象上. 2 2 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 所以 Sn ? ? an ? , · 2 2 1 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? , S1 ? a1 ? a1 ? , · 3 2 2

? E? ? 0 ?

1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 当 n ≥ 2 时, Sn ?1 ? ? an ?1 ? , · 2 2

1 1 1 1 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 所以 an ? Sn ? Sn?1 ? ? an ? ? an?1 ? ? ? an ? an?1 , · 2 2 2 2 2 2 1 ? an ? an ?1 , 3

1 1 ? ?an ? 是公比为 ,首项为 的等比数列, 3 3 1 ? an ? ( )n ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 3

(Ⅱ) 因为 ?an ? 是公比为

1 1 ,首项为 的等比数列, 3 3

1 1 (1 ? n ) 3 3 ? 1 (1 ? 1 ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 所以 Sn ? ,· 1 2 3n 1? 3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 ∴ bn ? lg(1 ? 2Sn ) ? 2 ? ?n lg 3 ? 2 , · ∵ bn ?1 ? bn ? ? lg 3 , · · · · · · · · · ·8 分 ∴数列 ?bn ? 是以 ? lg 3 ? 2 为首项,公差为 ? lg 3 的等差数列,且单调递减, ·

?bn ≥ 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 由? ,· ?bn ?1 < 0
2 2 ??n lg 3 ? 2 ≥ 0 ?1 ? n ? 所以 ? ,即 , lg 3 lg 3 ? ( n ? 1) lg 3 ? 2 ? 0 ?

因为

2 2 100 ? log 3 100 ? log 3 35 ? 5 , ? 1 ? log 3 ? log 3 33 ? 3 , lg 3 lg 3 3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 ∴ n ? 4, ·

1 · · · · · · ·12 分 数列 ?bn ? 的前 n 项和的最大值为 T4 ? (? lg3 ? 2 ? 4lg3 ? 2) ? 4 ? 8 ?10lg3 . · 2
19 .解: (Ⅰ)由 2 x ? 1 ? 0 ,得 x ? R 且 x ? 0 , ∴函数的定义域为 (??, 0) (0, ??) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 当 x ? (??, 0) (0, ??) 时, f ? x ? ?
f ??x? ? 1 1 2x ? 1 ? ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 2 x ? 1 2 2(2x ? 1)

2? x ? 1 1 ? 2x ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ?x 2(2 ? 1) 2(1 ? 2 x )

所以 f ? ? x ? ? ? f ( x) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ∴f (x)在定义域上是奇函数; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ ) 由于 f ? ? x ? ? ?
2 x ln 2 , (2 x ? 1) 2 2 x ln 2 ? 0 恒成立, (2 x ? 1) 2

当 x ? (??,0) 或 x ? (0, ??) 时, f ? ? x ? ? ?

所以 f ? x ? 在 (??,0),(0, ??) 上是减函数, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 因为 x∈[2,4]且 m>0,所以 由 f( 所以
x ?1 m ? 0, ? 0,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 x ?1 ( x ? 1) 2 (7 ? x )

x ?1 m )? f( ) 及 f ? x ? 在 (0, ??) 上是减函数, x ?1 ( x ? 1) 2 (7 ? x) x ?1 m ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 x ? 1 ( x ? 1)2 (7 ? x )

因为 x∈[2,4],所以 m<(x+1)(x-1)(7-x)在 x ? [2, 4] 恒成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 设 g(x)=(x+1)(x-1)(7-x), x ? [2, 4] ,则 g(x)=-x3+7x2+x-7, · · · · · · · · · · · · 10 分

7? 52 ? 所以 g′(x)=-3x2+14x+1=-3 ? x ? ? 2+ , 3 3? ?
所以当 x ? [2, 4] 时,g′(x)>0 . 所以 y=g(x)在 [2, 4] 上是增函数,g(x)min=g(2)=15 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 综上知符合条件的 m 的取值范围是 (0,15) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

20.解: (Ⅰ)

函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
2

)图象的相邻两对称轴间的距离

? , 2

∴函数的周期 T ? ? , ? ? ∴ f ( x) ? sin(2 x ? ? ) , 将 f ( x) 的图象向左平移 ∵ y ? sin(2 x ? ∴

2?

?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 ? 2 ,·

? ? 个单位后得到的函数为 y ? sin(2 x ? ? ? ) , · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 3 6

?
3

? ? ) 图象关于 y 轴对称, (k ? Z) ,又 ? ?

?
3

? ? ? k? ?

?
2

?
2

,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分

∴? ?

?
6

,即 f ( x) ? sin(2x ?

?
6

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 ), ·

由 f ( x) ≥

1 ? 1 ? ? 5? 得: sin(2x ? ) ≥ ,即 2k? ? ≤ 2 x ? ≤ 2k? ? · · · · ·5 分 (k ? Z ) , · 2 6 2 6 6 6 1 ? 的 x 的取值范围是 [k? ,k? ? ](k ? Z) ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 2 3

∴使 f ( x) ≥

1 ? (Ⅱ)∵ g ( x) ? ? g ?( )sin 2x ? 3 cos 2 x , 2 6
∴ g ?( x) ? ? g ?( )cos 2 x ? 2 3 sin 2 x , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 6 令x?

?

?
6

得 g ?( ) ? ? g ?( ) cos ? 2 3 sin ,解得 g ?( ) ? ?2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 6 6 3 3 6

?

?

?

?

?

∴ g ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 3 ∵ g ( x) ? ∵

?

2 ? 1 ,∴ sin(2 x ? ) ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 3 7 7

?
12

?x?

?
3

,∴
)??

?
2

? 2x ?

?
3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 ?? ,·

∴ cos(2 x ?

?
3

4 3 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 7

∴ cos 2 x ? cos(2 x ?

?
3

? 4 3 1 1 3 3 3 ? )?? ? ? ? ?? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·13 分 3 7 2 7 2 14

1 21.解: (Ⅰ) ∵ h( x) ? ln x ? x2 ? ax ? ln a ,所以定义域为 (0, ??) 且 a ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 2
因为 h?( x) ?

1 1 1 a 4?a ? x ? a ? ( x2 ? ax ? 1) ? [( x ? )2 ? ), x x x 2 4

2

(1)当 4 ? a 2 ≥ 0 ,又 a ? 0 ,即 0 ? a ≤ 4 时, h?( x) ≥ 0 对 x ? 0 恒成立, ∴ h( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 (2)当 4 ? a 2 ? 0 ,又 a ? 0 ,即 a ? 4 时,

由 h?( x) ? 0 得: x ?

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ,或 x ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 2 2 a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ),( , ??) ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 2 2

所以 h( x) 的单调递增区间为 (0, (Ⅱ)当 a ? 0 时,由 f ? ? x ? ?

1 1? x ,得 x ? 1 . ?1 ? x x
(1, ??)

当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:

x
f ?? x?

? 0,1?
+ ↗

1 0
? ln a ? 1

- ↘

f ? x?

这时, f ? x ? 的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ??) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 当 x 大于 0 且无限趋近于 0 时, f ? x ? 的值无限趋近于 ?? ; 当 x 无限趋近于 0 时 ?? , f ? x ? 的值无限趋近于 ?? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 所以 f ? x ? 有两个零点,须满足 f ?1? >0,即 ln a ? 1 , 所以 a 的取值范围是 (0,e?1 ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 因为 x1 , x2 是函数 f ( x) 的两个零点,即 ln x1 ? x1 ? ln a ? 0 , ln x2 ? x2 ? ln a ? 0 . 故 x2 ? x1 ? ln x2 ? ln x1 ? ln 设
x2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 x1

x2 ? x ? tx1 , ln t t ln t ? t ,则 t ? 1,且 ? 2 解得 x1 ? , x2 ? . x1 x ? x ? ln t , t ?1 t ? 1 ? 2 1

所以 x1 ? x2 ?

?t ? 1? ln t .
t ?1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分

令 h ? x? ?

? x ? 1? ln x , x ?
x ?1

?1, ?? ? ,则 h? ? x ? ?
2

?2ln x ? x ?

? x ? 1?

2

1 x.

1 ? x ?1 ? 令 u ? x ? ? ?2ln x ? x ? ,得 u ? ? x ? ? ? ? . x ? x ?
当 x ? ?1, ?? ? 时, u? ? x ? ? 0 .因此, u ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增, 故对于任意的 x ? ?1, ?? ? , u ? x ? ? u ?1? ? 0 ,由此可得 h? ? x ? ? 0 , 故 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增. 因此,由①可得 x1 ? x2 随着 t 的增大而增大. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 因为 x1 , x2 是函数 f ( x) 的两个零点,即 ln x1 ? x1 ? ln a ? 0 , ln x2 ? x2 ? ln a ? 0 ,

则a ?

x x1 , a ? x2 , x1 e2 e x 1? x ,则 F ? ? x ? ? x , ex e

因为 f ?1? ? ?1 ? ln a 且 a ? (0, e ?1 ) ,则 x1 ? ? 0,1? , x2 ? ?1, ?? ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 设 F ? x? ?

所以 F ? x ? 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 对于任意的 a1 , a2 ? 0, e?1 ,设 a1 ? a2 , 故 F ??1 ? ? F ??2 ? ? a1 , 其中 0 ? ?1 ? 1 ? ? 2 ;F ??1 ? ? F ??2 ? ? a2 , 其中 0 ? ?1 ? 1 ? ?2 . 因为 F ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,故由 a1 ? a2 ,即 F ??1 ? ? F ??1 ? ,可得 ?1 ? ?1 ; 类似可得 ? 2 ? ?2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·13 分 由 ?1 ,?1 ? 0 ,则 所以,x=
1 1

?

?

?1

?

?1

,所以

?2 ?2 ? . ?1 ?1

x2 随着 a 的增大而减小. x1

即 x1 ? x2 随 a 增大而减小. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·14 分

| PD | 6. 如图, 四边形 PBAC 是平行四边形, D 为边 BC 的中点, 所以 D 为边 PA 的中点, 的 | AD |
值为 1. 7. tan ? ?
1 ? sin 2 ? (sin ? ? cos ? ) 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? ? ? ? ? ? tan( ? ? ) .因为 2 2 cos 2 ? 4 cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ?

? ? ? (0, ) ,
2 ? (0, ) ,所以 ? ? ? ? . 4 2 4 4 3 1 8. 依题意有: an ? an ?1 ? (500 ? an ?1 ) ? an ?1 ? 150(n ≥ 2, n ? N* ) , 5 10 2


??

?

?

?

1 an ? 300 ? (an ?1 ? 300)(n ≥ 2, n ? N* ) 2



1 an ? 128 ? ( )n ?1 ? 300 2







1 2 ?58 ( ? ). ? 3 0 0 3 0 4 2 ?a ? b ? c ? 1 ?a ? b ? 1 ? c ?a ? b ? 1 ? c 9. 由 ? 2 得: ? 2 ,即 ? ,所以 a , b 是一元二次方程 2 2 2 2 2 ?a ? b ? c ? 1 ?ab ? c ? c ?a ? b ? 1 ? c a6 ? 1
x2 ? (1 ? c) x ? c 2 ? c ? 0 的 两 实 根 , 且 a ? b ? c , 令 f ( x) ? x 2 ? (1 ? c) x ? c 2 ? c , 因 此

? f (c) ? c 2 ? (1 ? c)c ? c 2 ? c ? 0 ? 1 4 ?1 ? c ,解之得: ? ? c ? 0 ,所以 a ? b 的取值范围是 (1, ) . ?c ? 3 2 3 ? 2 2 ? ?(1 ? c) ? 4(c ? c) ? 0 10. 当 0 ≤ x1 ? 4 ≤ x2 ≤ 6 时,因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 或 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ,
得 到
x1













[1, 3]







2 ? 1 ≤ x ? 2, ?x , 即 x1 ? f ( x2 ) 的范围是 [1, 4] . x1 ? f ( x2 ) ? x1 ? f ( x1 ) ? x1 (2 ? x1 ? 2 ) ? ? 1 2 ? x ? 4 x , 2 ≤ x ? 3. ? ? 1 1

15.

① 因为 a ? 0 没有意义,故命题错误; ② 自然数的加法是一个代数运算,加法满足结合律 (1)、(2)有单位元 0、但不满足使 ③有理数集的乘法是一个代数运算, 满足 (1) 、 (2) , 有单位元 1、 存在逆元使 a ?

a ? b ? 0 ,故命题正确;

1 ? 1, a

故命题正确; ④ 是代数运算,运算不满足(1).如 (2 1) 2 ? 21 2 ? 4, 2 (1 2) ? 2 12 ? 2


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