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数列前n项和构成不等式证明方法与技巧


数列前 n 项和构成不等式证明方法与技巧
由数列前 n 项和构成的不等式是一种非常重要的题型,常在高考题中出现, 由于不等式证明本身就是一个难点,再加数列的各种变形应用,不少学生对该题 型束手无策,不知从何处去分析寻求解题思路,该题型一般有三种解题思路:第 一,若数列{ EMBED Equation.3 | ?an ? 是可求和数列,应先求和 Sn,再证明不

等式;第二,若数列是不可求和数列,一般先将数列的通项放缩成可求和数列, 再求和证明不等式;第三,若数列是不可求和数列,对通项的放缩又有一定的困 难可尝试用数学归纳法证明不等式, 当然有的可求和数列和构成的不等式也可用 数学归纳法证明,下面以例说明。 例 1、各项均为正数的等差数列,a1=3 前 n 项和为 Sn,等比数列中,b1=1, 且 b2S2=64,是公比为 64 的等比数列。 (1)求 an、bn; (2)证明 解: (1)设的公差为 d,的分比为 q(d>0,q>0) 则 an=3+(n-1)d bn=q n-1 又 b2S2=q(6+d)=64 可求得:d=2,q=8 ∴an=2n+1,bn=8n-1 (2)由(1)知 Sn=n(n+2) 显然是可求和数列,先求和,再证明不等式 ∴ = ∴原不等式对 例 2、 等比数列的前 n 项和为 Sn, 对任意的, 已知 点(n,Sn)均在函数 y=bx+r(b>0 且 b≠1,b,r 均为常数)的图象上。 (1)求 r 的值; (2)当 b=2 时设,数列的前 n 项和为 Tn,证明 解: (1)由已知有 Sn=bn+r,当 n≥2 时,Sn-1=bn-1+r ∴an=Sn-Sn-1=(b-1)·n-1 b 又 a1=b+r a2=(b-1)b ∴ ∴r=-1 (2)由 b=2,故(1)有:an=2n-1 bn=
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由于是可求和数列,先求和后证明不等式 Tn=b1+b2+b3+…+bn ∴ ① ② ①-②得: ∴ ∵为递增数列 ∴ ∴对成立 例 3、证明不等式: () 证明(一)∵数列是不可求和数列,应先放缩再证明不等式。 ∵ ∴ =2() ∴对成立 (二)数学归纳法证明 (1)当 n=1 时, ,即 n=1 不等式成立。 (2)假设当 n=k()时不等式成立 即: 当 n=k+1 时 = = = 即 n=k+1 时,不等式成立。 由(1) (2)知,原不等式对均成立 例 4、已知数列前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)在函数 y=3x-1 的图象上,bn=an,前 n 项和为 Bn,证明:Bn<n·n 3 n 解:由已知:Sn=3 -1 当 n=1 时,a1=3-1=2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2×3n-1 ∴an=2×3n-1() ∴ 法(一) ,显然是不可求和数列,先放缩,再证明不等式。 ∵= =(2n+1)×3n-1 ∴Bn=b1+b2+b3+…+bn <3× 1+5× 3+7× 2+…+(2n+1)× n-1 3 3 2 令 Tn=3× 1+5× 3+7× +…+(2n+1)× n-1 3 3 n 由错位相减法可求得 Tn=n× 3 n ∴Bn< n× 3 注:也可用均值不等式:对 bn 进行放缩。 法(二)用数学归纳法证明:Bn< n·n 3 1 ①当 n=1 时,B1=b1=<1×3 =3
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即 n=1 时,不等式成立 ②假设当 n=k+1 时,不等式成立,即 Bk<k·k 3 当 n=k+1 时 Bk+1=Bk+bk+1<k·k+ 3 k < k· + 3 =(3k+3)×3k=(k+1)×3k+1 即 n=k+1 时不等式成立 由①②知:Bn< n·n 对均成立 3 由以上例题可知,对于由数列的前 n 项和 Sn 构成的不等式证明,首先考查是否 可求和,若能求和,先求出 Sn 再证明不等式,若不可求和,要么先将 an 进行放 缩成可求和数列,再求和证明不等式;要么利用数学归纳法进行证明,当然还可 构造函数来证明,在这就不说了 .

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