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四川省泸州市2015届高三第一次诊断性考试数学(文)试题 Word版含答案


泸州市 2015 届高三第一次教学质量诊断性考试



学 (文史类)

本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题) 。第一部分 1 至 2 页,第二部分 3 至 4 页,共 150 分。考试时间 120 分钟。

第一部分 (选择题 共 50 分)
注意事项: 用 2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其 它答案。不能答在草稿子、试题卷上。 一选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的。 1、设全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 0} , B ? {x | ?1 ? x ? 3} ,则 A B ? ( ) A、 {x | ?1 ? x ? 0} 2、函数 y ? ( ) ?
x

B、{x | 0 ? x ? 3}

C、 {x | x ? 0}

D 、 {x | x ? 3}

1 2

1 的图象可能是( 2



y

y

y

1 x O 1

1 1

1
x

O 1

x

y

1 O
A、

x 1
B、 C、 ) C、 f ( x) ? x3 D 、f ( x ) ? D、

3、下列函数中,在 (0, ??) 上单调递减的是( A、 f ( x) ? ln x B、 f ( x) ? ( x ? 1)2

1 x ?1

4、已知命题 p : ?x ? R , x ? 2 ? 0 ,命题 q : ?x ? R , 是( ) A、命题 p ? q 是假命题 C、命题 p ? (?q) 是真命题
3

x ? x ,则下列说法中正确的

B、命题 p ? q 是真命题 D、命题 p ? (?q) 是假命题

5、设函数 f ( x) ? ax ? 3x ,其图象在点 (1, f (1)) 处的切线 l 与直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,则 直线 l 与坐标轴围成的三角形的面积为( A、 1 B、 3 ) C、 9 D、 12

6、若

cos 2?

sin(? ? ) 4
A、

?

?

1 ,则 sin 2? 的值为( 2
B、 ?



7 8

7 8

C、 ?

4 7

D、

4 7

?ABC 所在平面内有一个点 P , 7、 已知 D 为 ?ABC 的边 BC 的中点, 满足 PA ? PB ? PC ,


| PD | 的值为( | AD |
1 2



A、

B、

1 3

C、 1

D、 2

8、学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一有 A 、 B 两种菜可供选择。调查表明,凡 是在这星期一选 A 菜的, 下星期一会有 20% 改选 B 菜; 而选 B 菜的, 下星期一会有 30% 改 选 A 菜。用 an 表示第 n 个星期一选 A 的人数,如果 a1 ? 428 ,则 a4 的值为( A、 324 B、 316
2 2 2



C、 304

D、 302 )

9、已知实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 , a ? b ? c ? 1 , ,则 a ? b 的取值范围是( A、 [?1,1] 10、已知函数 f ( x) ? ? B、 [ ? , 0]

1 3

C、 [0, ]

4 3

D 、 [0, 2]

?2? | x ? 2 |, 0 ? x ? 4, ,若存在 x1 , x2 ,当 0 ? x1 ? 4 ? x2 ? 6 时, x ?2 4? x?6 ? 2 ? 3,
) C、[1, 6] D、[0,1] [3,8] B、[1, 4]

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? f ( x2 ) 的取值范围是(
A、[0,1)

第二部分 (非选择题 共 100 分)
注意事项: 用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡上, 答在试题卷上无效, 作图题可先用铅笔绘出, 确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11、设复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ( i 是虚数单位) ,则 z ? ____________。 12、已知点 A(1,3) , B(4, ?1) ,则与向量 AB 方向相同的单位向量的坐标为____________。 13、已知数列 {an } 为等差数列, a1 ? 1 ,公差 d ? 0 , a1 、 a2 、 a5 成等比数列,则 a2014 的 值为____________。

14、若函数 f ( x) ? ? 围是__________。

log a x, 0 ? x ?1 ? 在 (0, ??) 上是增函数,那么 a 的取值范 x ?1 ?(a ? 2) x ? 3a ? 8,

15、设非空集合 A ,若对 A 中任意两个元素 a , b ,通过某个法则“ ” ,使 A 中有唯一确 定的元素 c 与之对应,则称法则“ ”为集合 A 上的一个代数运算。若 A 上的代数运算“ ” 还满足: (1)对 ?a, b, c ? A ,都有 (a b) c ? a (b c) ; (2)对 ?a ? A , ?e, b ? A ,使得

e a ? a e ? a , a b ? b a ? e 。称 A 关于法则“ ”构成一个群。给出下列命题:
①实数的除法是实数集上的一个代数运算; ②自然数集关于自然数的加法不能构成一个群; ③非零有理数集关于有理数的乘法构成一个群; ④正整数集关于法则 a b ? a b 构成一个群。 其中正确命题的序号是____________。 (填上所有正确命题的序号) 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分 12 分) 某市有 M , N , S 三所高校,其学生会学习部有“干事”人数分别为 36, 24,12 ,现采用 分层抽样的方法从这些“干事”中抽取 6 名进行“大学生学习部活动现状”调查。 (Ⅰ)求应从 M , N , S 这三所高校中分别抽取的“干事”人数; (Ⅱ )若从抽取的 6 名干事中随机选 2 ,求选出的 2 名干事来自同一所高校的概率。

17、(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 3a cos C ? c sin A 。 (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 , ?ABC 的面积为

3 3 ,求 CA ? AB 的值。 2

18、(本小题满分 12 分) 设 Sn 为 数 列 {an } 的 前

n 项 和 , 且 对 任 意 n ? N ? 时 , 点 (an , Sn ) 都 在 函 数

1 1 f ( x) ? ? x ? 的图象上。 2 2
(Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )设 bn ?

3 log 3 (1 ? 2 Sn ) ? 10 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 的最大值。 2

19、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 1 ? 。 2 ?1 2
x

(Ⅰ )判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并证明; (Ⅱ )若对于任意 x ? [2, 4] ,不等式 f ( 取值范围。

x ?1 m )? f( ) 恒成立,求正实数 m 的 x ?1 ( x ? 1)2 (7 ? x)

20、(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )( ? ? 0 ,| ? |? 若将函数 f ( x ) 的图象向左平移 (Ⅰ )求使 f ( x ) ?

?
2

)图象的相邻两对称轴间的距离为

? , 2

? 个单位后图象关于 y 轴对称。 6

1 成立的 x 的取值范围; 2 ? 1 1 (Ⅱ ) 设 g ( x) ? ? g '( ) sin( ? x) ? 3 cos( ? x) , 其 中 g '(x ) 是 g ( x) 的 导 函 数 , 若 3 2 2 2 ? 2? g ( x ) ? ,且 ? x ? ,求 cos x 的值。 7 2 3

21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? ln a , g ( x) ?

1 2 x ? ( a ? 1) x 。 2

(Ⅰ )求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ )若函数 f ( x ) 有两个零点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,求实数 a 的取值范围并证明 大而减小。

x2 随 a 的增 x1

一、选择题 题 号 答 案 二、填空题 11 . ?1? i ; 三、解答题 16 .解: (Ⅰ) 抽样比为: 1 A 2 D 3 D 4 5 B 6 A 7 C 8 B 9 C 1 0 B

C

3 4 12. ( , ? ) ; 5 5

13 . 4027 ;

14 . (2,3] ;

15 .② ③.

6 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 ? ,· 36 ? 24 ? 12 12

故应从 M, N, S 这三所高校抽取的“干事”人数分别为 3,2,1; · · · · · · · · · · · ·4 分
(Ⅱ) 在抽取到的 6 名干事中, 来自高校 M 的 3 名分别记为 1、2、3,

来自高校 N 的 2 名分别记为 a、b,来自高校 S 的 1 名记为 c, · · · · · · · · · · · · ·5 分 则选出 2 名干事的所有可能结果为: {1,2},{1,3},{1, a },{1, b },{1,c}, {2,3},{2,a}, {2,b}, {2,c}, {3,a}, {3,b }, {3, c }, { a,b },{ a , c }, { b , c}共 15 种 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 设 A={所选 2 名干事来自同一高校}, 事件 A 的所有可能结果为{1,2},{1,3}, {2,3},{a, b},共 4 种, · · · · · · · · · · · · 10 分 所以 P( A) ?
4 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 15

17 .解: ( I)∵ 3a cos C ? c sin A , 由正弦定理得: 3 sin A cos C ? sin C sin A , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ∵ 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ∴ 3 cos C ? sin C ,即 tanC ? 又 0 ? C ? ? ,∴ C ?

3, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分

?
3

;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

( II)∵ a ? 3 , △ ABC 的面积为

3 3 , 2

1 ? 3 3 ∴ ? 3b sin ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 3 2
∴b ? 2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

c2 ? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3cos
cos A ? 22 ? ( 7) 2 ? 32 2? 2? 7 ?

?
3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? 7 ,即 c ? 7 , ·

7 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 14

∴ CA AB ? bc cos(? ? A) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分

7 ) ? ?1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 14 1 1 18 解: (Ⅰ)因为点 (an , Sn ) 都在函数 f ( x) ? ? x ? 的图象上. 2 2 ? 2 ? 7 ? (?
1 1 所以 Sn ? ? an ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 2 2 1 1 当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? , 2 2
S1 ? a1 ? a1 ? 1 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 3

1 1 当 n ≥ 2 时, Sn ?1 ? ? an ?1 ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 2 2 1 1 1 1 1 1 所以 an ? Sn ? Sn?1 ? ? an ? ? an?1 ? ? ? an ? an · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ?1 , · 2 2 2 2 2 2
1 ? an ? an ?1 , 3 1 1 ? ?an ? 是公比为 ,首项为 的等比数列,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 3 3 1 ? an ? ( )n ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 3
(Ⅱ)因为 ?an ? 是公比为

1 1 ,首项为 的等比数列, 3 3

1 1 (1 ? n ) 1 1 3 3 ? (1 ? n ) , · 所以 Sn ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 1 2 3 1? 3
∴ bn ?

3 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 log3 (1 ? 2Sn ) ? 10 ? ? n ? 10 , · 2 2

3 ∵ bn ?1 ? bn ? ? , 2
∴数列 ?bn ? 是以

17 3 为首项,公差为 ? 的等差数列,且单调递减 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 2 2

?bn ≥ 0 由? , ?bn ?1 < 0

? 3 ? n ? 10 ≥ 0 ? 1 2 ? 2 所以 ? ,即 5 ? n ? 6 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 3 3 3 ?? (n ? 1) ? 10 ? 0 ? ? 2
∴ n ? 6, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分

1 17 57 ( ? 1) ? 6 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 2 2 2 19 .解: (Ⅰ)由 2 x ? 1 ? 0 ,得 x ? R 且 x ? 0 ,
数列 ?bn ? 的前 n 项和的最大值为 T6 ? ∴函数的定义域为 (??, 0) (0, ??) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 当 x ? (??, 0) (0, ??) 时, f ? x ? ?

1 1 2x ? 1 ? ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 x 2 ? 1 2 2( 2 ? 1)
x

f ??x? ?

2? x ? 1 1 ? 2x ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ?x 2(2 ? 1) 2(1 ? 2 x )

所以 f ? ? x ? ? ? f ( x) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ∴ f (x)在定义域上是奇函数; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ ) 由于 f ? ? x ? ? ?

2 x ln 2 , ( 2x ? 1)2 2 x ln 2 ? 0 恒成立, (2 x ? 1) 2

当 x ? (??,0) 或 x ? (0, ??) 时, f ? ? x ? ? ?

所以 f ? x ? 在 (??,0),(0, ??) 上是减函数, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 因为 x∈ [2,4]且 m >0,所以 由 f(

x ?1 m ? 0, ? 0, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 x ?1 ( x ? 1)2 (7? x )

x ?1 m )? f( ) 及 f ? x ? 在 (0, ??) 上是减函数, x ?1 ( x ? 1) 2 (7 ? x) x ?1 m ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 x ? 1 ( x ? 1)2 (7? x )

所以

因为 x∈ [2,4],所以 m<(x+ 1)(x- 1)(7- x)在 x ? [2, 4] 恒成立.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

设 g (x)= (x+ 1)(x- 1)(7- x), x ? [2, 4] ,则 g (x)=- x3+ 7x2+ x- 7, · · · · · · · · · · · · · 10 分 所以 g ? (x)=- 3x2+ 14x+ 1=- 3 ? x ? ? 2 + 所以当 x ? [2, 4] 时, g ? (x)>0 . 所以 y= g (x)在 [2, 4] 上是增函数, g (x)min= g (2)= 15 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 综上知符合条件的 m 的取值范围是 (0,15) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 20.解: (Ⅰ) 函数 f ( x) ? sin( ? x ? ? )( ? ? 0, ? ?

? ?

7? 3?

52 , 3

?
2

图象的相邻两对称轴间的距离 )

? , 2

∴函数的周期 T ? ? , ? ? ∴ f ( x) ? sin(2 x ? ? ) , 将 f ( x) 的图象向左平移 ∵ y ? sin(2 x ? ∴

2?

?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ? 2 ,·

? ? 个单位后得到的函数为 y ? sin(2 x ? ? ? ) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 3 6

?
3

? ? ) 图象关于 y 轴对称, (k ? Z) ,又 ? ?

?
3

? ? ? k? ?

?
2

?
2

,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分

∴? ?

?
6

,即 f ( x) ? sin(2 x?

?
6

, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ) ·

由 f ( x) ≥

1 ? 1 ? ? 5? 得: sin(2 · · · · · · 5分 x? ) ≥ ,即 2k? ? ≤ 2 x ? ≤ 2k? ? (k? Z ), · 2 6 2 6 6 6 1 ? 的 x 的取值范围是 [k? ,k? ? ](k ? Z) ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2 3

∴使 f ( x) ≥

? 1 1 (Ⅱ)∵ g ( x) ? ? g ?( )sin( ? x) ? 3 cos( ? x) , 3 2 2
∴ g ?( x) ? ? g ?( )cos x ? 3 sin x , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 3 令x?

?

?
3

得 g ?( ) ? ? g ?( )cos ? 3 sin ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 3 3 3 3

?

?

?

?

解得 g ?( ) ? ? 1,所以 g ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 3 3

?

?

∵ g ( x) ? ∵

2 ? 1 ,∴ sin( x ? ) ? , 3 7 7 2? 5? ? ,∴ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 ? x ? ? ? ,· 3 6 3
3 )?? 4 3 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 7

?
2

?x?

∴ cos( x ?

?

∴ cos x ? cos( x ?

?
3

? 4 3 1 1 3 3 3 ? )?? ? ? ? ?? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·13 分 3 7 2 7 2 14

21.解: (Ⅰ) ∵ h( x) ? ln x ? 因为 h?( x) ?

1 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 x ? ax ? ln a ,所以定义域为 (0, ??) 且 a ? 0 , · 2
2

1 1 1 a 4?a ? x ? a ? ( x2 ? ax ? 1) ? [( x ? )2 ? ), x x x 2 4

( 1)当 4 ? a 2 ≥ 0 ,又 a ? 0 ,即 0 ? a ≤ 4 时, h?( x) ≥ 0 对 x ? 0 恒成立, ∴ h( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ( 2)当 4 ? a 2 ? 0 ,又 a ? 0 ,即 a ? 4 时, 由 h?( x) ? 0 得: x ?

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ,或 x ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 2 2 a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ),( , ??) ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2 2

所以 h( x ) 的单调递增区间为 (0, (Ⅱ)当 a ? 0 时,由 f ? ? x ? ?

1 1? x ,得 x ? 1 . ?1 ? x x

当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:

x

? 0,1?
+ ↗

1 0
? ln a ? 1

(1, ??)
- ↘

f ?? x? f ? x?

这时, f ? x ? 的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ??) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 当 x 大于 0 且无限趋近于 0 时, f ? x ? 的值无限趋近于 ?? ; 当 x 无限趋近于 0 时 ?? , f ? x ? 的值无限趋近于 ?? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 所以 f ? x ? 有两个零点,须满足 f ?1? >0 ,即 ln a ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 所以 a 的取值范围是 (0,e?1 ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 因为 x1 , x2 是函数 f ( x) 的两个零点,即 ln x1 ? x1 ? ln a ? 0 ,

ln x2 ? x2 ? ln a ? 0 ,
则a?

x x1 , a ? x2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 x1 e2 e

因为 f ?1? ? ? 1? lna 且 a ? (0, e ?1 ) ,则得 x1 ? ? 0,1? , x2 ? ?1, ?? ? . 设 F ? x? ?

x 1? x ,则 F ? ? x ? ? x , x e e

所以 F ? x ? 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 对于任意的 a1 , a2 ? 0, e?1 ,设 a1 ? a2 , 故 F ??1 ? ? F ??2 ? ? a1 ,其中 0 ? ?1 ? 1 ? ? 2 ;

?

?

F ??1 ? ? F ??2 ? ? a2 ,其中 0 ? ?1 ? 1 ? ?2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分
因为 F ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,故由 a1 ? a2 ,即 F ??1 ? ? F ??1 ? ,

可得 ?1 ? ?1 ;类似可得 ? 2 ? ?2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 由 ?1 ,?1 ? 0 ,则 所以,

? ? 1 1 ? ,所以 2 ? 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·13 分 ? 1 ?1 ?1 ?1

x2 随着 a 的增大而减小 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·14 分 x1


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