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高中数学人教A版必修4第二章《2.3.1 平面向量基本定理》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

高中数学人教 A 版必修 4 第二章 《2.3.1 平面向量基本定理》 优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案 1 教学目标 1.理解平面向量的基底的意义与作用,利用平面向量的几何表示,正确地将平面上的向量用 基底表示出来。 2.通过不同向量用同一基底表示的探究过程,得出并证明平面向量基本定理。 3.通过平面向量基本定理,认识平面向量的“二维”性,并由此进一步体会“某一方向上的向 量的一维性”,培养“维数”的基本观念。 4.平面向量基本定理建立了平面上的向量集合与二元有序数组的集合之间的对应关系(这种 对应关系建立了非数对象与数(或数组)之间的一种映射),通过这种对应关系,我们可以将向 量的运算转化为数的运算,由此达到简化向量的运算,这是数学的一种基本方法。 5.体会用基本要素(元)表示事物,或将事物分解成基本要素(元),由此达到将对事物的研究 转化为对基本要素(元)的研究,通过对基本要素的内在联系的研究达到理解并把握事物的思 想方法(例如全等) 2 学情分析 向量不仅是沟通代数与几何的桥梁,还是解决许多实际问题的重要工具。从问题中抽象出向 量模型,再通过向量的代数运算获得问题的解决方案或结果,是利用向量解决问题的基本特 征。(平面向量的概念、向量的运算、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示是平面向量 的主要内容。 )平面向量基本定理是向量进行坐标表示,进而将向量的运算(向量的加、 减法, 向量的数乘、向量的数量积等)转化为坐标的数量运算的重要基础,同时,它还是用基本要素 (基底、元)表达和研究事物(向量空间、具有某种性质的对象的集合)的典型范例,对于人们 掌握认识事物的方法,提高研究事物的水平,有着难以替代的重要作用。 3 重点难点 理解平面向量的基底的意义与作用,利用平面向量的几何表示,正确地将平面上的向量用基 底表示出来。 4 教学过程 4.1 第一学时 4.1.1 教学活动 活动 1【导入】平面向量基本定理 问题 1:任意找一首用简谱谱写的歌曲,你能找到用阿拉伯数字“8”表示的音符吗?为什么? 问题 2:两个三角形的三条边对应相等,那么这两个三角形之间有什么关系?你是如何得出这 个关系的?你能从这个问题中得到一个怎样的结论? 活动 2【导入】平面向量基本定理 问题 3: 取一个与数轴方向相同的向量记为 a,那么与数轴平行的所有向量与向量 a 有什么关系? 意图:回顾共线向量定理,体会共线向量的“基底”及用基底表示共线向量的方法,明确平行 向量形成 “一维空间” ,形成对 “一元数学对象” 的认识,并为探究平面向量基本定理作铺垫。 师生活动:引导学生回顾共线向量定理,教师重新解析共线向量定理的意义与作用。 问题 4: 取一个与数轴不平行的向量记为 b,那么向量 b 可以表示怎样的向量? 意图:明确任意一个方向上的全体向量均构成 “一维向量空间” ,为探究选取两个不同方向的 向量作平面向量的基底作准备。 师生活动:学生思考问题 4 与问题 3 的同异点与联系,教师解析这个问题的意义与作用。 活动 3【讲授】平面向量基本定理 对平滑的斜坡上受重力下滑的物体,你能将引起下滑的重力分解成哪几个力? 意图:由重力可以分解为下滑方向的力与垂直斜坡向里的力的和,体会向量的分解,向探究任 意向量的分解(即基底表示)过渡。 师生活动:学生说,教师引导并表述结论。 取一个与向量 a 和 b 都不平行的向量 c,那么向量 c 可以用向量 a 和 b 表示出来吗? 意图:得出平面向量基本定理的内容。 师生活动:教师引导,学生独立探究,教师在学生的探究所获得的结论的基础上,总结出平面 向量基本定理。 活动 4【活动】平面向量基本定理 利用平面向量基本定理,你能解决下面问题吗? 如图在 中, , 与 相交于 , 求证: . 解析:设 ,则 ,同时,由 三个向量的终点共线,故有 。 所以, ,从而 所以, 。 意图:这个问题是一个相当简单的问题,用相似三角形之间的比例关系就可以解决。 这里的目 的,是以这个熟悉而且简单的问题,让学生感受平面向量基本定理的重要作用,体会向量的应 用,加深对平面向量基本定理的认识。 师生活动:教师启发引导学生思考,给出解决这一问题的严谨过程,给学生一个利用向量解决 问题的示范。 教师引导学生总结上述解决问题的方法的步骤,一方面使学生明确这一方法与平面几何方法 的差异:由于数量及其运算的引进,使得我们的算法更容易表达和操作了;另一方面为今后学 习算法留下案例,引导学生从算法的角度思考并解决问题。 此处要再配一些题目,训练学生以学会用基底表示非基底向量。 活动 5【练习】平面向量基本定理 如图所示,D、E、F 分别是 的边 BC、CA、AB 的中点,G 是 的重心,请将 、 、 用 、 表示出 来,并探究 、 、 之间有什么关系?

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