当前位置:首页 >> 其它课程 >> 高二数学生活中的优化问题举例2

高二数学生活中的优化问题举例2


1.4

生活中的优化问题举例

生活中经常遇到求利润 最大、用料 最省、效率最高等问题 , 这些问题 通常称为优化问题 .通 过 前面的学 ?小? 习 , 我们知道, 导数是求函数最大 值的有力工具.本节我们运用导数, 解决一些生活中的优化 问题.

例1 汽油的使用效率何时最 高
我们知道,汽油的消耗量w ?单位 : L ? 与汽车的速度 v

?单位 : km / h?之间有一定关系 ,汽油的消耗量 w是汽车
?1? 是不是汽车的速度越快 ,汽油的消越量越大 ? ?2?" 汽油的使用效率最高 " 的含义是什么 ?
速度v的函数.根据你的生活经验 , 思考下面两个问题:

现实生活中 ,当汽车行驶路程一定时 , 我们希望汽油 的使用效率最高,即每千米路程的汽油消 耗量最少 或每升汽油能够使汽车 行驶最长路程 . 这就需要考 虑如何提高汽油的使用 效率, 使汽油使用效率最高 .

研究汽油的使用效率 ?单位 : L / km ?就是研究汽 油消耗量与汽车行驶路 程的比值 .如果用 G表示 w 每千米平均的汽油消耗 量,那么 G ? , 其中, w s 表示汽油消耗量 ?单位 : L ?, s表示汽车行驶的路 程 ?单位 : km ?. 这样,求" 每千米路程的汽车消耗 量最少 " , 就是求 G的最小值问题 . 解决" 优化问题 "的途径之一是通过搜集 大量的 统计数据 , 并对数据进行整理 和分析, 建立与其 相应的函数模 型 ; 再通过研究相应函数的 性 质, 提出优化方案 , 使问题得到解决 .在这个过程中 , 导数往往是一个有力的 工具.

通过大量的统计数据 , 并 15 对数据进行分析、研究 , 10 人们发现 , 汽车在行驶 过程中 , 汽油平均消耗 5 v ?km / h? 率g(即每小时的汽油消 30 50 60 90 120 o 耗量, 单位 :L / h)与汽车 图1.4 ? 1 行驶的平均速度 v(单位 : km / h)之间有如图 1.4 ? 1 所示的函数关系 g ? f ?v ?.
那么 , 我们如何根据这个图象 中的数据信息 , 解决汽 油使用效率最高的问题 呢?

g?L / h?

从图象中我们不能直接 解决汽油使用效率最高 问题.因此, 我们首先需要 将问题转化为汽 油平均 消耗率 g (即每小时的汽 油消耗量 , 单位 : L / h) 与

g?L / h?
15

10
5

v ?km / h?

o

30 50 60

90

120

图1.4 ? 1

汽车行驶的平均速度 v 之间关系的问题 ,然后利用 图象中的数据信息 , 解决汽油使用效率最高 的问题.
如图 1.4 ? 1,函数 g ? f ?v ? 最小值的意义是什么 ? 它是 否表示在此点处汽油的 使用效率最高?

g?L / h?

W W / t 15 解 因为 G ? ? . S S/t g ? ? 斜率 ? L / km ? 10 g v 这样,问题就转化为求 的 v g 5 g 最小值 .从图象上看 , 表示 v ?km / h? v 30 50 60 90 120 o v 什么 ? 图1.4 ? 2 g 从图1.4 ? 2可以看出 , 表示经过原点与曲线上 点 v ?v, g?的直线的斜率 . 继续观察图象 ,我们可以发现 ,

当直线与曲线相切时 , 其斜率最小 .在此切点处速 度约为90km / h.

因此,当汽车行驶距离一定时 , 要使汽油 的使用效率最高 , 即每千米的汽油消耗 量最少,此时的车速约为 90km / h . 从数 值上看, 每千米的汽油消耗量就 是图1.4 ? 2中切线的斜率 , 即f ' ?90?, 约为 L.

例2

磁盘的最大存储量问题

?1?你知道计算机是如何存 储、检索信息的吗 ? ?2?你知道磁盘的结构吗 ? ?3 ?如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的
信息 ?

背景知识 计算机把信息存储在磁 盘上.磁盘是带 有磁性介质的圆盘 ,并由操作系统将其格式 化成磁 道和扇区 .磁道是指不同半径所构 成的同心圆轨道 , 扇区是指被圆心角分割 成扇形 R 区域.磁道上的定长的弧可作 为 r 基本存储单元 , 根据其磁化与否 可分别记录数据 0 或1, 这个基本 单元通常称为比特 ?bit ?.磁盘的 图1.4 ? 3 构造如图 1.4 ? 3所示. 为了保障磁盘的分辩率 , 磁道之间的宽度必须大于 m, 每比特所占用的磁道长度不得小于 n .为了数据 检索的方便, 磁盘格式化时要求要求所有磁道具有 相同的比特数.

问题 : 现有一张半径为 R的磁盘, R 它的存储区是半径介于 r 与R 的 环形区域. r ?1? 是不是 r越小, 磁经盘的存储 量越大? ?2? r为多少时, 磁盘具有最大的 图1.4 ? 3 存储量(最外面的磁道不存储任 何信息) ? 解 存储量 ? 磁道数 ? 每磁道的比特数.

设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽 度必须大于m, 且最外面的磁道不存储任何信息, 所 R?r 以磁道数最多可达 . m

又由于每条磁道上的比 特数 相同, 为获得最大存储量 , 最内 一条磁道必须装满 , 即每条磁 2 πr 道上的比特数可达到 .所 n 以, 磁盘总存储量 R ? r 2 πr 2 π f ?r ? ? ? ? r ?R ? r ?. m n mn

R

r
图1.4 ? 3

?1?它是关于 r的二次函数 , 从函数的解析式上可
以判断,不是r越小, 磁盘的存储量越大 .

?2?为求f ?r ?的最大值 ,计算f ' ?r ? ? 0.
2π R ' ?R ? 2r ?, 令 f ?r ? ? 0, 解得 r ? . f ?r ? ? mn 2
'

R R R ' ' 当r ? 时, f ?r ? ? 0;当r ? 时, f ?r ? ? 0.因此,当r ? 2 2 2 πR 2 时, 磁盘具有最大存储量 , 最大存储量为 . 2mn 思考 如果每条磁道存储信息 与磁道的长度成

正比,那么如何计算磁盘的存 储量? 此时, 是不是 r越小, 磁盘的存储量越大 ?

例3 饮料瓶大小对饮料公司 利润的影响 ?1? 你是否注意过,市场上等量的小包装的 物品 一般比大包装的贵些 ? 你想从数学上知道它的 道理吗? ?2?是不是饮料瓶越大 , 饮料公司的利润越大 ? 背景知识 某制造商制造并出售球形瓶 装的 某种饮料 .瓶子的制造成本是 0.8πr 2分, 其中r 是 瓶子的半径,单位是厘米 .已知每出售 1 mL 的饮 料,制造商可获利 0.2分,且制造商能制作的瓶子 最大半径为6cm. 问题 ?1? 瓶子半径多大时 ,能使每瓶饮料的利 润最大 ? ?2? 瓶子半径多大时 , 每瓶饮料利润最小 ?

当r ? 2时, f ' ?r ? ? 0.

解 由于瓶子的半径为 r, 所以每瓶饮料的利润是 3 ? r 4 3 2? 2 y ? f ?r ? ? 0.2 ? πr ? 0.8πr ? 0.8π? ?r ? , ? ? 3 3 ? ? 0 ? r ? 6. 令f ' ?r ? ? 0.8π r 2 ? 2r ? 0.

?

?

' ' ? ? ? ? ? ? 当r ? 0,2 时, f r ? 0;当r ? 2,6 时, f ?r ? ? 0. 因此,当半径 r ? 2时, f ' ?r ? ? 0,它表示 f ?r ?单调递增 , 即半径越大 ,利润越高 ;半径r ? 2时, f ' ?r ? ? 0,它表 示f ?r ?单调递减 ,即半径越大 ,利润越低 . ①半径为2cm时, 利润最小 , 这时 f ?2? ? 0, 表示此种

瓶内饮料的利润还不够 瓶子成本 ,此时利润是负值 . ② 半径为6cm时,利润最大 .

y 换一个角度 : 如果 我 们不用导 数工具 ,直接 从函数的图象 (图 ? r3 2? ? 3 ?r ? ? 1.4 ? 4)上观察,你有什么发现 ? f ?r ? ? 0.8π? ? ? 从 图象上容 易看出 ,当 r ? 3 时, f ?3? ? 0, 即瓶子半径是 3cm 时, 2 3 o r 饮料的利润与饮料瓶的 成本恰 好相等;当r ? 3 时,利润才为正值 .

当r ? ?0,2?时, f ?r ?是减函数 ,你能 图1.4 ? 4 解释它的实际意义吗 ? 通过此问题的解决 , 我们很容易回答开始时 的问 题.请同学们自己作出回答 . 动画演示 ,直观解释 .

由上述例子 , 我们不难发现 , 解决优化问题的基 本思路是 :

优化问题
优化问题的答案

用函数表示的数学问题
用导数解决数学问题

上述解决优化问题的过 程是一个典型的数学 建模过程 .

瓜子小说网 www.cwems.com 瓜子小说网

wpe14xrz

摸慕容凌娢的头,“没想到你很适合穿古装嘛,放心吧,只要跟着我,一定会把你的潜力发觉出来的。”这是因为我大天朝的校服谁穿上 都会丑的缘故吧!还有,“潜力”是指什么方面的啊?我可以听不懂吗?此时的慕容凌娢在百蝶怀里已经快要窒息了,她的整张脸都紧紧 贴在了百蝶怀里,一个很特殊的位置。好尴尬啊,但也不能说出来。慕容凌娢已经开始庆幸自己是个女生了,不然一定会有什么非分之想。 没想到百蝶姐姐不仅人长得漂亮,身材也这么好……百蝶终于松开了手,慕容凌娢赶忙后退了一步,贪婪的呼吸着空气。活着的感觉真好! “凌娢,准备好了吗?”百蝶妩媚的笑了笑,慕容凌娢的反应她似乎并没有放在心上。“咱们该走了。”“咦?这就走了?”慕容凌娢心 凉了一大截,“咱们不再留一会吗?”“为什么要再等会?”百蝶撇了撇嘴,朝四周看了一下,“醉影楼那边还有不少事呢,还是快点 好。”“好的,我有点饿了,所以……”慕容凌娢尴尬的说道,想要以此来掩饰自己不想去醉影楼的事实。“是这样啊,放心吧,醉影楼 里这里不远。”百蝶柔情似水的目光落在慕容凌娢身上,使她根本就不敢直视,“要说点心,醉影楼的可比这里的要好吃呢。”完了完了, 彻底没救了,难道我真的要去哪种可怕的地方吗?慕容凌娢牵强的笑容已经暴露了她的焦虑。(古风一言)那时,谁饰淡妆惹水覆。而今, 谁独孤眠千里外。第015章 童话里故事都是骗人的完了完了,彻底没救了,难道我真的要去哪种可怕的地方吗?慕容凌娢牵强的笑容已经 暴露了她的焦虑。……“百蝶姐姐,咱们就这样走没问题吗?”慕容凌娢提着自己的衣裙,小心翼翼地跟在百蝶后面,生怕一不注意来个 平地摔。她看着自己身上的衣服,有种说不出来的别扭。真是的,感觉自己即使换了衣服,还是和这个世界格格不入啊!“不然呢?其实 像秘道那样的东西还是很少的。”百蝶转过身,慕容凌娢赶忙后退,她可不想再次栽入百蝶那柔软的怀抱。慕容凌娢后退的同时没有注意 到自己那长达地面的裙摆,理所当然的踩了上去。身体失去平衡向后倒去。我怎么这么倒霉,走个路都能平地摔,还是在大街上!百年大 计,一世英名毁于一旦啊~……这种危机关头,不容她多想,就已经摔在了地上。没错,就是摔在了地上,以一种很狼狈的姿势。“慕容 凌娢,你没事吧。”韩哲轩用围观的眼神看着四仰八叉躺在地上的慕容凌娢,脸上依旧带着一丝戏虐的笑容。在最狼狈的时刻遇到了一个 不太想见到的人……慕容凌娢觉得自己没脸见人了……“喂,你没事吧,不会死了吧?”韩哲轩一本正经的捅了捅慕容凌娢的脸,“我真 的只是路过,所以别想坑我钱。”“你这也叫是路过?”百蝶翻了韩哲轩一个白眼,“明明就


赞助商链接
更多相关文档:

高中数学 1.4.2生活中的优化问题举例学案(2) 新人教A版...

高中数学 1.4.2生活中的优化问题举例学案(2) 新人教A版选修2-2_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1.4.2 生活中的优化问题举例 【学习目标】 1.使利润最大...

...版高中数学选修2-2第一章《生活中的优化问题举例》...

最新人教版高中数学选修2-2第一章《生活中的优化问题举例》课后训练 - 课后训练 1.把一段长为 12 cm 的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个...

2016新课标创新人教A版数学选修2-2 1.4 生活中的优化问题举例_...

2016新课标创新人教A版数学选修2-2 1.4 生活中的优化问题举例 - [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P34~P36 的内容,回答下列问题. 某...

生活中的优化问题举例教学设计

生活中的优化问题举例教学设计 - 成都七中万达学校 2016 年青年教师赛课教学设计 课题:生活中的优化问题举例 课型:新课(第一课时) 授课人:曾威(高二数学组) ...

高中数学选修2-2生活中的优化问题(解析版)

高中数学选修2-2生活中的优化问题(解析版) - 高中数学选修 2-2 导数的应用 8 导数的应用:生活中的优化问题(解析版) 1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对...

生活中的优化问题举例

生活中的优化问题举例 - 1.4 生活中的优化问题举例 【教学目标】 掌握有关实际问题中的优化问题;形成求解优化问题的思路和方法; 并利用导数解决生活中的一些优化...

2016新课标三维人教A版数学选修2-2 1.4 生活中的优化问题举例_...

2016新课标三维人教A版数学选修2-2 1.4 生活中的优化问题举例_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2016新课标三维人教A版数学选修2-2 1.4 生活中的优化问题举例 ...

2012高二精品数学生活中的优化问题举例测试题

2012高二精品数学生活中的优化问题举例测试题_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。选修 2-21.4 生活中的优化问题举例一、选择题 1.内接于半径为 R 的球且...

生活中的优化问题举例

生活中的优化问题举例_职业规划_求职/职场_实用文档。生活中的优化问题举例 ...问题转化为数学问题,列出适当的函数关系式 ,并确定函数的定义区间; (2)求 ,...

...版高中数学选修2-2第一章《生活中的优化问题举例》...

最新人教版高中数学选修2-2第一章《生活中的优化问题举例》教学设计 - 教学设计 1.4 生活中的优化问题举例 教材分析 本节内容是导数知识的应用,是利用前面所学的...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com