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【金识源】高中数学新人教A版必修5教案 2.3 等差数列的前n项和


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等差数列的前 n 项和 一、教材分析 1.教学内容: 本节课是高中人教 A 版必修 5 第二章第三节第一课时的内容。主要研究等差数列的前 n 项和公式的推导及其简单应用。 2.地位与作用 本节课是前面所学知识的延续和深化,又是后面学习“等比数列及其前 n 项和”的基础 和前奏。学好了本节课的内容,既能加深对数列有关概念的理解,又能为后面学好等比数列 及数列求和提供方法。同时还蕴涵着深刻的数学思想方法(倒序相加法、数形结合、方程思 想) ,因此“等差数列的前 n 项和”无论是在《数列》这一章中还是在高中数学中都有极为 重要的位置,具有承上启下的重要作用。 二、学情分析 1.知识基础: 高二年级学生已学习了数列及等差数列有关基础知识,并且在初中已了解特殊的数列 求和及小高斯的故事。 2.认知水平与能力: 高二学生已初步具有抽象逻辑思维能力,能在教师的引导下独立地解决问题。 3. 学生特点: 平行班里有不少学生基础不差且思维较活跃,能带动其它学生积极学习,但处理抽象 问题的能力还有待进一步提高。 三、目标分析 知识技能目标: 1.掌握等差数列前 n 项和公式; 2.掌握等差数列前 n 项和公式的推导过程; 3.会简单运用等差数列前 n 项和公式. 过程与方法: 1.通过对等差数列前 n 项和公式的推导,体会倒序相加求和的思想方法; 2. 通过公式的运用体会方程的思想。 情 感 态 度: 结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学
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习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化. 教学重点、难点 1、教学重点: 等差数列前 n 项和公式的推导和应用. 2、教学难点: 在等差数列前 n 项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法. 3、重点、难点解决策略: 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略.利用数形结合、类比 归纳的思想,层层深入,通过学生自主探究,分析、整理出推导公式的思路,同时,借助多 媒体的直观演示,帮助学生理解,师生互动、讲练结合,从而突出重点、突破教学难点。 四. 教法、学法 本课采用“探究——发现”教学模式. 教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导. 学生的学法突出探究、发现与交流. 五.教学过程 教学过程设计为六个教学环节: (如下图)

指导思想:就是从特殊到一般,由具体到抽象,类比归纳总结出指导等差数列前 n 项和 公式的倒序相加法, 然后引导学生认识和熟记公式并活应用, 同时在应用过程中体会方程的 思想方法。
【教学过程】
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一、明确数列前 n 项和的定义,开门见山确定本节课中心任务: 对于数列{an}:a1,a2,a3,?,an,?我们称 a1+a2+a3+?+an 为数列{an}的前 n 项和,用 sn 表示,记 如 sn=a1+a2+a3+?+an, S1 =a1, S7 =a1+a2+a3+
??

+a7

二、问题牵引,探究发现

问题 1: (播放媒体资料情景引入)印度泰姬陵世界七大奇迹之一。传说陵寝中有一个三角 形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有 100 层(见图) ,奢靡之程度,可见一斑。你 知道这个图案一共花了多少颗宝石吗? 即: S100=1+2+3+······+100=? 著名数学家高斯小时候就会算,闻名于世,那么小高斯是如何快速地得 出了答案的呢?请同学们思考高斯方法的特点,适合类型和方法本质。 同学们讨论后发言总结: (高斯用的是偶数个相加时首尾配对,变不同数的加 法运算为相同数的乘法运算大大提高效率。 ) 特点: 首项与末项的和: 第 2 项与倒数第 2 项的和: 第 3 项与倒数第 3 项的和: · · · · · · 第 50 项与倒数第 50 项的和: 50+51=101, 于是所求的和是: 101×50=5050。 1+2+3+ ······ +100= 101×50 = 5050 探索与发现 1:第 1 层到 21 层一共有多少颗圆宝石呢? 即计算 S21=1+2+3+ ······ +21 的值,在这个过程中让学生发现当项数为奇数时, 首尾配对出现了问题, 通过动画演示引导帮助学生思考解决问题的办法, 为引出倒序相加法 做铺垫。
动画演示:假如再给你同样多的珠宝,在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢? 把“全等三角形”倒置,与原图构成平行四边形。 平行四边形中的每行宝石的个数均为 21 个,共 21 行。有 什么启发? 1 + 2 + 3 + ?? +20 +21

1+100=101, 2+99 =101, 3+98 =101,

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21 +

20

+

19 +

?? + 2

+1

S21=1+2+3+?+21=(21+1)×21÷2=231 探索与发现 2:第 5 层到 12 层一共有多少颗圆宝石? (动画演示帮助学生体会出方法)

S8=5+6+7+8+9+10+11+12=

8 ? (5 ? 12) ? 68 2

【设计意图】 进一步引导学生探究项数为偶数的等差数列求和时倒序相加是否可行。从而得出任 意项数的等差数列求和都可用倒序相加法,确立倒序相加的思想和方法! 问题 2:等差数列 1,2,3, ,n, 即:sn =1+2+3+??+n
? ?

的前 n 项和怎么求?

? sn ? 1 ?

2 ? 3

? ? ? ( n ? 1) ? n ?1

sn ? n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 2 sn ? (1 ? n) ? (1 ? n) ? ? ? (1 ? n) ???????????
n

sn ?

n(n ? 1) 2

【设计意图】进一步强化倒序相加法的理解和运用,为一般的等差数列求和打基础。 问题 3:对于一般的等差数列{an}首项为 a1,公差为 d,它的前 n 项和公式 Sn 如何推导呢?

即: n =a1+a2+a3+??+an

s

S n ? a1 ? a2 ? ?an S n ? an ? an?1 ? ?a1

(1) (2)

? a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ? ? an ? a1
∴(1)+(2)可得:2 S n ? n(a1 ? an ) ∴ Sn ?

n(a1 ? a n ) (公式一) 2
n(n ? 1) d 2

公式变形:将 an ? a1 ? (n ? 1)d 代入可得: S n ? na1 ?

Sn ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d (公式二) 2 2

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【设计意图】 学生在前面的探究的基础上水到渠成顺理成章很快就可以推导出一般等差 数列的前 n 项和公式,从而完成本节课的中心任务。在这个过程中放手让学生自主推导,同 时也复习等差数列的通项公式和基本性质。

三、公式的认识与理解: 1、两个公式的认识: S n ?

n(a1 ? a n ) (公式一) 2

Sn ?
【设计意图】

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d (公式二) 2 2

1、探究两个公式的区别与联系,明确若 a1,d, n, an 中已知三个量就可以求出 Sn 。 2、明确两个公式共涉及五个量 a1,d, n, an 和 Sn, “知三”可“求二” 。

探索与发现 3:等差数列前 n 项和公式与梯形面积公式有什么联系?

【设计意图】帮助学生类比联想,拓展思维,增加兴趣,强化记忆。 四、公式应用、讲练结合 1、练一练: 根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{an}的 Sn :

(1) a1=5,an=95,n=10
解: s10 ?

10 ? (5 ? 95) ? 500 2

(2) a1=100,d=-2,n=50

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解: s50 ? 50 ? 100 ?

50 ? (50 ? 1) ? (?2) ? 2550 2

【设计意图】熟悉并强化公式的理解和应用。 2、例题 1: 2000 年 11 月 14 日教育部下发了<<关于在中小学实施“校校通”工程的通知>>.某市 据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从 2001 年起用 10 年时间,在全市中小学建成不同 标准的校园网. 据测算,2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元.为了保证工程的顺利实施, 计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 年起的未来 10 年内,该市在“校 校通”工程中的总投入是多少? 解:设从 2001 年起第 n 年投入的资金为 an,根据题意,数列{an}是一个等差数列,其中 a1=500, d=50

那么,到 2010 年(n=10) ,投入的资金总额为 s10 ? 10 ? 500 ?

10 ? 9 ? 50 ? 7250 2

答: 从 2001 年起的未来 10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是 7250 万元。 【设计意图】让学生体会数列知识在生活中的应用及简单的数学建模思想方法。 3、例题 2: 已知一个等差数列{an}的前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220,由这些条件可以确 定这个等差数列的前 n 项和的公式吗? 解: 法 1:由题意知

s10 ? 310 , s20 ? 1220
代入公式 s n ? na1 ?

n(n ? 1) d 得: 2

?10 a1 ? 45 d ? 310 ? ?20 a1 ? 190 d ? 1220
解得 a1 ? 4 , d ? 6

s n ? 4n ?

n(n ? 1) ? 6 ? 3n 2 ? n 2

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法 2:由题意知

s10 ? 310 , s20 ? 1220
代入公式 s n ?

n(a1 ? a n ) 得: 2

s10 ?


10 ? (a1 ? a10 ) 20 ? (a1 ? a20 ) ? 310 , s20 ? ? 1220 2 2

a1 ? a10 ? 62

① , a1 ? a20 ? 122 ②

② ? ①得, a20 ? a10 ? 10d ? 60 ,故 d ? 6 由 a1 ? a10 ? 62 得 2a1 ? 9d ? 62 故 a1 ? 4

an ? a1 ? (n ? 1)d ? 6n ? 2
sn ? n(a1 ? a n ) ? 3n 2 ? n 2

【设计意图】掌握并能灵活应用公式并体会方程的思想方法。 4、反馈达标: 练习 1:在等差数列{an}中,a1=20, an=54,sn =999,求 n.

解:由 999 ?

n(20 ? 54 ) 解 n=27 2

练习 2: 已知{an}为等差数列,

s5 s ? 2 ? 3 ,求公差。 5 2

解:由公式 s n ? na1 ?

n(n ? 1) d得 2

5a1 ? 10 d 2a ? d ? 1 ? 3 即 d=2 5 2
【设计意图】进一强化求和公式的灵活应用及化归的思想(化归到首项和公差) 。 五、归纳总结 分享收获:(鼓励学生大胆总结发言,培养总结和表达能力)
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1、倒序相加法求和的思想及应用; 2、等差数列前 n 项和公式的推导过程; 3、掌握等差数列的两个求和公式 s n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) d; , s n ? na1 ? 2 2

4、前 n 项和公式的灵活应用及方程的思想。 ???? 六、作业布置: (一)书面作业: 1.已知等差数列{an},其中 d=2,n=15, an =-10,求 a1 及 sn。 2.在 a,b 之间插入 10 个数,使它们同这两个数成等差数列,求这 10 个数的和。 (二)课后思考: 思考:等差数列的前 n 项和公式的推导方法除了倒序相加法还有没有其它方法呢? 【设计意图】 通过布置书面作业巩固所学知识及方法, 同时通过布置课后思考题来延伸知识 拓展思维。

附:板书设计 等差数列的前 n 项和

一、 数列前 n 项和的定 义:

四:例题及解答:

议练活动:

二、 等差数列前 n 项和 公式的推导:

三、 公式的认识与理解:

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公式一: 公式二:

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