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2.5等比数列的前项和的教案


2.5等比数列前 n 项和的教案
一.教学目标
理解并掌握等比数列的前 n 项和公式的推导过程,公式的特点,在此基础上能初步应用 公式解决与之有关的问题。通过对公式推导方法的探索与发现,培养学生观察,优化学生的 思维品质。

二.教学重点和难点
教学重点:公式的推导,公式的特点和公式的运用。 教学难点:公式的推导方法和公式的灵活运用。

三.教学手段:多煤体辅助教学。 四.教学过程
复习回顾:
1 写出.等比数列的通项公式.

回答:an=a1qn-1
(其中a1 是首项,q是公比,n是项次,an 是通项) 2.写出求等差数列的前 n 项和过程。

回答:
Sn=a1+ a2+ a3 +... + an-1+an (1) Sn=an+an-1+an-2+...+ a2+ a1(2) (1)+(2)得, 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+...+(an-1+a2)+(an+a1) 2Sn=n(a1+an)

sn ?
引导新课

n(a1 ? an ) 2

国王赏麦的故事 你认为国王有能力满足上述要求吗?

新课讲解
等比数列的前 n 项和是:Sn=a1+a2+a3+...an-1 +an 根据等比数列的通项公式,上式可写成 Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1qn-2+a1qn-1 (1) 如果用公比 q 乘(1)的两边,可得 2 qSn=a1q+a1q +a1q3+...+a1qn-1+a1qn(2) (1)-(2)得 (1-q)Sn=a1-a1qn a (1 ? q n ) 当 q≠1 时,等比数列的前 n 项和的公式为 sn ? 1 (q ? 1)

1? q

因为an=a1qn-1,所以上面的公式还可以写成

sn ?

a1 (1 ? q n?1.q) a1 ? an q ? ,q ?1 1? q 1? q

当 q=1 时,等比数列的前 n 项和 Sn 等于多少? 若 q=1,则数列是常数列,它的前 n 项和等于它 项的 n 倍,即 S n=na1 S=

na1 , q ? 1 a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? ,q ?1 1? q 1? q

那一起解决本节开头的问题。 1,2,4,8, 。 。 。 ,263 是什么数列?
20,21,22,23,…,263 首项a1=1,q=2的等比数列。 所以用等比数列的前 n 项公式来计算。 ∵a1=1,q=2,n=64 可得 264-1 这个数很大,超过了 1.84×1019. 估计千粒麦子的质量约为 40ɡ,那麦子的总质量 1.84×1016×40=7.36×1017(ɡ)=7.36×1011(t)

sn ?

a1 (1 ? q n ) 1? (1 ? 264 ) , s64 ? ? 264 ? 1 1? q 1? 2

超过了 7000 亿吨。 因此,国王不能实现他的要求.
求等比数列的前 n 项和,还能探究其他的方法吗? 1.根据等比数列的定义

a a2 a3 a4 ? ? ... ? n ? q a1 a2 a3 an?1

a2 ? a3 ? a4 ? ... ? an s ?a ? q, n 1 ? q a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an?1 sn ? an sn ? a1 ? qsn ? qan , (1 ? q) sn ? a1 ? an q

a1 ? a1q n?1.q a1 (1 ? q n ) sn ? ? ,q ?1 1? q 1? q
2.由 Sn=a1+a2+a3+...+an=a1+a1q+a1q2...+a1qn-1 =a1+q(a1+a2+...+an-1)=a1+q(S n-an) =a1+q S n-qan 从而得(1-q)Sn=a1-anq

sn ?

a1 ? a1q n ?1.q a (1 ? q n ) ? 1 ,q ?1 1? q 1? q

公式应用
例 1 求下列等比数列前 8 项和:

1 1 1 , , ,... 2 4 8 1 1 1 1 a1 ? , q ? ? ? , n ? 8 2 4 2 2 1? 1 ? 1 ? ( )8 ? n ? a (1 ? q ) 2 2 ? 255 sn ? 1 s8 ? ? ? 1 1? q 256 1? 1 2 (2)a1=27,a9= ,q<0 243 1 解:由 a1=27 ,a9= 243 1 1 8 1 8 =27.q8 , q ? ( ? ) , q= ? 243 3 3
(1)

当 n=8 时

1 ? ? 27?1 ? (? )8 ? 3 ? 81 6560 1640 s8 ? ? ? . ? 1 4 6561 81 1 ? (? ) 3
在等比数列的通项公式及前 n 项和公式中共有a1,an,n? q,Sn 五个量,只要知道其中任意三个 量,求出其余两个量

五.随堂练习
1.在等比数列{an}中: (1)已知a1=3,q=2,n=6,求 S6; (2)已知a1= -1,a4=64,求 S4.

解: (1)

s6 ?

a1 (1 ? q 6 ) 3(1 ? 26 ) ? ? 189 1? q 1? 2

(2)∵ an ? a1q n?1 ,

a4 ? ?q3 ? 64, q3 ? ?64 ? (?4)3 ,?q ? ?4
s4 ? a1 ? a4 q ? 1 ? 64.(?4) ? ? 51 1? q 1? 4

2.如果一个等比数列的前 5 项和等于 10, 前 10 项和等于 50, 那么它前 15 项的和等于多少? 解:∵S 5=10,S 10=50

a1 (1 ? q 5 ) ? 10, (1) 1? q a1 (1 ? q10 ) ? 50, ( 2) 1? q ( 2) ? (1)

a1 (1 ? q5 )(1 ? q 5 ) 1 ? q . ?5 1? q a1 (1 ? q5 ) 1 ? q 5 ? 5, q 5 ? 4, q10 ? 16, q15 ? 64.



a1 (1 ? q 5 ) ? 3a1 a ? 10, ? 1 .(?3) ? 10 1? q 1? q 1? q a1 10 ?? 1? q 3

a1 (1 ? q n ) a 10 , s15 ? 1 (1 ? q15 ) ? ? .(?63) ? 210 1? q 1? q 3 六.课堂小结 sn ?
1.等比数列前 n 项和公式的推导过程方法。 2.等比数列求和公式有两种形式,在应用中应根据

题目所给的条件灵活先用,知三可求二。

na1 , (q ? 1) ? ? S n ? ? a1 ? a1q n a1 ? an q ? 1 ? q ? 1 ? q , (q ? 1) ?

七。布置作业:
习题 2.5 的第 1,4 题.

八.课后反思:


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