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【高考调研】2014届高考数学总复习 第九章 解析几何 课时作业62(含解析)理 新人教A版


课时作业(六十二)
1.若椭圆 + 2=1 过点(-2, 3),则其焦距为 16 b A.2 5 C.4 5 答案 D 4 3 解析 ∵椭圆过(-2, 3), 则有 + 2=1, =4, =16-4=12, =2 3, c=4 3. b2 c2 c 2 16 b 故选 D. 2.已知椭圆 + =1,长轴在 y 轴上,若焦距为 4,则 m 等于( 10-m m-2 A.4 C.7 答案 D 解析 椭圆焦点在 y 轴上,∴a =m-2,b =10-m. 又 c=2,∴m-2-(10-m)=c =4. ∴m=8.
2 2 2

x2

y2

(

)

B.2 3 D.4 3

x2

y2

)

B.5 D.8

x2 y2 10 3.已知椭圆 + =1 的离心率 e= ,则 m 的值为 5 m 5
A.3 C. 15 答案 B 25 B.3 或 3 5 15 D. 15或 3

(

)

?5>m, ? 解析 若焦点在 x 轴上,则有? 5-m 10 ? 5 = 5 . ?
∴m=3.

?m>5, ? 若焦点在 y 轴上,则有? m-5 10 ? m = 5 . ?
25 ∴m= . 3

x y 3 4.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦点分别为 F1、F2,b=4,离心率为 .过 F1 的直线交椭 a b 5

2

2

1

圆于 A、B 两点,则△ABF2 的周长为 A.10 C.16 答案 D B.12 D.20

(

)

解析 如图,由椭圆的定义知△ABF2 的周长为 4a,又

c 3 3 e= = ,即 c= a, a 5 5
16 2 2 2 2 ∴a -c = a =b =16. 25 ∴a=5,△ABF2 的周长为 20. 5.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为 d1,d2,焦距为 2c.若 d1,2c,

x2 y2 a b

d2 成等差数列,则椭圆的离心率为
A. 1 2 3 2 B. 2 2 3 4

(

)

C.

D.

答案 A

c 1 解析 由 d1+d2=2a=4c,∴e= = . a 2
→ → 2 6.已知椭圆 +y =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 M 在该椭圆上,且MF1?MF2=0, 4

x2

则点 M 到 y 轴的距离为 A. C. 2 3 3 3 3 B. 2 6 3

(

)

D. 3

答案 B 解析 由题意,得 F1(- 3,0),F2( 3,0). → → 2 2 设 M(x,y),则MF1?MF2=(- 3-x,-y)?( 3-x,-y)=0,整理得 x +y =3.① 又因为点 M 在椭圆上,故 +y =1, 4
2

x2

2

即 y =1- .② 4 3 2 2 6 将②代入①,得 x =2,解得 x=± . 4 3 2 6 故点 M 到 y 轴的距离为 . 3

2

x2

x y 1 7.设 e 是椭圆 + =1 的离心率,且 e∈( ,1),则实数 k 的取值范围是 4 k 2
( A.(0,3) 16 C.(0,3)∪( ,+∞) 3 答案 C 1 k-4 16 解析 当 k>4 时,c= k-4,由条件知 < <1,解得 k> ; 4 k 3 当 0<k<4 时,c= 4-k, 1 4-k 由条件知 < <1,解得 0<k<3,综上知选 C. 4 4 8.(2013?温州五校)已知 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的一点,若 16 B.(3, ) 3 D.(0,2) )

2

2

x2 y2 a b

PF1?PF2=0,tan∠PF1F2= ,则此椭圆的离心率为
A. C. 1 2 1 3 B. D. 2 3 5 3





1 2

(

)

答案 D → → 1 解析 由PF1?PF2=0, 得△PF2F2 为直角三角形, tan∠PF1F2= , PF2|=s, PF1| 由 设| 则| 2 =2s,又|PF2| +|PF1| =4c (c= a -b ),即 4c =5s ,c=
2 2 2 2 2 2 2

5 s,而 2

3s c 5 |PF2|+|PF1|=2a=3s,∴a= .∴离心率 e= = ,故选 D. 2 a 3 → → 9. 已知椭圆 + =1 的左顶点为 A1, 右焦点为 F2, P 为该椭圆上一动点, 点 则当PF2?PA1 4 3

x2 y2

→ → 取最小值时|PA1+PF2|的取值为

(

)

3

A.0 C.4 答案 B

B.3 D.5

解析 由已知得 a=2,b= 3,c=1,所以

F2(1,0),A1(-2,0),设 P(x,y),
→ → 则PF2?PA1=(1-x,-y)?(-2-x,-y) =(1-x)(-2-x)+y . 3 2 2 又点 P(x,y)在椭圆上,所以 y =3- x ,代入上式, 4 → → 1 2 1 2 得PF2?PA1= x +x+1= (x+2) . 4 4 又 x∈[-2,2], → → 所以 x=-2 时,PF2?PA1取得最小值. → → 所以 P(-2,0),求得|PF2+PA1|=3. 10.设 F1,F2 为椭圆的两个焦点,以 F2 为圆心作圆,已知圆 F2 经过椭圆的中心,且与 椭圆相交于点 M,若直线 MF1 恰与圆 F2 相切,则该椭圆的离心率为 ( A. 3-1 C. 2 2 B.2- 3 D. 3 2 )
2

答案 A π 2 2 2 2 解析 由题意知∠F1MF2= ,|MF2|=c,|F1M|=2a-c,则 c +(2a-c) =4c ,e +2e 2 -2=0,解得 e= 3-1.

11.已知点 M( 3,0),椭圆 +y =1 与直线 y=k(x+ 3)交于点 A、B,则△ABM 的周 4 长为______________. 答案 8 解析 直线 y=k(x+ 3)过定点 N(- 3,0),而 M、N 恰为椭圆 +y =1 的两个焦点, 4

x2

2

x2

2

4

由椭圆定义知△ABM 的周长为 4a=4?2=8. 12.已知点 A(4,0)和 B(2,2),M 是椭圆 + =1 上一动点,则|MA|+|MB|的最大值为 25 9 ________. 答案 10+2 10 解析

x2

y2

显然 A 是椭圆的右焦点,如图所示,设椭圆的左焦点为 A1(-4,0),连 BA1 并延长交椭 圆于 M1,则 M1 是使|MA|+|MB|取得最大值的点.事实上,对于椭圆上的任意点 M 有: |MA|+|MB|=2a-|MA1|+|MB|≤2a+|A1B|(当 M1 与 M 重合时取等号),∴|MA|+|MB|的 最大值为 2a+|A1B|=2?5+ 6 +2 =10+2 10. 13.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),直线 l 为圆 O:x +y =b 的一条切线,记椭圆 C π 的离心率为 e.若直线 l 的倾斜角为 ,且恰好经过椭圆的右顶点,则 e 的大小为______. 3 答案 解析 1 2
2 2

x2 y2 a b

2

2

2

如图所示,设直线 l 与圆 O 相切于 C 点,椭圆的右顶点为 D,则由题意,知△OCD 为直 π 2 2 2 2 角三角形,且 OC=b,OD=a,∠ODC= ,∴CD= OD -OC = a -b =c(c 为椭圆的半焦 3

c π 1 距),∴椭圆的离心率 e= =cos = . a 3 2
14.F1,F2 是椭圆 E:x + 2=1(0<b<1)的左,右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A、B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|的长为________. 答案 2 3
2

y2 b

解析 由椭圆的定义可知

5

|AF1|+|AF2|=2a=1,|BF1|+|BF2|=1,相加得 |AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=2. ∴|AF2|+|BF2|=2-(|AF1|+|BF1|)=2-|AB|. ∵|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列, ∴2|AB|=|AF2|+|BF2|. 2 于是 2|AB|=2-|AB|,∴|AB|= . 3

15.如右图,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的 上顶点,直线 AF2 交椭圆于另一点 B. (1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率; → → (2)若椭圆的焦距为 2,且AF2=2F2B,求椭圆的方程. 解析 (1)若∠F1AB=90°,则△AOF2 为等腰直角三角形.所以有|OA|=|OF2|,即 b=

x2 y2 a b

c.
所以 a= 2c,e= =

c a

2 . 2

(2)由题知 A(0,b),F2(1,0),设 B(x,y), → → 3 b 由AF2=2F2B,解得 x= ,y=- . 2 2 4 x y 代入 2+ 2=1,得 2+ 2=1.
2 2

9 4

b2 b

a

b

a



9 1 2 2+ =1,解得 a =3. 4a 4

所以椭圆方程为 + =1. 3 2 16.(2013?沧州七校联考)已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F(-2,0),且长轴 长与短轴长的比是 2∶ 3. (1)求椭圆 C 的方程; → (2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上,点 P 是椭圆上任意一点.当|MP|最小时,点 P 恰好

x2 y2

6

落在椭圆的右顶点,求实数 m 的取值范围. 答案 (1) + =1 (2)1≤m≤4 16 12

x2

y2

解析

?c=2, ?a 2 (1)由题意知?b= , 3 ?a =b +4, ?
2 2

?a =16, ? 解之得? 2 ? ?b =12.

2

∴椭圆方程为 + =1. 16 12 (2)设 P(x0,y0),且 + =1, 16 12 → 2 2 2 ∴|MP| =(x0-m) +y0 =x -2mx0+m +12(1- ) 16 1 2 2 = x0-2mx0+m +12 4 1 2 2 = (x0-4m) -3m +12. 4 → 2 ∴|MP| 为关于 x0 的二次函数,开口向上,对称轴为 4m. → 2 由题意知,当 x0=4 时,|MP| 最小,∴4m≥4,∴m≥1. 又点 M(m,0)在椭圆长轴上,∴1≤m≤4. 17.(2013?潍坊质检)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,且与椭圆 x + =1 a b 2 有相同的离心率,斜率为 k 的直线 l 经过点 M(0,1),与椭圆 C 交于不同的两点 A、B. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)当椭圆 C 的右焦点 F 在以 AB 为直径的圆内时,求 k 的取值范围. 解析 (1)∵椭圆 C 的焦距为 4,∴c=2.
2 0 2

x2

y2

x2 0

y2 0

x2 0

x2 y2

2

y2

y 2 2 又∵椭圆 x + =1 的离心率为 , 2 2 c 2 2 ∴椭圆 C 的离心率 e= = = ,∴a=2 2,b=2. a a 2
∴椭圆 C 的标准方程为 + =1. 8 4 (2)设直线 l 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),

2

x2 y2

7

?y=kx+1, ? 由?x2 y2 ? 8 + 4 =1 ?

消去 y,得(1+2k )x +4kx-6=0.

2

2

-4k -6 ∴x1+x2= 2,x1x2= 2. 1+2k 1+2k 由(1)知椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为(2,0), → → ∵右焦点 F 在圆的内部,∴AF?BF<0. ∴(x1-2)(x2-2)+y1y2<0, 即 x1x2-2(x1+x2)+4+k x1x2+k(x1+x2)+1<0. ∴(1+k )x1x2+(k-2)(x1+x2)+5 -6 -4k 8k-1 2 =(1+k )? 2+(k-2)? 2+5= 2<0, 1+2k 1+2k 1+2k 1 ∴k< . 8 1 经检验,当 k< 时,直线 l 与椭圆 C 相交. 8 1 ∴直线 l 的斜率 k 的取值范围为(-∞, ). 8
2 2

x2 y2 1.已知 F1、F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,点 P(- 2,1)在椭圆上, a b
→ → 线段 PF2 与 y 轴的交点 M 满足PM+F2M=0. (1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 C 上任一动点 N(x0,y0)关于直线 y=2x 的对称点为 N1(x1,y1),求 3x1-4y1 的 取值范围. 解析 (1)由已知,点 P(- 2,1)在椭圆上, 2 1 ∴有 2+ 2=1.①

a

b

→ → 又∵PM+F2M=0,M 在 y 轴上, ∴M 为 PF2 的中点. ∴- 2+c=0,c= 2. ∴a -b =2,② 解得①②,得 b =2(b =-1 舍去),
2 2 2 2

8

∴a =4. 故所求椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2 (2)∵点 N(x0,y0)关于直线 y=2x 的对称点为 N1(x1,y1),

2

x2 y2

?y -y ?2=-1, ?x -x ∴? y +y x +x ? 2 =2? 2 . ?
0 1 0 0 1 1 0 1

?x =4y -3x , ? 5 解得? 3y +4x ?y = 5 . ?
0 0 1 0 0 1

∴3x1-4y1=-5x0. ∵点 N(x0,y0)在椭圆 C: + =1 上, 4 2 ∴-2≤x0≤2. ∴-10≤-5x0≤10, 即 3x1-4y1 的取值范围为[-10,10]. 2.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 F 及点 A(0,b),原点 O 到直线 FA 的距离为 2 b. 2 (1)求椭圆 C 的离心率 e; (2)若点 F 关于直线 l:2x+y=0 的对称点 P 在圆 O:x +y =4 上,求椭圆 C 的方程及 点 P 的坐标. 解析 (1)由点 F(-ae,0), A(0,)及 b= 1-e a 得直线 FA 的方程为 点 b + 2 -ae 1-e a =1,即 1-e x-ey+
2 2 2 2

x2 y2

x2 y2 a b

x

y

ae 1-e2=0,
2 ∵原点 O 到直线 FA 的距离为 b=a 2 1-e , 2
2

ae 1-e2 ∴ =a 2 2 1-e +e
(2)∵F(-

1-e 2 ,解得 e= . 2 2

2

2 a,0)关于直线 l 的对称点 P 在圆 O 上,且直线 l:2x+y=0 经过圆 O:x2 2

9

+y =4 的圆心 O(0,0),∴F(- 从而(-

2

2 a,0)也在圆 O 上. 2

2 2 a) +02=4,得 a2=8,∴b2=(1-e2)a2=4. 2

∴椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4 ∵F(-2,0)与 P(x0,y0)关于直线 l 对称,

x2 y2

?x y =1, ? +2 2 ∴? x -2 y ?2? 2 + 2 =0. ?
0 0 0 0

6 8 解得 x0= ,y0= . 5 5 6 8 ∴点 P 的坐标为( , ). 5 5

x2 y2 3.如图,从椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 M 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1, a b
且它的长轴端点 A 与短轴端点 B 的连线 AB∥OM. (1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任一点,F2 是右焦点,F1 是左焦点,求∠F1QF2 的取值范围; (3)设 Q 是椭圆上任一点,当 QF2⊥AB 时,延长 QF2 与椭圆交于另一点 P,若△F1PQ 的面 积为 20 3,求此时椭圆的方程. 解析 (1)∵MF1⊥x 轴,∴xM=-c.

b2 b2 代入椭圆方程,得 yM= ,∴kOM=- . a ac
又∵kAB=- 且 OM∥AB, ∴- =- .故 b=c,从而 e=

b a

b2 ac

b a

2 . 2

(2)设|QF1|=r1,|QF2|=r2,∠F1QF2=θ . ∵r1+r2=2a,|F1F2|=2c, ∴cosθ =

r2+r2-4c2 ? r1+r2? 2-2r1r2-4c2 4b2 a2 a2 1 2 = = -1= -1≥ 2r1r2 2r1r2 2r1r2 r1r2 r1+r2
? 2 ?

-1=
2

10

0.(当且仅当 r1=r2 时,等号成立) π ∵0≤cosθ ≤1,故 θ ∈[0, ]. 2 (3)∵b=c,a= 2c,∴设椭圆方程为 2+ 2=1. 2c c ∵PQ⊥AB,kAB=- 2 ,kPQ= 2, 2

x2

y2

∴直线 PQ 的方程为 y= 2(x-c). 联立可得 5x -8cx+2c =0. ∴|PQ|= [? 8c ? 5
2 2 2

4?2c - ]? 5

2

1+2? =

6 2c . 5

2 6 又点 F1 到 PQ 的距离 d= c, 3 1 1 2 6 6 2 4 3 2 ∴S△F1PQ= d|PQ|= ? c? c= c. 2 2 3 5 5 由 4 3 2 c =20 3,得 c2=25,故 2c2=50. 5

∴所求椭圆方程为 + =1. 50 25

x2

y2

11


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