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高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线的定义与标准方程名师课件 湘教版选修2-1_图文

2.2 双曲线 2.2.1 双曲线的定义与标准方程

2.2.1

学习目标 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练

学习目标
1.了解双曲线的定义,几何图形及标准方程的推导 过程. 2.掌握双曲线的标准方程. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实 际问题.

课前自主学案
温故夯基
已知椭圆方程为 5x2+9y2=45,a、b、e 分别 为椭圆的长半轴长、短半轴长、离心率,则 a=__3__,b=___5__,e=__23___.

知新益能
1.双曲线的定义 平面上到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值为 _固__定__值___(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这 两个定点F1,F2叫作双曲线的_焦__点___,两个焦点 之间的距离叫作双曲线的__焦__距__._ 2.双曲线的标准方程

标准 方程
焦点 焦距

焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

xa22-yb22=1

ya22-xb22=1

(a>0,b>0) (a>0,b>0)

__(_±__c_,0_)___

_(_0_,__±__c_)_

|F1F2|=2c,c2=a2+b2

思考感悟
1.如何理解双曲线的定义? 提示:(1)定义中的前提条件为“平面内”,这 一限制条件十分重要,不能丢掉,否则就成了 空间曲线,不是平面曲线了. (2)不可漏掉定义中“常数小于|F1F2|”. (3)双曲线的定义中要注意两点: ①距离之差的绝对值;②2a<|F1F2|. 这两点与椭圆的定义有本质的不同,若|PF1|- |PF2|=2a<|F1F2|,点P的轨迹仅为双曲线焦点F2 这一侧的一支,若|PF2|-|PF1|=2a<|F1F2|,点P

的轨迹仅为双曲线焦点F1这一侧的一支,而双曲 线是由两个分支组成的,故定义中应为“差的绝
对值”.
2.如果去掉“小于|F1F2|”这一条件,轨迹会有 怎样的变化?
提示:当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为 端点的两条射线;当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不 存在.

课堂互动讲练
考点突破
求双曲线的标准方程
与求椭圆的标准方程的方法一样,若由题设条 件易于确定方程的类型,可先设出方程的标准 形式,再确定方程中的参数a,b的值,即“先 定型,再定量”.若两种类型都有可能,则应 进行分类讨论.

例1 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)过点 P(3,145),Q(-136,5),且焦点在坐标轴上;
(2)c= 6,经过点(-5,2),焦点在 x 轴上.
【思路点拨】 求双曲线的标准方程时,应先 “定位”,再“定型”,即先确定其焦点的位 置,再确定a、b的取值;和椭圆一样,在所求 曲线的焦点位置不确定的情况下,可借助于双 曲线方程的一般形式求解.

【解】 (1)设双曲线方程为xm2+yn2=1(mn<0). ∵P、Q 两点在双曲线上,

?m9 +1262n5=1,

??295m6+2n5=1,

解得???m=-16, ??n= 9.

∴所求的双曲线方程为y92-1x62 =1.

(2)∵焦点在 x 轴上,c= 6, ∴设所求双曲线方程为xλ2-6-y2 λ=1(其中 0<λ<6).

∵曲线经过点(-5,2),

∴2λ5-

4 6-

λ=1,

∴λ=5 或 λ=30(舍去). ∴所求双曲线方程是x52-y2=1.

【名师点评】 求双曲线标准方程的方法: (1)定义法 若由题设条件能判断出动点的轨迹是双曲线,可 根据双曲线的定义确定其方程,这样可以减少运 算量. (2)待定系数法,其步骤为: ①作判断:根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还 是在y轴上,还是两种情况都有可能. ②设方程:根据条件,设出标准方程. ③寻关系:根据已知条件列出关于a、b、c的方程 组. ④得方程:解方程组代入所设方程即为所求.

自我挑战1 (1)求焦点是 F1(0,-4),F2(0,4)且过点 P(2 2,-6)的双曲线的标准方程; (2)求焦点在 y 轴上,且过点 P1(3,-4 2),P2(94, 5)的双曲线的标准方程.

解:(1)设所求标准方程为ya22-bx22=1(a>0,b>0),且 c=4,

∵曲线过点 P(2 2,-6),

∴有???3a62 -b82=1, ??a2+b2=16,

∴?????ab22= =14,2,

∴双曲线的标准方程为1y22 -x42=1.

(2)设双曲线的标准方程为ya22-bx22=1(a>0,

b>0).

因为 P1,P2 在双曲线上, 所以 P1,P2 的坐标适合方程,

??? 所以有

3a22 -b92=1, 2a52 -1861b2=1,

令 m=a12,n=b12.

??32m-9n=1, 则方程组可化为???25m-8116n=1,

?m=116,
解得
??n=19.

即?????ab22= =196. ,

∴所求方程为1y62 -x92=1.

利用定义求方程
利用定义法求双曲线的标准方程,首先找出两个 定点(即双曲线的两个焦点);然后再根据条件寻 找动点到两个定点的距离的差(或差的绝对值)是 否为常数,这样确定c和a的值,再由c2=a2+b2 求b2,进而求双曲线的方程.

例2 在△ABC 中,|BC|=8,点 A 满足 sinB-sinC
=12sinA.求点 A 的轨迹方程. 【思路点拨】

利用正弦

建系 ―→ 得B、C坐标 ―→ 定理

―→

a,b,c的关系 ―→ 点A的轨迹 ―→

写出点A的 轨迹方程

【解】 如图,以 BC 边所在的直线为 x 轴,BC 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,则 B(- 4,0),C(4,0),
∵sinB-sinC=12sinA,

∴由正弦定理得 b-c=12a. 即|AC|-|AB|=
1 2|BC|. ∴|AC|-|AB|=4. ∴点 A 是以 B、C 为焦点的双曲线的左支(除去与 x 轴的交点). ∵c=4,a=2,∴b2=12. ∴其方程为x42-1y22 =1(x<-2). ∴点 A 的轨迹是双曲线的一支(除去一点).

【名师点评】 如果动点的轨迹可以较容易地 判断符合直线、圆、椭圆或者双曲线的定义, 通常运用待定系数法求出相关的基本量的值即 可.

双曲线定义的应用
利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题,一是 要 注 意 定 义 条 件 ||PF1| - |PF2|| = 2a 的 变 形 使 用 , 特别是与|PF1|2+|PF2|2,|PF1|·|PF2|间的关系;二 是要与三角形知识相结合,经常利用余弦定理、 正弦定理等知识,同时要注意整体思想的应用.

例3 设双曲线x42-y92=1,F1,F2 是其两个焦点,
点 M 在双曲线上.
(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2 的面积; (2)若∠F1MF2=60°时,△F1MF2 的面积是多少? 若∠F1MF2=120°时,△F1MF2 的面积又是多少? (3)观察以上计算结果,你能看出随∠F1MF2 的变 化,△F1MF2 的面积将怎样变化吗?试证明你的 结论. 【思路点拨】 在△F1MF2中运用余弦定理及 三角形的三角恒等式,再由三角形的面积公式 进行计算、证明.

【解】 (1)由双曲线方程知 a=2,b=3,c= 13,
设|MF1|=r1,|MF2|=r2(r1>r2). 因为∠F1MF2=90°, 所以 r21+r22=|F1F2|2,

由双曲线定义,有 r1-r2=2a=4, 两边平方得 r21+r22-2r1·r2=16, 即|F1F2|2-4S△F1MF2=16, 也即 52-16=4S△F1MF2,
求得 S△F1MF2=9.
由双曲线定义,有 r1-r2=2a=4, 两边平方得 r21+r22-2r1·r2=16, 即|F1F2|2-4S△F1MF2=16,
也即 52-16=4S△F1MF2, 求得 S△F1MF2=9.

(2)若∠F1MF2=60°, 在△F1MF2 中, 由余弦定理得|F1F2|2=r21+r22-2r1r2cos60°, 由|F1F2|2=(r1-r2)2+r1r2,得 r1r2=36,
求得 S△F1MF2=12r1r2sin60°=9 3.
同理可求得若∠F1MF2=120°,S△F1MF2=3 3.

(3)由以上结果可见,随着∠F1MF2 的增大,△ F1MF2 的面积将减小.证明如下: 令∠F1MF2=θ,则 S△F1MF2=12r1·r2sinθ.

由双曲线定义及余弦定理,有

???r1-r2?2=4a2,



???r21+ r22-2r1·r2cosθ= 4c2,



②-①得 r1·r2=24?1c-2-c4osaθ2?, 所以 S△F1MF2=?c21--ac2o?ssiθnθ=tabn2θ2.

因为 0<θ<π,0<θ2<π2,

在(0,π2)内,ta1nθ2是减函数.

因此当 θ 增大时,S△F1MF2=

b2 减小. θ

tan2

【名师点评】 (1)由于三角形面积 S△F1MF2=12 r1r2sinθ,所以只要求出 r1r2 即可,因此可考虑到 双曲线定义及余弦定理求出 r1r2,体现了数学中 的整体思想.
(2)本题由 θ=60°、90°、120°时的△F1MF2 面积的 值的变化猜想到随 θ 的增大面积减小的事实,进 而要求进行证明,这是一种很重要的题型,同时
也体现了运用由特殊到一般的思想解决问题的方
法,要注意认真体会. (3)双曲线xa22-by22=1(a>0,b>0)中的焦点三角形

△F1MF2与椭圆类似,集中了双曲线的定义、 余弦定理、三角恒等变换等知识. 自我挑战 2 已知双曲线x92-1y62 =1 的左、右焦点 分别是 F1、F2,若双曲线上一点 P 使得∠F1PF2 =90°,求△F1PF2 的面积. 解:
如图所示,由x92-1y62 =1,得 a=3,b=4,∴c=5.

由双曲线定义及勾股定理得|PF1|-|PF2|=±6, |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=102. ∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=100, ∴|PF1|·|PF2|=100-2 36=32,
∴S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|=16.

方法感悟
1.遇到动点到两定点距离之差问题,要联想应 用双曲线定义解题,点P在双曲线上,有||PF1|- |PF2||=2a,充分利用这一隐含条件,是解决问 题的重要技巧. 2.求双曲线的标准方程主要有:一是没有给出 坐标系,必须建立坐标系,根据双曲线的定义确 定出方程;二是给出标准形式,要先判断出焦点 的位置,如果焦点不确定要分类讨论,采用待定 系数法求方程或用形如mx2+ny2=1(mn<0)的形 式求解.

3.应用双曲线的定义解题,要分清是双曲线的 哪一支,是否两支都符合要求,结合已知条件进 行判断.


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