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新疆乌鲁木齐地区2016届高三第一次诊断性测验数学理试题(WORD版,含解析)


乌鲁木齐地区 2016 年高三年级第一次诊断性测试 理科数学(问卷)
(卷面分值:150 分 考试时间:120 分钟)
注意事项: 1.本卷分为问卷(4 页)和答卷(4 页) ,答案务必书写在答卷(或答题卡)的指定位置上. 2.答卷前,先将答卷密封线内(或答题卡中的相关信息)的项目填写清楚.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 M ? ?x | 0 ? x ? 2?,N ? ?x | x ? 1 ? ,则 M ? ?CR N ? ? A、 (0,1] 2.复数 B、 [0,1) C、 (1,2) c、 [1,2)

2i 的共轭复数为 1? i A. 1+i B. -1+i

C. -1-i

D.

1-i

3.设 ?,?,? 为平面, m, n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是 A. ? ? ?,? ? ? =n, m ? n C. B. ? ? ? =m, ? ? ? , ? ? ? D.

? ? ? ,? ? ? ,m ? ?

n ? ?, n ? ? , m ? ?

4.等差数列 ?an ? 中, a3 ? 5,S6 ? 36, 则 S9 ? A. 17 B. 19 C. 81 D. 100

5.若函数 f ( x) ? cos 2x ? a sin x 在区间 ? A.

?? ? ? , ? 上是减函数,则 a 的取值范围是 ?6 2?
D.

4? ? 2,

B.

? ??, 2?

C.

? ??, 4?

? ?? ?4,
? ? 1? 2? ? ? 1 ? 2 ?

6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是 ?1, 0, ?, 1? ?1, 0,1? , ?1,1, 0 ?, ? 0, , 画该四面体三视图中的正视图时,以 yOz 平面为投影面,则得到的正视图可以为

1

7,执行如图的程序框图( n ? N ),则输出的 S= A. a ? aq ? ? ? aqn?1

?

B.

a (1 ? q n ) 1? q

C. a ? aq ? ? ? aqn

D.

a(1 ? q n +1 ) 1? q

8.凸四边形 OABC 中,OB ? (2,, 4) AC ? (?21) , 则该四边形的面积 为 A.

??? ?

??? ?

5

B.

2 5

C. 5

D. 10

9.过抛物线的焦点 F 的直线,交抛物线于 A,B 两点,交准线于 C 点,若 AF ? 2FB, CF ? ? FB, ,则

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??
A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 10.设 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ,已知 f ? a ? ? f ?b? (a ? b) ,则 A. a ? b ? 0 11.P 是双曲线 B. a ? b ? 1 C. 2a ? b ? 0 D.

2a ? b ? 1

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上的一点, F1,F2 是焦点, PF1 与渐近线平行, ?F1PF2 ? 90? a 2 b2

则双曲线的离心率为 A.

2

B.

3

C. 2

D.

5

12. 设函数 f ( x ) 在 R 上存在导函数 f ?( x ) , 对任意 x ? R , 都有 f ( x) ? f (? x) ? x2 , 且 x ? ? 0, +??
2 时, f ?( x) ? x ,若 f (2-a)-f (a) ? 2 ? 2a ,则实数 a 的取值范围是

A.

? ?? ?1,

B.

? ??,1?

C.

? ??, 2?

D.

? ?? ?2,

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题 ? 第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22 题 ? 第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

2

13.若 ? x ?

? ?

a? ? 的二项展开式的常数项是 84,则实数 a = x2 ?

9

.

? x ? 1, ? 14.已知实数 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 3, ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, ?
15.掷两枚骰子,则向上的点数之和小于 6 的概率为 . 16.设数列 ?an ? 的各项均为正数,其前 n 项和 Sn 满足 S n = (an ? 3an ? 4) ,则 an =
2

.

1 6

.

三、解答题:第 17~21 题每题 12 分,解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 17.(本题满分 12 分) 已知函数 f (x) ? sin ? 2x+

? ?

??

?? ? ? -cos ? 2 x+ ? - 3 cos 2 x, x ? R. 3? 6? ?

(Ⅰ)求 f (x) 的单调递增区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中, B 为锐角且 f ( B) ? 3, AC ? 3 ,求 ?ABC 周长的最大值.

18.如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC , E , F 分别为 BB1,AC 1 1 的中点. (Ⅰ)求证: EF / / 平面A 1BC (Ⅱ)若 AB ? AC ? AA 1 ? 1 ,求二面角 A 1 ? BC ? F 的平面角的余弦值.

3

?1.6t , 0 ? t ? 2 ? (t)= ?2.7t , 2 ? t ? 3.5 (t 为用水量,单位:吨;W 为水 19.某城市居民月生活用水收费标准为 W ?4.0t ,3.5 ? t ? 4.5 ?
费,单位:元) ,从该市抽取的 100 户居民的月均用水量的频率分布直方图如图所示.

(I)求这 100 户居民的月均用水量的中位数及平均水费; (II)连续 10 个月,每月从这 100 户中随机抽取一户,若抽到的用户当月所交水费少于 9.45 元,则 对其予以奖励,设 X 为获奖户数,求 X 的数学期望.

20.已知椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过焦点 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 2 a b 2
2 1 3 3

(- ,) AB 的中点为 M .
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过点 A 与椭圆只有一个公共点的直线为 l1 ,过点 F 与 AF 垂直的直线为 l2 ,求证 l1 与 l2 的交点在 定直线上.

21.已知函数 f ( x) ? e ? ln ? x ?1? .
x

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 ? 0,f (0) ? 处的切线方程; (Ⅱ)当 x ? 0 时, f ( x) ? ax ? 1 成立,求实数 a 的取值范围.

4

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,PA 是圆的切线,A 是切点,M 是 PA 的中点,过点 M 作圆的割线交圆于点 C,B,连接 PB,PC 分别交圆于点 E,F,EF 与 BC 的交点为 N. 求证: (Ⅰ) EF / / PA; (Ⅱ) MA ? NE ? MC ? NB .

23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

0) ,AP 的中点为 Q. 点 P 是曲线 ? =2 ? 0 ? ? ? ? ? 上的动点, A(2,
(Ⅰ)求点 Q 的轨迹 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若 C 上点 M 处的切线斜率的取值范围是 ? ? 3, ?

? ?

3? ? ,求点 M 横坐标的取值范围. 3 ?

24.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? 2 x ? b (a ? 0, b ? 0) 的最小值为 1. (Ⅰ)求 a ? b 的值 (Ⅱ)求

1 2 ? 的最小值. a b

5

乌鲁木齐地区 2016 年高三年级第一次诊断性测验

理科数学参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1~5 ADDCB 6~10 ACCAA 11~12 DB

A. 1.选 A .【解析】∵ ?R N ? x x ? 1 ,∴ M ? ? R N ? ? 0,1? ,故选
2.选 D.【解析】∵ z ?

?

?

?

?

2i ?1 ? i ? 2i ? ? 1 ? i ,∴ z ? 1 ? i ,故选 D. 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ?

3.选 D. 【解析】∵ n ? ? , m ? ? ,∴ m ∥ n ,又 n ? ? ,∴ m ? ? ,故选 D.

? a3 ? a1 ? 2d ? 5 ?a1 ? 1 9 ? 8d ? ? 81 ,故选 C . 4.选 C .【解析】 ? ,得 ? ,∴ S9 ? 9a1 ? 6 ? 5d 2 6a1 ? ? 36 ?d ? 2 ? ? 2
5.选 B .【解析】∵ f ? x ? ? cos 2x ? a sin x ? 1 ? 2sin 2 x ? a sin x ,令 t ? sin x ,

?? ? ? ?1 ? ?1 ? , ? 得 t ? ? ,1? ,依题意有 g ?t ? ? ?2t 2 ? at ? 1在 t ? ? ,1? 是减函数, ?6 2? ?2 ? ?2 ? a 1 ∴ ? ,即 a ? 2 ,故选 B . 4 2
由 x ?? 6.选 A.【解析】由图可得,故选 A. 7.选 C .【解析】执行第一次循环体运算,得 i ? 1, s ? a ; 执行第二次, i ? 2, s ? a ? aq ;
n 执行第 n ? 1 次, i ? n ? 1, s ? a ? aq ? ?aq ,故选 C .

8.选 C .【解析】∵ OB ? AC ? 0 ,∴ OA ? BC ,∴ S OABC ? 9.选 A .【解析】如图, AF ? 2 FB ,∴ AA1 ? 2 BB1 ,

??? ? ??? ?

1 OB AC ? 5 ,故选 C . 2

∴ BB1 是 ?CAA1 的中位线,∴ CB ? AB ? 3 FB , CF ? 4 FB , ∴ ? ? ?4 ,故选 A . 10.选 A .【解析】依题意 f

? x ? ? ln ? x ? 1? 的图像如图所示,
b 即a b? ?, ?1 ? a ? b ? 0.

由 f ?a ? ? f ?b ? , 得 ?n l ?a 1 ? ?n l?

?a ? b ? 0 ? ab ? a ? b ?
4

2

? a ? b ,即 ?a ? b ??a ? b ? 4? ? 0

b ? 0, 显然 ?1 ? a ? 0 , ∴a ?b ? 4 ? 0, ∴a ?b ? 0 , 故选 A .

6

11.选 D .【解析】 tan ? ? ∴ sin ? ? cos ? ?

b b a ,∴ sin ? ? , cos ? ? , a c c

PF2 ? PF1 F1F2 a , , ? c sin ? ? sin ? sin ?F1PF2



2a b a ? c c

?

2c ,∴ 2a ? b ,∴ e ? 5 ,故选 D . 1

12.选 B .【解析】令 g ? x ? ? f 则 g ? x ? ? g ? ?x ? ? f

?x ? ?

1 2 1 x ,则 g ? ?x ? ? f ? ?x ? ? x 2 , 2 2

? x ? ? f ? ?x ? ? x 2 ? 0 ,得 g ? x ? 为 R 上的奇函数,

∵ x ? 0 时, g ? ? x ? ? f ? ? x ? ? x ? 0 ,故 g ? x ? 在 ? 0, ??? 单调递增, 再结合 g ? 0? ? 0 及 g ? x ? 为奇函数,知 g ? x ? 在 ? ??, ??? 为增函数, 又 g ? 2 ? a ? ? g ?a ? ? f

?2 ? a?

?2 ? a? ?
2

2

? a2 ? ? ? f ?a ? ? ? 2? ?

? f ? 2 ? a ? ? f ?a ? ? 2 ? 2a ? ? 2 ? 2a ? ? 2 ? 2a ? 0
则 g ? 2 ? a ? ? g ?a ? ? 2 ? a ? a ? a ? 1 ,即 a ? ? ??,1? .故选 B . 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

a? ? r r 9?3r 13.填 1 . 【解析】 ∵ ? x ? 2 ? 的二项式展开式的通项为 Tr ?1 ? C9 ax , x ? ?
3 3 令 9 ? 3r ? 0 ,即 r ? 3 ,常数项为 T4 ? C9 a =84a3 ,
3 依题意,有 84a ? 84 ,∴ a ? 1 .

9

14.填 1 . 【解析】由约束条件确定的可行域如图所示,∴ z 的最小值为 1 . 15.填

5 .【解析】由题意知,所有基本事件有 ?1,1?, ,共 36 个,其中满足点数之 ? (6,6) ?1,2?, 18

和小于 6 的基本事件有 ?1,1?, ?1,2?, ?1,3?, ?1,4?, ? 2,1?, ? 2,2?, ? 2,3?, ?3,1? , ?3,2?

? 4,1? ,共 10 个,所以所求概率为 36 = 18 .
2 16.填 3n ? 1 .【解析】当 n ? 1 时, 6S 1 ? a1 ? 3a1 ? 4 ,

10

5

即 a1 ? 3a1 ? 4 ? 0 ,得 a1 ? 4 或 a1 ? ?1(舍).
2

由题意得: 6S n ?1 ? an ?1 ? 3an ?1 ? 4 ?①
2

6S n ? an 2 ? 3an ? 4 ?②

7

2 2 ①-②得: 6an ?1 ? an ?1 ? an ? 3an ?1 ? 3an ,即 ?an ?1 ? an ??an ?1 ? an ? 3? ? 0 ,

∵ an ? 0 ,∴ an ?1 ? an ? 3 ,∴ ?an ? 是以 4 为首项, 3 为公差的等差数列, ∴ an ? 4 ? 3? n ?1? ? 3n ?1. 三、解答题:第 17~21 题,每题 12 分,解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,说明过程或演算 步骤. 17.(12 分). 易知 f

? x ? ? sin 2x ?
?
2

?? ? 3 cos 2x ? 2sin ? 2x ? ? 3? ?
?
3 ? 2 k? ?

?2 分

(Ⅰ)由 2k? ?

? 2x ?

?
2

,解得, k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? ,其中 k ? Z 12
?6 分

∴ f ? x ? 的单调递增区间为 ? k? ? (Ⅱ)∵ f ? B ? ? 2sin ? 2 B ? ∵0 ? B ?

? ?

?
12

, k? ?

5? ? ? k ? Z? ; 12 ? ?

? ?

??

?? 3 ? ? ,又 f ? B ? ? 3 ,∴ sin ? 2 B ? ? ? 3? 3? 2 ?
?
?

2? ? ? ? ,故, 2 B ? ? ,∴ B ? 2 3 3 3 3 3 3 BC AC AB 2? AC ? ? ? A, ?2 在 ?ABC 中, ,且 C ? ? ? A ? B ? sin A sin B sin C 3 sin B

?

,∴ ?

?

? 2B ?

∴ BC ? 2sin A , AB ? 2sin ?

? 2? ? ?A ?, ? 3 ?

? 2? ? ?ABC 的周长 l ? AB ? AC ? BC ? 2sin ? ? A ? + 3 ? 2sin A ? 3 ?

?? ? ? 3sin A ? 3 cos A ? 3 ? 2 3 sin ? A ? ? ? 3 6? ?
∵0 ? A ? 故当 A ? 18.(12 分) (Ⅰ)如图,取 CC1 中点 M ,连结 EM , FM , ∵ E , F 分别是 BB1 , A1C1 的中点,∴ EM // BC , FM // A1C , ∴平面 EFM //平面 A1BC ,∴ EF // 平面 A1BC ; ?6 分

?

2? ? ? 5? ,∴ ? A ? ? , 3 6 6 6 ?

?

6

2

,即 A ?

?

3

时, ?ABC 的周长最大,最大值为 3 3 . ?12 分

8

(Ⅱ)根据题意,建立如图空间直角坐标系 A - xyz : 则 A (0,0,0), B (1,0,0),C (0,1,0), A 1(0,0,1), F (0, ,1)

1 2

????? ???? ??? ? 1 A 1B = (1,0,- 1), BC = (- 1,1,0), FC = (0, , - 1) 2
设平面 A1BC 的法向量 n1 = ( x1 , y1 , z1 ) , ∵ A1B = (1,0,- 1), BC = (- 1,1,0),

???? ?

????

??? ? ?n1 ? AB ? 0 ì x- z=0 ? ? 由? ,得 ? ,令 z = 1 ,得 x = 1, y = 1 ,∴ n1 = (1,1,1) ??? ? í ? - x+ y=0 n ? BC ? 0 ? ? ? ? 1
n1 ×n2 5 3 同理可得平面 FBC 的一个法向量 n2 = (2,2,1) ,∴ cos n1 , n2 = ?? ? ?? ? = 9 n1 ×n2
所以二面角 A1 ? BC ? F 的余弦值为 19.(12 分) (Ⅰ)由频率分布直方图可知,月平均用水量的中位数为 2.02(t ) ;根据物价部门对城市居民月

5 3 . 9

?12 分

0 ?t ? 2 ?1.6 ? 2 ? t ? 3.5 平均用水的定价为W ?t ? ? ? 2.7 ? 4.0 3.5 ? t ? 4.5 ?
平均水价为:

,其中W ?t ? 单位是元, t 单位为吨.知

? ?? 0.08 ? 0.25 ? 0.16 ? 0.75 ? 0.30 ?1.25 ? 0.44 ?1.75 ? ?1.6 ?

? 0.50 ? 2.25 ? 0.28 ? 2.75 ? 0.12 ? 3.25? ? 2.7 ? ? 0.08 ? 3.75 ? 0.04 ? 4.25? ? 4? ? ? 0.5
? 5.05275 (元)
?6 分 (Ⅱ)依题意知这 100 户中所交水费价格少于 9.45 元,即每月用水量少于 3.5 吨.这样的用户占 94% ,则每月从这 100 户中随机抽取 1 户居民获奖的概率为 0.94 ,则连续 10 个月抽取 的获奖户数 X 服从二项分布 X ? B ?10,0.94? , 所以 E ? X 20.(12 分) (Ⅰ)由题意得,焦点为椭圆的左焦点,即 F ? ?c ,0 ? 设弦与椭圆的交点为 A ? x 1, y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,

? ? 10 ? 0.94 ? 9.4 .

?12 分

代入椭圆方程得

x 12 y 12 ? ? 1 ?① a2 b 2

x 22 y 22 ? 2 ? 1 ?② a2 b

9

①式 ? ②式,得 ?

b 2 y 12 ? y 22 ?③ ? a 2 x 12 ? x 22

∵点 M 平分弦 AB ,弦经过焦点,

1 x ?x2 2 y ? y 2 1 y 2 ? y1 ?? , 1 ? , ∴ 1 ? 3 , 2 2 3 2 3 x 2 ? x1 ? ?c 3

b2 代入③式得, ? 2 ? a

2 1 ? b2 1 3 3 ,即 2 ? , 2? 4 ? 2 a ? ? 6 ?c ? ? ? ??? ?c ? 3? 3 ? 3 ? ?

又∵

1 2 1 1 c 2 2 2 2 2 2 , a ? b ? c ,∴ c ? b ? a ,∴ ? , ? 2? 2 2 a 2 ? 6 ?c ? ? 3? ?

即c ? 1, a ?

2,

∴椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 2

?5 分

(Ⅱ)设点 N 坐标为 ? x 1, y 1 ? ,由对称性,不妨设 y 1 ? 0 ,由

x2 ? y 2 ? 1 得椭圆上半部分的方 2


程为 y ? 1 ?

1 x2 ,y?? ? 2 2 ?x 1 , 2y 1

1 x 1? 2
2

? ? ?x ? ?

?x x2 2 1? 2

∴ k 切=

?x 1 2 1? x 12 2

?

∴ N 点处的切线方程为 y ? y 1 ?

?x 1 ?x ? x 1 ? 2y 1

?①

过 F 且垂直于 FN 的直线方程为 y ? ?

x 1 ?1 ? x ? 1? ?② y1

由①②两式,消去 y 得 y 1 ? ?

x 1 ?1 x ? x ? 1? ? 1 ? ? x ? x 1 ? ?③ y1 2y 1

其中

x 12 ? y 12 ? 1 ,代入③式,可得 x ? ?2 2
?12 分

∴点 P 在定直线 x ? ?2 上.

10

21.(12 分) (Ⅰ) f

? 0? ? e 0 ? ln ?0 ?1? ? 1, f ? ? x ? ? e x ? x ? 1 , f ? ? 0 ? ? e 0 ? 0 ? 1 ? 2 ? x ? 在点 ?0, f ?0?? 处的切线方程为: y ?1 ? 2 ? x ? 0? ,即 y ? x ? ? ax ?1,则 g ? ? x ? ? f ? ? x ? ? a ? e x ? x ? 1 ? a
x

1

1

∴y ?f

? 2x ? 1 .
?5 分

(Ⅱ)令 g ? x ? ? f

1

令 h ?x ? ? e ?

1 1 ,则 h ? ? x ? ? e x ? , 2 x ?1 ? x ? 1?

x 当 x ? 0 时, e ? 1 , 0 ?

1

? x ? 1?

2

? 1 ,∴ h ? ? x ? ? 0 ,

∴函数 y ? h ? x ?? x ? 0? 为增函数,∴ h ? x ? ? h ? 0? ? 2 ,∴ g ? ? x ? ? 2 ? a ī)当 a ? 2 时, 2 ? a ? 0 ,∴当 a ? 2 时, g ? ? x ? ? 0 ∴函数 y ? g ? x ?? x ? 0? 为增函数,∴ g ? x ? ? g ? 0? ? 0 故对 ?x ? 0 , f

? x ? ? ax ?1成立.
1 ?1 x ?1

īī)当 a ? 2 时, a ? 1 ? 1 ,由 x ? 0 时 0 ?

g ??x ? ? f ??x ? ? a ? e x ?

1 ? a ? e x ?1? a , x ?1

当 x ? 0,ln ?a ?1? 知 e ? 1 ? a ? 0 ,即 g ? ? x ? ? 0 ,
x

?

?

∴函数 y ? g ? x ? , x ? 0,ln ?a ?1? 为减函数, ∴当 0 ? x ? ln ?a ?1? 时, g ? x ? ? g ? 0? ? 0 从而 f

?

?

? x ? ? ax ?1 这与题意不符, ? x ? ? ax ?1 成立时,实数 a 的取值范围为 ? ??,2? .
?12 分

综上,对 ?x ? 0 , f

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,并将所选的题号下的“○”涂黑.如果多做,则按 所做的第一题记分,满分 10 分. 22.(10 分) (Ⅰ)由切割线定理,得 MA ? MC ? MB ,
2 2 而 MA ? PM ,∴ PM ? MC ? MB

11

PM MC ? , ?PMC ? ?BMP ,∴ ?PMC ∽ ?BMP ,∴ ?MPC ? ?MBP MB PM 又 ?MBP ? ?PFE ,∴ ?MPC ? ?PFE ,∴ EF ∥ PA ?5 分 (Ⅱ)∵ PM ∥ EN ,∴ ?PMC ? ?BNE ,又∵ ?MPC ? ?NBE PM NB MA NB ? ? ∴ ?PMC ∽ ?BNE ,∴ ,而 MA ? PM ,∴ , MC NE MC NE 即 MA ? NE ? MC ? NB ?10 分
∴ 23.(10 分) (Ⅰ)由 ? ? 2 ? 0 ? ? ? ? ? ,得 x 2 ? y 2 ? 4 ? y ? 0? 设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x, y ? , 则x?

x1 ? 2 y , y ? 1 ,即 x1 ? 2 x ? 2, y1 ? 2 y ,代入 x12 ? y12 ? 4 ? y ? 0? , 2 2
2 2 2

2 得 ? 2 x ? 2 ? ? ? 2 y ? ? 4 ,∴ ? x ? 1? ? y ? 1 ? y ? 0 ? ;

?5 分

(Ⅱ)轨迹 C 是一个以 ?1,0 ? 为圆心, 1 半径的半圆,如图所示, 设 M ?1 ? cos ?,sin ? ? ,设点 M 处切线 l 的倾斜角为 ? 由 l 斜率范围 ? ? 3, ?

? ?

2? 5? 3? ?? ? , ? ,可得 3 6 3 ?

而? ? ? ?

?
2

,∴

?
6

?? ?

?
3

,∴

3 2? 3 , ? 1 ? cos ? ? 2 2
?3 2? 3 ? ?. 2 ? ?2
?10 分

所以,点 M 横坐标的取值范围是 ? , 24.(12 分)

??3 x ? a ? 2b, x ? ?b ? (Ⅰ) f ? x ? ? ? x ? a ? 2b, ?b ? x ? a ,其图形如图所示 ?3 x ? a ? 2b, x ? a ?
因此, f ? x ? 的最小值是 f ? ?b ? ? a ? b ,依题意,有 a ? b ? 1 ; (Ⅱ) a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? 1 , ?5 分

1 2 b 2a b 2a ?1 2? ? ? ? a ? b? ? ? ? ? 3 ? ? ? 3? 2 ? ? 3? 2 2 a b a b a b ?a b?
b 2a ? 时,上式取等号,又 a ? b ? 1 , a b 1 2 故,当且仅当 a ? 2 ?1, b ? 2 ? 2 时, ? 有最小值 3 ? 2 2 . ?10 分 a b
当且仅当 以上各题的其他解法,限于篇幅,从略,请酌情给分.

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