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【解析】山东省济南市2012届高三5月模拟考试理科数学试题


2012 年济南市高三 5 月份模拟考试试题 数学(理工类)
第Ⅰ 卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1、若全集 U ? R,集合 A ? {x 2 x ? 3 ? 5} , B ? { x | y ? log 3 ( x ? 2) } ,则 C ( A ? B ) ? A. x x ? ?4或x ? 1

?

?

B. x x ? ?4或x ? 1

?

?

C. x x ? ?2或x ? 1

?

?

U

D. x x ? ?2或x ? 1

?

?

【解析】 A ? {x 2 x ? 3 ? 5} ? {x ? 4 ? x ? 1} ,

B ? {x y ? log 3 ( x ? 2)} ? {x x ? 2 ? 0}{x x ? ?2} , 所 以 CU ( A ? B) ? {x x ? 1或x ? ?2} ,选 D.
【答案】D 2.已知非零向量 a 、 b 满足向量 a ? b 与向量 a ? b 的夹角为 A. a ? b B. | a |?| b | C. a ? b

A ? B ? {x ? 2 ? x ? 1} , 所 以

?
2

,那么下列结论中一定成立的是 D. a ? b

【解析】因为向量 a ? b 与向量 a ? b 的夹角为

?
2

,所以 (a ? b) ? (a ? b) ,即 (a ? b) ? (a ? b) ? 0 ,所以

a ? b ? 0 ,即 a ? b ,选 B.
【答案】B 3. S n 是数列 {an } 的前 n 项和,则“ S n 是关于 n 的二次函数”是“数列 {an } 为等差数列”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2

2

【 解 析 】 若 S n 是 关 于 n 的 二 次 函 数 , 则 设 为 S n ? an 2 ? bn ? c(a ? 0) , 则 当 n ? 2 时 , 有

a n ? S n ? S n ?1 ? 2an ? b ? a ,当 n ? 1 , S1 ? a ? b ? c ,只有当 c ? 0 时,数列才是等差数列,若数列为
n(n ? 1)d n 2 d ? d ? (a1 ? )n ,当 d ? 0 为二次函数,当 d ? 0 时,为一次函数, 2 2 a 所以“ S n 是关于 n 的二次函数”是“数列 {an } 为等差数列”的既不充分也不必要条件,选 D.
等差数列,则 S n ? na1 ? 【答案】D 4、如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同簇函数”. 给出下列函数: ① f ( x) ? sin x cos x ;

); 4 ③ f ( x) ? sin x ? 3 cos x ; ④ f ( x) ? 2 sin 2 x ? 1 .
其中“同簇函数”的是( A.①② B.①④ ) C.②③ D.③④

② f ( x) ? 2sin( x ?

?

【 解 析 】 若 为 “ 同 簇 函 数 ” , 则 振 幅 相 同 , 将 函 数 进 行 化 简 ① f ( x) ? sin x cos x ? ③ f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2 sin( x ? 【答案】C
-1-

?
3

1 sin 2 x , 2

,所以②③振幅相同,所以选 C. )

5.若双曲线 A. (1, 2)

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 y ? 3 x 无交点,则离心率 e 的取值范围 a 2 b2
B. (1, 2] C. (1, 5) D. (1, 5]

【解析】因为双曲线的渐近线为 y ? ? 两渐近线之间,所以有 所以 1 ? e ? 2 ,选 B. 【答案】B

b x ,要使直线 y ? 3 x 与双曲线无交点,则直线 y ? 3 x ,应在 a

b ? 3 ,即 b ? 3a ,所以 b 2 ? 3a 2 , c 2 ? a 2 ? 3a 2 ,即 c 2 ? 4a 2 , e 2 ? 4 , a

6.一个几何体的三视图如右图所示,则这个几何体的体积等于( A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

)

【解析】 由三视图可知这是一个底面是直角梯形,高 AE ? 2 ,的四棱锥。底 面 是 一 个 直 角 梯 形 , 上 底 CD ? 2 , 下 底 BE ? 4 , 梯 形 的 高 BC ? 2 。 所 以 四 棱 锥 的 体 积 为

1 1 ? (2 ? 4) ? 2 ? 2 ? 4 ,选 C. 3 2
【答案】A 7.已知实数 x ? [0,8] ,执行如右图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 55 的概率为( )

-2-

4 5 【 解 析 】 第 一 次 运 行 , x ? 2 x ? 1 , 第 二 次 为 x ? 2(2 x ? 1) ? 1 ? 4 x ? 3 , 第 三 次 为 x ? 2(4 x ? 3) ? 1 ? 8 x ? 7 ,第四次输出 8 x ? 7 ,又 8 x ? 7 ? 55 ,解得 x ? 6 ,所以输出的 x 不小于 54 的 8?6 2 1 概率为 ? ? ,选 A. 8 8 4
A. B. C. D. 【答案】A 8. 函数 f(x)=log 2 |x|,g(x)=-x2+2,则 f(x) ·g(x)的图象只可能是( )

1 4

1 2

3 4

【解析】因为函数 f ( x), g ( x) 都为偶函数,所以 f ( x) ? g ( x) 也为偶函数,所以图象关于 y 轴对称,排除 A,D, f ( x) g ( x) ? (? x 2 ? 2) log 2 x ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) g ( x) ? 0 ,排除 B,选 C. 【答案】C 9.已知 ? 、 ? 是三次函数 f ( x) ?

b?3 的取值范围是 a?2 2 2 A. (??, ) B. ( ,1) 5 5

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx(a, b ? R) 的两个极值点,且 ? ? (0,1), ? ? (1,2) ,则 3 2

2 5 2 【解析】因为函数有两个极值,则 f ' ( x) ? 0 有两个不同的根,即 ? ? 0 ,又 f ' ( x) ? x ? ax ? 2b ,又 ? f ' ( 0) ? 0 ?2b ? 0 b?3 ? ? 的几何意义是指动点 P (a, b) 到定 ? ? (0,1), ? ? (1,2) ,所以有 ? f ' (1) ? 0 ,即 ?1 ? a ? 2b ? 0 。 ? f ' (2) ? 0 ?4 ? 2a ? 2b ? 0 a ? 2 ? ?
C. (1, ??) D. (??, ) ? (1, ??)

-3-

点 A(2,3) 两点斜率的取值范围,做出可行域如图, 线经过 AB 时,斜率最小,此时斜率为 k ?

,由图象可知当直

k?

0?3 2 b?3 ? 1 ,所以 ? ? 1 ,选 B. ?1? 2 5 a?2
2

1? 3 2 ? ,直线经过 AD 时,斜率最大,此时斜率为 ?3?2 5

【答案】B 10.过抛物线 y ? 2 px 焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点,则 ?ABC 为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.不确定 D.钝角三角形

【 解 析 】

, 设 过

A,B

的 坐 标 为

( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) , 则

( y1 y 2 ) 2 p2 1 1 OA ? OB ? ( x1 , y1 )( x 2 , y 2 ) ? x1 x1 ? y1 y 2 ? ? y1 y 2 ? ? p2 ? ? p2 , 所以当 ? p 2 ? 0 , 2 2 4 4 4p 4p
1 1 , OA ? OB ? 0 ,此时 OA ? OB ,三角形为直角三角形,当 p 2 ? 时, OA ? OB ? 0 ,三角 4 4 1 形为钝角三角形,当 0 ? p 2 ? 时, OA ? OB ? 0 ,三角形为锐角三角形,所以三角形的形状不确定,选 4
即 p2 ? C. 【答案】C 11. 将 1,2,3,?,9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依 次 增 大 , 当 3 , 4 固 定 在 图 中 的 位 置 时 , 填 写 空 格 的 方 法 数 为

A.6 种

B.12 种

C.18 种

D.24 种

-4-

【解析】根据数的大小关系可知,1,2,9 的位置是固定的, ,则剩余 5,6,7,8 四个数字,而 8 只能放在在 A,B 两个位置,若 8 放在 B 处,,则 C 处可以从 5,6,7 三个数字中选一个放在 C 处,剩余两个按 照大小放在 D,A 处,此时共有 3 种,同理,若 8 放在 A 处,则可以从 5,6,7 三个数字中选一个放在 D 处, 剩余两个按照大小放在 B,C 处,此时也有 3 种,所以共有 6 种填法,选 A. 【答案】A
' 12.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 ( x ? 1) f ( x) ? 0 ,且 y ? f ( x ? 1) 为偶函数,当 x1 ? 1 ? x2 ? 1 时,有

A. f (2 ? x1 ) ? f (2 ? x 2 ) C. f (2 ? x1 ) ? f (2 ? x2 )

B. f (2 ? x1 ) ? f (2 ? x2 ) D. f (2 ? x1 ) ? f (2 ? x2 )

【解析】①若 f ( x) ? c ,则 f ' ( x) ? 0 ,此时 ( x ? 1) f ' ( x) ? 0 和 y ? f ( x ? 1) 为偶函数都成立,此时当

x1 ? 1 ? x 2 ? 1 时,恒有 f (2 ? x1 ) ? f (2 ? x 2 ) 。 ②若 f (x) 不是常数,因为函数 y ? f ( x ? 1) 为偶函数,所以 y ? f ( x ? 1) ? f (? x ? 1) ,即函数 y ? f (x) 关于 x ? 1 对称, 所以 f (2 ? x1 ) ? f ( x1 ),f (2 ? x 2 ) ? f ( x 2 ) 。 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 , 当 此时函数 y ? f (x) 单调递减,当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,此时函数 y ? f (x) 单调递增。 x1 ? 1, x 2 ? 1 ,则由 x1 ? 1 ? x 2 ? 1 , 若
得 x1 ? 1 ? x 2 ? 1 ,即 1 ? x1 ? x 2 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 同理若 x1 ? 1, x 2 ? 1 ,由 x1 ? 1 ? x 2 ? 1 ,得

? ( x1 ? 1) ? ?( x 2 ? 1) ,即 x 2 ? x1 ? 1 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,若 x1 , x 2 中一个大于 1,一个小于 1,不妨 设 x1 ? 1, x 2 ? 1 ,则 ? ( x1 ? 1) ? x 2 ? 1 ,得 1 ? 2 ? x1 ? x 2 ,所以 f (2 ? x1 ) ? f ( x 2 ) ,即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , 综上有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,即 f (2 ? x1 ) ? f (2 ? x 2 ) ,选 A.
【答案】A

第Ⅱ 卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.
2n n 13. i 是虚数单位,能使得 (1 ? i ) ? ?2 ? i 成立的成立的最小正整数是 2n n n n n n



【解析】由 (1 ? i ) ? ?2 ? i ,得 (2i ) ? 2 ? i ? ?2 ? i ,所以 i n ? ?i ,即 n ? 4k ? 3, k ? N , 所以最小的正整数为 3。 【答案】3 14.已知函数 f ( x) ? 3 x ? 2 x ? 1 ,若
2

?

1

?1

f ( x)dx ? 2 f (a ) (a ? 0) 成立,则 a =________.

1 【解析】因为?1 f(x)dx=?1 (3x2+2x+1)dx=(x3+x2+x)|1 1=4,所以 2(3a2+2a+1)=4? a=-1 或 a=3. -

?-1

?-1

【答案】

1 3

15. 在 ?ABC 中, A、 C 所对的边为 a, b, c , a, b, c 成等差数列, 角 B、 若 则角 B 的最大值是_____________
2 2 【 解 析 】 因 为 a, b, c 为 等 差 数 列 , 所 以 a ? c ? 2b , (a ? c) ? 4b , 即 a 2 ? 2ac ? c 2 ? 4b 2 ,

cos B ?

a ?c ?b ? 2ac
2 2 2

a2 ? c2 ?

a 2 ? 2ac ? c 2 3(a 2 ? c 2 ) ac ? 2 2 4 4 2 ? 3(a ? c ) ? 1 ? 2ac 2ac 8ac 4
-5-

?

3 ? 2ac 1 1 ? ? ? ? ,所以 0 ? B ? ,所以最大值为 . 8ac 4 2 3 3

【答案】

?

3

16. 下列正确命题的序号是____________ (1) m ? ?2 ”是直线 (m ? 2) x ? my ? 1 ? 0 与直线 (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 相互垂直的必要不充分条件 “ (2) ?a ? R ,使得函数 y ?| x ? 1 | ? | x ? a | 是偶函数

(3)不等式:

1 1 1 ?1 ≥ ? , 2 1 2

1 ? 1? 1 ?1 1? 1 ? 1 1? 1 ?1 1 1? ? ?1 ? ? ≥ ? ? ? ? , ? ?1 ? ? ? ≥ ? ? ? ? ? ,?, 3 ? 3? 2 ? 2 4? 4 ? 3 5? 3 ? 2 4 6?

由此猜测第 n 个不等式为
n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? )≥ ( ? ? ??? ) n ?1 3 5 2n ? 1 n 2 4 6 2n

2 ? ? (4)若二项式 ? x ? 2 ? 的展开式中所有项的系数之和为 243 ,则展开式中 x ?4 的系数是 40 x ? ? 1 3 【 解 析 】 当 m ? ?2 时 , 两 直 线 为 y ? 和 x ? ? , 此 时 两 直 线 垂 直 , “ m ? ?2 ” 是 直 线 2 4

,所以(1)错误,所以 (m ? 2) x ? my ? 1 ? 0 与直线 (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 相互垂直的充分不必要条件,

当 a ? ?1 时, y ? x ? 1 ? x ? 1 为偶函数,所以(2)正确,由归纳推理可知, (3)正确,令 x ? 1 ,则得所
k 有 项 系 数 为 3 n ? 243 , 解 得 n ? 5 , 二 项 式 的 通 项 公 式 为 Tk ?1 ? C 5 x 5? k (

2 k ) ? C 5k x 5?3k 2 k , 令 2 x

3 3 5 ? 3k ? ?4 ,得 k ? 3 ,所以 T4 ? C 5 x ?4 2 3 ,所以系数为 C 5 2 3 ? 80 ,所以(4)错误,正确的为(2) (3)。

【答案】(2) (3) 三、解答题:本大题共 6 个小题.共 74 分. 17. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1)求实数 a, b 的值; (2)求函数 f (x) 的周期及单调增区间. 解: (1) ? 函数 f ( x) ?

3a sin x ? b cos( x ?

?

? 1 7? ) 的图象经过点 ( , ), ( ,0). 3 3 2 6

3a sin x ? b cos( x ?

?

? 1 7? ) 的图象经过点 ( , ), ( ,0), 3 3 2 6

? 3 1 a?b ? ? 3? ? 2 2 ------3 分 ?? ?? 3 a ? 3 ? 0 ? 2 2 ?
解得: a ? 1, b ? ?1 ------6 分 (2)由(1)知: f (2 x) ?

3 sin 2 x ? cos(2 x ?

?
3

)?

函数 f(x)的周期 T ? ?

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin( 2 x ? ) 2 2 6

(10 分)

π π π π 2π 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,解得 2kπ - ≤2x≤2kπ + 2 6 2 3 3

k∈Z.

-6-

即函数的增区间 ?k? ?

? ?

?
6

,2k? ?

??
3? ?

k∈Z.

(12 分)

18.(本题满分 12 分) 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情 况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图), 已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1: 2 : 3 ,其中第 2 小组的频数为 12 . (1)求该校报考飞行员的总人数; (2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学 中(人数很多)任选三人,设 X 表示体重超过 60 公斤的学生人数,求 X 的分布列和数学期望. 18.解: (1)设报考飞行员的人数为 n ,前三小组的频率分别为 p1 , p 2 , p3 ,则由条件可得:

p2 ? 2 p1 ? ? p3 ? 3 p1 解得 p1 ? 0.125, p 2 ? 0.25, p3 ? 0.375 ??4 分 ? ? p ? p ? p ? (0.037 ? 0.013) ? 5 ? 1 2 3 ? 1 12 又因为 p 2 ? 0.25 ? ,故 n ? 48 ???????????6 分 n
(2) 由(1)可得,一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为 p ? p3 ? (0.037 ? 0.013) ? 5 ?
k 所以 x 服从二项分布, p ( x ? k ) ? C 3 ( ) k ( ) 3? k

5 ??8 分 8

5 8

3 8

? 随机变量 x 的分布列为:

x
p
则 Ex ? 0 ?

0

1

2

3

27 512

135 512

225 512

125 512
????????12 分

27 135 225 125 15 ? 1? ? 2? ? 3? ? 512 512 512 512 8 5 15 (或: Ex ? 3 ? ? ) 8 8
19、 (本题满分 12 分) 在 斜 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , 侧 面

ACC1 A1 ?面ABC



AA1 ? 2a , A1C ? CA ? AB ? a , AB?AC , D为AA1中点 . (1)求证: CD?面ABB1 A1 ;
(2)在侧棱 BB1 上确定一点 E ,使得二面角 E ? A1C1 ? A 的大小为 19.(1)证:? 面ACC1 A1 ?面ABC , AB?AC

?
3

.

? AB?面ACC1 A1 ,即有 AB?CD ; 又 AC ? A1C , D 为 AA1 中点,则 CD?AA1 ? CD?面ABB1 A1 ???????????4 分 (2)如图所示以点 C 为坐标系原点, CA 为 x 轴, CA1 为 z 轴, 建立空间直角坐标系 C ? xyz ,则有 A(a,0,0), B(a, a,0), A1 (0,0, a), B1 (0, a, a)
-7-

C1 (?a,0, a ) ,设 E ( x, y, z ) ,且 BE ? ? BB1 ,即有 ( x ? a, y ? a, z ) ? ? (?a,0, a) , 所以 E 点坐标为 ((1 ? ? )a, a, ?a ) . ???????????7 分
由条件易得面 A1C1 A 地一个法向量为 n1 ? (0,1,0) ?????.8 分 设平面 EA1C1 地一个法向量为 n 2 ? ( x, y, z ) ,

? ? ?n2 ?A1C1 ?? ax ? 0 ? 由? 可得 ? ?n? A1 E ?(1 ? ? )ax ? ay ? (? ? 1)az ? 0 ? ? 1 令 y ? 1 ,则有 n 2 ? (0,1, ?????????????10 分 ), 1? ?
则 cos

?
3

?

n1 ? n2 n1 n2

? 1?

1 1 (1 ? ? ) 2

?

1 3 ,得 ? ? 1 ? 2 3

BE
所以,当

? 1?

BB1

3 ? 时,二面角 E ? A1C1 ? A 的大小为 ???????12 分 3 3

20. (本题满分 12 分) 经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以 30 天计) ,第 t 天(1≤t≤30, t∈N﹢)的旅游人数 f ? t ? (万人)近似地满足 f ? t ? = 4 + ,而人均消费 g(t)(元)近似地满足 g(t)=120-|t-20|. (1)求该城市的旅游日收益 w(t)(万元)与时间 t(1≤t≤30,t∈N﹢)的函数关系式; (2)求该城市旅游日收益的最小值. (1)解: W ?t ? ? f ?t ?g ?t ? ? ? 4 ? ? 120 ? t ? 20 ???????????4 分

1 t

? ?

1? ? t?

?

100 ? ?401 ? 4t ? t ?1 ? t ? 20 ? ? =? ?????????????6 分 140 ?559 ? ? 4t ?20 ? t ? 30 ? ? t ?
(2)当 t ? ?1,20? , 401 ? 4t ?

100 100 ? 401 ? 2 4t ? ? 441 (t=5 时取最小值)???9 分 t t
140 2 所以 W(t)有最小值 W(30)= 443 ??? ? 4t 递减, t=30 时, t 3

30 因为 W ?t ? ? 559 ? 当 t ? ?20,, ? ,
11 分

所以 t ? ?1,30? 时,W(t)的最小值为 441 万元???12 分

21.已知直线 l : y ? x ? 1 , 圆O : x 2 ? y 2 ?

x2 y2 3 ,直线 l 被圆截得的弦长与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
-8-

的短轴长相等,椭圆的离心率 e ? (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程;

3 2

1 (Ⅱ) 过点 M ( 0 ,? )的动直线 l 交椭圆 C 于 A 、B 两点, 试问: 在坐标平面上是否存在一个定点 T , 3
使得无论 l 如何转动,以 A B 为直径的圆恒过定点 T ?若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由. 21.解: (Ⅰ)则由题设可知 b ? 1 , 又e ? 2分 3分

3 2

a? 2
x2 ? y2 ? 1. 2

所以椭圆 C 的方程是

??4 分
1 3

(Ⅱ)解法一:假设存在点 T(u, v). 若直线 l 的斜率存在,设其方程为 y ? kx ? , 将它代入椭圆方程,并整理,得 (18k 2 ? 9) x 2 ? 12kx ? 16 ? 0 .
12k ? ? x1 ? x2 ? 18k 2 ? 9 , ? 设点 A、B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? ? x x ? ?16 . ? 1 2 18k 2 ? 9 ?

??5 分

??? ??? 1 1 因为 TA ? ( x1 ? u, y1 ? v), TB ? ( x2 ? u , y2 ? v) 及 y1 ? kx1 ? , y2 ? kx2 ? ,
3 3

??? ??? TB 所以 TA? ? ( x1 ? u )( x2 ? u ) ? ( y1 ? v)( y2 ? v)
1 2v 1 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (u ? k ? kv)( x1 ? x2 ) ? u 2 ? v 2 ? ? 3 3 9

?

(6u 2 ? 6v 2 ? 6)k 2 ? 4ku ? (3u 2 ? 3v 2 ? 2v ? 5) 6k 2 ? 2

??8 分 ??9 分

当且仅当 TA ?TB ? 0 恒成立时,以 AB 为直径的圆恒过定点 T,
?6u 2 ? 18v 2 ? 18 ? 0, ? 所以 ?u ? 0, 解得 u ? 0, v ? 1. ? 2 2 ?3u ? 3v ? 2v ? 5 ? 0.

此时以 AB 为直径的圆恒过定点 T(0,1).

??10 分

当直线 l 的斜率不存在,l 与 y 轴重合,以 AB 为直径的圆为 x 2 ? y 2 ? 1 也过点 T(0,1). 综上可知,在坐标平面上存在一个定点 T(0,1) ,满足条件. ??12 分

解法二:若直线 l 与 y 轴重合,则以 AB 为直径的圆是 x 2 ? y 2 ? 1. 若直线 l 垂直于 y 轴,则以 AB 为直径的圆是 x 2 ? ( y ? ) 2 ?
-9-

1 3

16 . 9

??6 分

? x 2 ? y 2 ? 1, ?x ? 0 ? 由? 2 . 1 2 16 解得 ? ?y ?1 ?x ? ( y ? ) ? . 3 9 ?

由此可知所求点 T 如果存在,只能是(0,1). 事实上点 T(0,1)就是所求的点. 证明如下:

??7 分

当直线 l 的斜率不存在,即直线 l 与 y 轴重合时,以 AB 为直径的圆为 x 2 ? y 2 ? 1 ,过点 T(0,1) ; 当直线 l 的斜率存在, 设直线方程为 y ? kx ? , 代入椭圆方程, 并整理, (18k 2 ? 9) x 2 ? 12kx ? 16 ? 0. 8 得 分
12k ? ? x1 ? x2 ? 18k 2 ? 9 , ? 设点 A、B 的坐标为 A( x 1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? ? x x ? ?16 . ? 1 2 18k 2 ? 9 ?
1 3

??? ??? 因为 TA ? ( x1 , y1 ? 1), TB ? ( x2 , y2 ? 1) ,
??? ??? 4 16 TA? ? x1 x2 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? TA 3 9

?16k 2 ? 16 ? 16k 2 ? 32k 2 ? 16 ? 0. 18k 2 ? 9 ??? ??? 所以 TA ? TB ,即以 AB 为直径的圆恒过定点 T(0,1). 综上可知,在坐标平面上存在一个定点 T(0,1)满足条件. ?

??11 分 ??12 分

(22)(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? 2(?1) ln x(k ? N ), f ( x) 表示 f ( x) 导函数。
2 k ' ?

(I)求函数 f ( x) 的单调递增区间;
2 2 (Ⅱ)当 k 为偶数时,数列{ an }满足 a1 ? 1, an f ' (an ) ? an ?1 ? 3 .证明:数列{ an }中

不存在成等差数列的三项; (Ⅲ)当 k 为奇数时, 设 bn ?

1 f ? ? n ? ? n ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,证明不等式 2

?1 ? bn ? b

1

n ?1

? e 对一切正整数 n 均成立,并比较 S 2012 ? 1 与 ln 2012 的大小.

解:(I)定义域为 x x ? 0 , f ' ( x) ? 2 x ? 2( ?1) k 当 k 为奇数时, f ' ( x) ? 2 x ?

?

?

1 x

2 ? 0 恒成立, x

? f ( x)的单调递增区间为(0, ??). ??? ??? 2 分
当 k 为偶数时, f ( x) ? 2 x ?
'

2 2( x 2 ? 1) 2( x ? 1)( x ? 1) ? ? , x x x

又 x ? (0, ??) ,? x ? 0, x ? 1 ? 0 ,
- 10 -

由 f ' ( x) ? 0 , x ? 1 ,

? f ( x)的单调递增区间为(1, ??). ??? ??? 4 分
(Ⅱ) 当 k 为偶数时, f ' ( x) ? 2 x ?

2 2 , ? f ' (an ) ? 2an ? x an

2 由已知, a1 ? 1, an f ' (an ) ? an ?1 ? 3 ,? an (2an ?

2 2 ) ? an ?1 ? 3 an

2 2 2 ? 2an 2 ? 2 ? an ?1 ? 3 ,? 2an 2 ? an ?1 ? 1 ,? 2(an 2 ? 1) ? an ?1 ? 1

??an 2 ? 1? 是以 2 为公比的等比数列.
? an 2 ? 1 ? 2 ? 2n ?1 ,? an 2 ? 2n ? 1 . ??? ??? 6 分
2 2 2 2 数列{ an }中假设存在三项 am , ak , an 成等差数列,不妨设 m ? k ? n , 2 2 2 则 2ak ? am ? an ,

又 am 2 ? 2m ? 1 , ak 2 ? 2k ? 1 , an 2 ? 2n ? 1 ,

? 2(2k ? 1) ? 2n ? 1 ? 2m ? 1

? 2k ?1 ? 2n ? 2m ,? 2k ?1? m ? 2n ? m ? 1 ,
等式左边为偶数,右边为奇数,不可能成立,
2 ? 假设不成立,数列{ an }中不存在成等差数列的三项 ??? ??? 9 分

2 x 1 ' 1 1 1 1 ? bn ? f (n) ? n ? , S n ? 1 ? ? ? ? ? 2 n 2 3 n
(Ⅲ) 当 k 为奇数时, f ' ( x) ? 2 x ? 要证 ?1 ? bn ? bn?1 ? e ,即证 (1 ? ) n ?1 ? e ,两边取对数,
1

1 n

1 ??? ??? 10 分 n ?1 1 1 设 1 ? ? t ,则 n ? (t ? 1) , n t ?1 1 1 ? ln t ? 1 ? (t ? 1) ,构造函数 g (t ) ? ln t ? ? 1(t ? 1) , t t 1 1 ? x ? 1 ,? g ' (t ) ? ? 2 ? 0 , t t
即证 ln(1 ? ) ?

1 n

? g (t )在(1,?)上单调递增, (t ) ? g (1) ? 0 , + g
- 11 -

即 ln t ? 1 ? ,? ln(1 ? ) ?

1 t

1 n

1 1 ,即 ?1 ? bn ? bn?1 ? e . ??? ??? 12 分 n ?1

1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ) ?1 ? ? ?? ? 2 3 2012 2 3 2012 1 1 1 1 1 1 1 1 ,? ? ? ? ? ? ln(1 ? ) ? ? ln 2 ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ln(1 ? ) n n ?1 2 3 2012 2 3 2011 3 4 2012 ? ln 2 ? ln ? ln ? ? ? ln 2 3 2011 3 4 2012 ? ln(2 ? ? ? ? ? ) ? ln 2012 2 3 2011 1 1 1 ? ? ?? ? ? ln 2012 ??? ??? ??? 14 分 2 3 2012 S 2012 ? 1 ? (1 ?

- 12 -


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