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广东省珠海市2013届高三上学期期末考试数学(文)试题


广东珠海市 2012—2013 学年度高三第一学期期末学生学业质量监测

数学(文)试题
(3)选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1 . 已 知 集 合 M ? (?1,??) , 集 合 N ? ?x | x( x ? 2) ? 0? , 则

M ?N=
A. [0,2] C. (?1,0] B. (0,??) D. (?1,0)

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

开 始 n=12, i=1

n 是奇数? 否 n n= 2 i=i+1 n=5? 是 输出 i 结 束 (第 3 题图) 否 n=3n+1

2.已知 a,b 是实数,则“ ?

?a ? 2 ”是“ a ? b ? 5 ”的 ?b ? 3

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若某程序框图如图所示,则该程序运行 后输出的值是 A.4 B.5 C.6 D.7 4. 已知直线 l,m 和平面 α, 则下列命题正确的是 A.若 l∥m,m ? α,则 l∥α B.若 l∥α,m ? α,则 l∥m C.若 l⊥m ,l⊥α,则 m∥α D.若 l⊥α,m ? α,则 l⊥m 5.已知 i 是虚数单位,复数 A.

1 3 ? i 10 10

i = 3?i 1 3 B. ? ? i 10 10

C. ?

1 3 ? i 8 8

D. ?

1 3 ? i 8 8

6. 函数 y=sin (2x+ A.向左平移

π )的图象可由函数 y=sin 2x 的图象 4 π 个单位长度而得到 8 π D.向右平移 个单位长度而得到 4
B.向右平移

π 个单位长度而得到 8 π C.向左平移 个单位长度而得到 4

7.已知 a 、 b 均 为单位向量, (2a ? b) ? (a ? 2b) = ? A.30° B.45°

?

3 3 ? , a 与 b 的夹角为 2
D.150°

C.135°

8.在递增等比数列{an}中 , a 2 ? 2, a 4 ? a3 ? 4 ,则公比 q = A.-1 B.1 C.2 D.

1 2

?x ? y ? 5 ? 0 ? 9.若实数 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 0 ?x ? 3 ?
A.6 B.4

则 2x+4y 的最小值是 C. ? 2 D. ? 6

10.对于直角坐标平面内的任意两点 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ,定义它们之间的一种“距离” : ‖AB‖= x1 ? x2 ? y1 ? y2 ,给出下列三个命题: ①若点 C 在线段 AB 上,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖; ②在△ABC 中,若∠C=90°,则‖AC‖2+‖CB‖2=‖AB‖2; ③在△ABC 中,‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D.3 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只 能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. (一)必做题(11-13 题) 11.某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团) :
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

高一 高二

合唱社 45 15

粤曲社 30 10

武术社

a
20

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查,按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人,结果合唱社被抽出 12 人,则这三个社团人数共有_______________. 12.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 C=

? , 3

y B A F1 O F2 x

b ? 3 ,若△AB C 的面积为

3 3 ,则 c = 2



x2 y 2 13.如图,F1,F2 是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的左、 a b 右焦点,过 F1 的直线与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点. 若

(第 13 题图)

| AB | : | BF2 | : | AF2 |=3 : 4 : 5,则双曲线的离心率 为 . (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ?

?x ? t ? 2 ,(t 为参 ? y ? 1 ? 2t

数)与曲线 C2 : ?

? x ? 3 cos ? ,( ? 为参数)相交于两个点 A 、 B ,则线段 AB 的长 ? y ? 3 sin ?

为 . 15. (几何证明选讲选做题)如图,PAB、PCD 为⊙ 的两条割线, O 若 PA=5,AB=7,CD=11,AC=2,则 BD 等于 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

D

C O P A B (第15题图)

设向量 a= (2, sin ? ) ,b= (1, cos ? ) ,θ 为锐角. 13 (1)若 a· 6 ,求 sinθ+cosθ 的值; b= π (2)若 a∥b,求 sin(2θ+3)的值.

17. (本小题满分 12 分) 某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级.现从一批该零件中随机抽取 20 个,对其 等级进行统计分析,得到频率分布表如下: 等级 频率

0.05

2 m

3 0.15

4

5
0.35

n

(1)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m, n ; (2)在(1)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个 零件等级恰好相同的概率.

18. (本小题满分 14 分) 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形, 侧视图为等腰直角三角 形,俯视图为直角梯形,

(1)求证: BC // 平面C1 B1 N ; (2)求证: BN ? 平面C1 B1 N ; (3)求此几何体的体积. 4 8 主视图 8 4 4 俯视图 8 19. (本题满分 14 分) 已知椭圆 C :

侧视图

x2 y2 左、 上顶点 A(0, b) , ? ? 1(a ? b ? 0) , 右两个焦点分别为 F1 、F2 , a2 b2

?AF1 F2 为正三角形且周长为 6.
(1)求椭圆 C 的标准方程及离心率; (2) O 为坐标原点,直线 F1 A 上有一动点 P ,求 | PF2 | ? | PO | 的最小值.

[来源:Zxxk.Com]

20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a?x ,其中 a 为常数,且 a ? 0 . x 1 x ? 1 垂 直,求 a 的值; 2

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线与直线 y ? (2)若函数 f ( x) 在区间[1,2]上的最小值为

1 ,求 a 的值. 2

21. (本题满分 14 分)

在数列 {an } 中, a1 ? 1, a n ?1 ?

an an ? 1

(n ? N *) .

(1)求证:数列 ?

?1? ? 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; ? an ?

(2)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ; 2 ? an
n

( 3)设 P ?

2013

?
i ?1

1 ? ai2 ? ai2?1 ,求不超过 P 的最大整数的值.


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