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浦东新区2016年高三数学一模试卷


浦东新区 2015 学年度第一学期期末质量测试 高三数学试卷 2016.1
注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有 32 道试题,满分 150 分,考试时间 130 分钟. 一、填空题(本大题共有 12 题,满分 36 分)只要求直接填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分. 1.已知集合 A ? {x | x ? 3}, B ? {x | x ? 3}, A

CR B ? ___________.

2.已知向量 a ? (?2,1) , b ? (1, m) 平行,则 m ? ___________. 3.关于 x, y 的一元二次方程 ?

?2 x ? 3 y ? 1 的系数矩阵是___________. ?x ? 2 y ? 2

4.计算: lim

3n ?1 ? 2n ? ___________. n ?? 3n ? 2 n ?1

5.若复数 z 满足

1 1 ? 2i

i ,则 | z |? ___________. ? 0 ( i 为虚数单位) z

6. (2 x ? 1) 的二项式展开式的第八项为___________.
10

7.某船在海平面 A 出测得灯塔 B 在北偏东 30°方向,与 A 相距 6.0 海里,船由 A 向正北方向航行 8.1 海 里达到 C 处,这是灯塔 B 与船相距___________海里.(精确到 0.1 海里) 8.已知 cos(

?

3 ? ? ? ? ) ? , ? ? ( , ? ) ,则 sin(? ? ) ? ___________. 2 5 2 3

9.如图,已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , AA1 ? 2 , E 为棱 CC1 的中 点,则 AE 与平面 B1 BCC1 所成的角为___________.(结果用反三角表示) 10.已知函数 f ( x) 的图像与函数 g ( x ) ? 2 的图像关于直线 y ? x 对称,
x

令 h( x) ? f (1? | x |) ,则关于函数 h( x) 有下列命题: ① h( x) 的图像关于原点对称; ③ h( x) 的最大值为 0 ; ② h( x) 的图像关于 y 轴对称; ④ h( x) 在区间 (?1,1) 上单调递增.

其中正确命题的序号为___________.(写出所有正确命题的序号) 11.有一列向量 an : a1 ? ( x1 , y1 ) , a2 ? ( x2 , y2 ) ,…, an ? ( xn , yn ) ,如果从第二项起,每一项与前一 项的差都等于同一个向量,那么这列向量成为等差向量列 . 已知等差向量列 an ,满足 a1 ? (?20,13) ,

? ?

? ?

a3 ? (?18,15) ,那么这列向量 an 中模最小的向量的序号 n ? ___________.
高三数学 第1 页 共6页

? ?

12.已知函数 f ( x) ? 2sin ? x , g ( x) ?

3

x ?1 ,则函数 f ( x) 与 g ( x) 图像交点的横坐标之和为_________.

二、选择题(本大题共有 12 题,满分 36 分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选 对得 3 分,否则一律得零分. 13.如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式中不正确的是…………………………………………………( )

1 1 1 1 ( B) (C ) ab ? b2 ( D) a2 ? ab ? ? a b a b 14.设 ? : x ? 1 且 y ? 2 , ? : x ? y ? 3 , ? 是 ? 成立的………………………………………(

( A)



( A) 充分非必要条件 (C ) 充要条件

( B) 必要非充分条件 ( D) 既非充要又非必要条件


2 2 15.方程 kx ? 4 y ? 4k 表示焦点在 x 轴的椭圆,则实数 k 的取值范围是………………………(

( A) k ? 4

( B) k ? 4

(C ) k ? 4

( D) 0 ? k ? 4


16.甲、乙、丙、丁四人排成一排,其中甲、乙两人相邻的概率是………………………………(

( A)

1 4

( B)

1 3

(C )

1 2

( D)

1 6


2 2 17.直线 ax ? by ? 0 与圆 x ? y ? ax ? by ? 0 的位置关系是……………………………………(

( A) 相交

( B) 相切

(C ) 相离

( D) 不能确定

18.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x, y,10,11,9 ,已知这组数据的平均数为10 ,

方差为 2 ,则 | x ? y | 的值为………………………………………………………………………(



( A) 4

( B) 3

(C ) 2

( D) 1

19.设函数 f ( x) ( x ? R) 满足 f ( x ? ? ) ? f ( x) ? sin x ,当 0 ? x ? ? 时, f ( x) ? 0 ,则 f (

23? ) ?( 6



( A)

1 2

( B)

3 2

(C ) 0

( D) ?

1 2


20.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是 S ,那么圆柱的体积等于……………………………(

( A)

S S 2

( B)

S S 2 ?
高三数学

(C )

S S 4
共6页

( D)

S S 4 ?

第2 页

21.已知函数 f ( x) 存在反函数 f

?1

( x ) ,若函数 y ? f ( x ? 1) 过点 (3,3) ,则函数 f ?1 ( x ) 恒过点(



( A) (4,3)

( B) (3, 4)

(C ) (3, 2)

( D) (2,3)

22.一个弹性小球从 10 米高处自由落下,着地后反弹到原来高度的

4 处,再自由落下,又弹回到上一次高 5


度的

4 处. 这个小球能无限次反弹,则这个小球在这次运动中所经过的总路程为………………( 5
( A) 50 ( B) 80 (C ) 90 ( D) 100

23.符合以下性质的函数成为“ S 函数” :①定义域为 R . ② f ( x) 是奇函数. ③ f ( x) ? a (常数 a ? 0 ). ④ f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增. ⑤对任意一个小于 a 的正数 d ,至少存在一个自变量 x0 ,使 f ( x0 ) ? d .

? 1 ?a ? x x ? 0 ? ? 2x ?1 ? 2a ax | x | 下列四个函数中 f1 ( x) ? , f 3 ( x) ? ? 0 arctan x , f 2 ( x) ? 2 x ? 0 , f 4 ( x) ? a ? ? x ? ? x ?1 ? 2 ?1 ? ? 1 ??a ? x ? 0 x ?
中“ S 函数”的个数为…………………………………………………………………………………( )

( A) 1 个

( B) 2 个

(C ) 3 个

( D) 4 个

24.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点,它们所构成的两个正三角 形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星,如图所示的正六角星的中心 为点 O ,其中 x ,分别为点 O 到两个顶点的向量. 若将点 O 到正六角星 12 个顶点的向量,都写成 ax ? b y 的形式,则 a ? b 的最大值为( O )

y

x

( A) 3

( B) 4

(C ) 5

( D) 6

三、解答题(本大题共有 8 题,满分 78 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 25. (本题满分 7 分) 已知 OA 、 OB 、 OC 交于点 O , AD / / 求证: DE ∥平面 AOC . F E

1 OB , E 、 F 分别为 BC 、 OC 的中点. 2 C

O A
高三数学 第3 页 共6页

B D

26. (本题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x , 将函数 y ? f ( x) 的图像向右平移

1 ? 个单位, 再把横坐标缩短到原来的 (纵 2 6

坐标不变) ,得到函数 y ? g ( x) 的图像,求函数 y ? g ( x) 的解析式,并写出它的单调递增区间.

27. (本题满分 8 分,第 1 小题 4 分、第 2 小题 4 分) 已知两个向量 a ? (1 ? log 2 x,log 2 x) , b ? (log 2 x,1) . (1)若 a ? b ,求实数 x 的值; (2)求函数 f ( x) ? a ? b , x ? ? , 2 ? 的值域. 4

?1 ?

? ?

28. (本题满分 10 分,第 1 小题 4 分、第 2 小题 6 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项的和 Sn ? (1)求 ?an ? 的通项公式 an ; (2)当 n ? 2 时, an ?1 ?

3 2 1 n ? n. 2 2

?
an

? ? 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

高三数学

第4 页

共6页

29. (本题满分 14 分,第 1 小题 4 分、第 2 小题 5 分、第 3 小题 5 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,对于点 P ( x0 , y0 ) 、直线 l : ax ? by ? c ? 0 ,我们称 ? ? 点 P ( x0 , y0 ) 到直线 l : ax ? by ? c ? 0 的方向距离.

ax0 ? by0 ? c a 2 ? b2



(1)设椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上的任意一点 P( x, y) 到直线 l1 : x ? 2 y ? 0 , l2 : x ? 2 y ? 0 的方向距离分 4

别为 ? 1 、 ? 2 ,求 ?1? 2 的取值范围. (2)设点 E (?t ,0) 、 F (t , 0) 到直线 l : x cos ? ? 2 y sin ? ? 2 ? 0 的方向距离分别为?1 、? 2 ,试问是 否存在实数 t ,对任意的 ? 都有 ?1? 2 ? 1 成立?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由. (3)已知直线 l :mx ? y ? n ? 0 和椭圆 H :

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) ,设椭圆 H 的两个焦点 F1 、F2 a 2 b2

到直线 l 的方向距离分别为 ?1 、 ?2 满足 ?1?2 ? b2 ,且直线 l 与 x 轴的交点为 A ,与 y 轴的交点为 B ,试比 较 | AB | 的长与 a ? b 的大小.

30. (本题满分 6 分) 如图,点 A(?1,0) 、 B(1,0) ,点 C 在 x 轴正半轴上,过线段 BC 的 n 等分点 Di (i ? 1, 2,3, ???, n ? 1) 作与

BC 垂直的射线 li ,在 li 上的动点 P 使 ?APB 取得最大值的位置记做 Pi (i ? 1, 2,3, ???, n ? 1) .是否存在一条
圆锥曲线,对任意的正整数 n ? 2 ,点 P i (i ? 1, 2,3, ???, n ? 1) 都在这条曲线上?说明理由.

li

y

Pi

O

A(?1,0)

B(1,0) D1
第5 页

D2

D3



Di



Dn ?1 C

x

高三数学

共6页

31.(本题满分 12 分,第 1 小题 3 分、第 2 小题 4 分、第 3 小题 5 分) 定义符号函数 sgn( x) ? ?

?1, x ? 0 .已知 a, b ? R , f ( x) ? x | x ? a | sgn( x ? 1) ? b . ??1, x ? 0

(1)求 f (2) ? f (1) 关于 a 的表达式,并求 f (2) ? f (1) 的最小值. (2)当 b ?

1 时,函数 f ( x) 在 (0,1) 上有唯一零点,求 a 的取值范围. 2

(3)一直存在 a ,使得 f ( x) ? 0 对任意的 x ?[1, 2] 恒成立,求 b 的取值范围.

32.(本题满分 12 分,第 1 小题 4 分、第 2 题第①问 3 分、第 2 题第②问 5 分)

?b1 ? ?1 ? ? ?a1 ? 1 已知两个无穷数列 ?an ? 、 、? bn ?1 , 其中 n ? N ? , 设数列 ?an ? 、 ?bn ? 分别满足 ? ?bn ? ? 2 a ? a ? 2 ? ? b ? n?1 n ? n
的前 n 项和分别为 S n 、 Tn . (1)若数列 ?an ? 、 ?bn ? 都为递增数列,求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2) 若数列 ?cn ? 满足: 存在唯一的正整数 k ( k ? 2 ) , 使得 ck ? ck ?1 , 称数列 ?cn ? 为 “ k 坠点数列” . ①若数列 ?an ? 为“5 坠点数列” ,求 S n ; ②若数列 ?an ? 为“ p 坠点数列” ,数列 ?bn ? 为“ q 坠点数列” ,是否存在正整数 m ,使得 S m ?1 ? Tm , 若存在,求 m 的最大值;若不存在,说明理由.

高三数学

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