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2014届湖南省农业大学附中高考数学一轮复习单元训练:《空间几何体》(新人教A版) Word版含解析

高考数学一轮复习单元训练:空间几何体
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为( )

A.4 m 3

9 B. m 3 2

C.3 m 3

9 D. m 3 4

【答案】C 2.已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等,把它们拼接起来,使一个表面重合,所得 多面体的面数有( ) A.7 B. 8 C.9 D.10 【答案】A 3.下列说法正确的是( ) A.圆台是直角梯形绕其一边旋转而成; B.圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成; C.圆柱不是旋转体; D.圆台可以看作是平行底面的平面截一个圆锥而得到 【答案】D 4.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 2 的正方形,两条虚线互相垂直, 则该几何体的体积是( )

A.

20 3

B.

16 3

C. 8 ?

?
6

D. 8 ?

?
3

【答案】A 5.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是( )

A. 若l ? m,m ? ? , 则l ? ? C. 若l ? ? , m ? ? 则 l ? m 【答案】B

B. 若l ? ? , l ? m, 则m ? ? D. 若l ? ? , m ? ? , 则l ? m

6.正四面体的各条棱长为 a ,点 P 在棱 AB 上移动,点 Q 在棱 CD 上移动,则点 P 和点 Q 的 最短距离是( A. ) B.

1 2

2 a 2

C.

3 a 2

D.

3 a 4

【答案】B 7.设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 a 在 平面 ? 内,直线 b 在平面 ? 内,且 b ? m 则“ ? ? ? ”是“ a ? b ”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分不必要条件 【答案】A 8.在正四面体 ABCD 的面上,到棱 AB 以及 C、D 两点的距离都 相等的点共有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】B 9.某空间几何体的三视图如图所示,则该几 何体的体积是( )

)

A. 2 【答案】B

B. 1

C.

2 3

D.

1 3
)

10. 在三棱柱 ABC-A1B1 C1 中, 是 CC1 的中点, 是 A1B 的中点, DF ? ? AB ? ? AC , D F 且 则(

1 1 , ? ? ?1 B. ? ? ? , ? ? 1 2 2 1 1 C. ? ? 1, ? ? ? D. ? ? ?1, ? ? 2 2
A. ? ? 【答案】A 11.如图,平面α ⊥平面β ,α ∩β =l,A,C 是α 内不同的两点,B,D 是β 内不同的两点, 且 A,B,C,D?直线 l,M,N 分别是线段 AB,CD 的中点.下列判断正确的是( )

A.当 |CD|=2 |AB|时,M,N 两点不可能重合 B.M,N 两点可能重合,但此时直线 AC 与 l 不可能相交 C.当 AB 与 CD 相交,直线 AC 平行于 l 时,直线 BD 可以与 l 相交 D.当 AB,CD 是异面直线时,直线 MN 可能与 l 平行 【答案】B 12.在空间直角坐标系中, 一定点到三个坐标轴的距离都是 1, 则该点到原点的距离是 ( A.



6 2

B. 3

C.

3 2

D.

6 3

【答案】A 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13. 已知 ?ABC 的三个项点在同一球面上,?BAC ? 90?, AB ? AC ? 2. 若球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,则该球的半径为 【答案】 3 14.球的半径扩大为原来的 2 倍,它的体积扩大为原来的 【答案】8 倍. 。

15. ? 、 ? 是两个不同的平面, m 、 n 是平面 ? 及 ? 之外的两条不同直线,给出四个论断: ① m ⊥ n ,②

? ⊥ ? ,③ n ⊥ ? ,④ m ⊥ ? .以其中三个论断作为条件,余下一个作为

结论,写出你认为正确的一个命题 【答案】①③④?②或②③④?① 16.向量 a=(0,2,1) ,b=(-1,1,-2) ,则 a 与 b 的夹角为 【答案】 900 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. 如图, 在三棱拄 ABC ? A1 B1C1 中,AB ? 侧面 BB1C1C , 已知 BC ? 1, CC1 ? 2, AB ?

2,

?BCC1 ?

?
3

(1)求证: C1 B ? 平面ABC ; (2) 、当 E 为 CC1 的中点时,求二面角 A ? EB1 ? A1 的平面角的正切值. 【答案】 (1)因为 AB ? 侧面 BB1C1C ,故 AB ? BC1 在 ? BC1C 中,

BC ? 1, CC1 ? BB1 ? 2, ?BCC1 ?

?
3

由余弦定理有

BC1 ? BC 2 ? CC12 ? 2 ? BC ? CC1 ? cos ?BCC1 ???? 1 ? 4 ? 2 ? 2 ? cos
BC 2 ? BC12 ? CC12 ????????? C1 B ? BC
? C1 B ? 平面ABC


?
3

? 3

故有

BC ? AB ? B 且 AB, BC ? 平面 ABC

(2) EB1 的中点 D ,A1 E 的中点 F ,BB1 的中点 N ,AB1 的中点 M , 连 DF 则 DF // A1 B1 , 取 连 DN 则 DN // BE ,连 MN 则 MN // A1 B1 连 MF 则 MF // BE ,且 MNDF 为矩形,

MD // AE 又? A1 B1 ? EB1 , BE ? EB1
DF ?

故 ?MDF 为所求二面角的平面角在 Rt ? DFM 中,

1 2 A1 B1 ? (? ?BCE为正三角形) 2 2

1 2 1 1 1 MF ? BE ? CE ? ? tan ?MDF ? 2 ? 2 2 2 2 2 2 ??? ???? ???? ???? ? ? (法二: 建系:由已知 EA ? EB1 , B1 A1 ? EB1 , 所以二面角 A ? EB1 ? A1 的平面角 ? 的大
小为向量 B1 A1 与 EA 的夹角因为 B1 A1 ? BA ? (0, 0, 2)

???? ?

??? ?

???? ?

??? ?

??? ? 3 1 EA ? (? , ? , 2) 2 2

??? ???? ? ? EA ? B1 A1 2 2 故 cos ? ? ??? ???? ? ? tan ? ? ? ? 2 3 EA ? B1 A1



18. (1)下图将 △ ABC ,平行四边形 ABCD ,直角梯形 ABCD 分别绕 AB 边 所在的直线旋转一周,由此形成的几何体由哪些简单几何体构成.

(2) 下图由哪些简单几何体构成.

【答案】 1)图 ① ,圆锥底面挖去了一个圆锥;图 ② ,圆锥加圆柱挖去一个圆锥;图 ③ , ( 圆锥加上圆柱. (2) 矾由2个四棱锥组成. 明 石膏晶体由 2 个四棱台组成. 螺杆由正六棱柱与一 个圆柱组成. 19.如图,线段 CD 夹在二面角 ? ? a ? ? 内,C、D 两点到棱 a 的距离分别为 CA=6cm,DB=8cm。 如果二面角 ? ? a ? ? 的平面角为 600 ,AB=4cm,

求: (1)CD 的长; (2)CD 与平面 ? 所成的角正弦值。 【答案】(1 作 AE//DB,AE=DB,所以 ? CAE 为所求二面角的平面角 所以 ? CAE=60 ,
0

CE= 52 ;

所以 CD ? 2 17cm

(2)过 C 作 CF ? AE 于 F,连结 DF,易证 ? CDF 为所求的线面角

sin ?CDF ?

3 51 34

20.如图,在四棱锥 P 一 ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA ⊥平面 ABCD,PA=AD = 2 AB.点 M 为线段 PD 的中点.

(I)证明:平面 ABM⊥平面 PCD; (II)求 BM 与平面 PCD 所成的角. 【答案】 (Ⅰ)∵ PA ? 平面 ABCD ,? PA ? AB .

? 底面 ABCD 是矩形,? AB ? AD . ? AB ? 平面 PAD . ? PD ? 平面 PAD , ? AB ? PD . 又 PA ? AD ,点 M 为线段 PD 的中点, ? AM ? PD . ? PD ? 平面 ABM . 又 PD ? 平面 PCD , ∴平面 ABM ⊥平面 PCD .
(Ⅱ)? AB // CD ,? AB // 平面 PCD . ∴点 B 到平面 PCD 的距离与点 A 到平面 PCD 的距离相等. 由(Ⅰ)知, AM ? PD, AM ? CD ,

? AM ? 平面 PCD ,即点 A 到平面 PCD 的距离为 AM .
设 PA ? AD ?

2 AB ? x ,则 AM ?

2 2 AD ? x. 2 2

2 x ? 点 B 到平面 PCD 的距离为 2 .

在 Rt?ABM 中,求得 BM ?

AB 2 ? AM 2 ? x .

设 BM 与平面 PCD 所成的角为 ? ,

2 x 2 ? 2. 则 sin ? ? x 2
所以 BM 与平面 PCD 所成的角为

?
4

.

21.如下图(图 1)等腰梯形 PBCD,A 为 PD 上一点,且 AB⊥PD,AB=BC,AD=2BC,沿着 AB 折 叠使得二面角 P-AB-D 为 60 ? 的二面角,连结 PC、PD,在 AD 上取一点 E 使得 3AE=ED,连结 PE 得到如下图(图 2)的一个几何体.

(1)求证:平面 PAB ? 平面 PCD; (2)求 PE 与平面 PBC 所成角的正弦值. 【答案】 (1)? AB ? PA, AB ? AD ,又二面角 P-AB-D 为 60 ?

? ?PAD ? 60 ? ,又 AD=2PA ? AP ? PD
有平面图形易知:AB ? 平面 AP D,又 PD ? 平面APD ,? AB ? PD ,

? AP, AB ? 平面ABP ,且 AP ? AB ? A

? PD ? 平面PAB ,又 PD ? 平面PCD ,? 平面 PAB ? 平面 PCD
(2)设 E 到平面 PBC 的距离为 h ,? AE//平面 PBC 所以 A 到平面 PBC 的距离亦为 h 连结 AC,则 VP ? ABC ? VA ? PBC ,设 PA=2

1 1 1 1 ? ? ? 2? 2? 3 = ? ? 2? 7 ? h 3 2 3 2

?h ?

2 21 ,设 PE 与平面 PBC 所成角为 ? 7

2 3 h 2 7 ? 7 ? ? sin ? ? PE 7 3
22.已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,底面三角形 ABC 为正三角形,侧棱 AA1 ? 底面 ABC ,

AB ? 2, AA1 ? 4 , E 为 AA1 的中点, F 为 BC 中点.
C1
A1

B1

E
C

F
A B

(Ⅰ)求证:直线 AF // 平面 BEC1 ; (Ⅱ)求点 C 到平面 BEC1 的距离. 【答案】 (Ⅰ)取 BC1 的中点为 R ,连接 RE, RF , 则 RF // CC1 , AE // CC1 ,且 AE ? RF , 所以四边形 AFRE 为平行四边形, 则 AF // RE ,即 AF // 平面 REC1 .

(Ⅱ)由等体积法得

1 1 VC ? BEC1 ? VE ? BCC1 ,则 S ?BEC1 ? h ? S ?BCC1 ? RE , 3 3 4 得h ? 5. 5


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