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高一数学函数定义域值域最值考点解析及例题辅导

第二章 高考要求
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函数——函数的定义域、值域(最大、最小值)

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掌握求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法) ;掌握二次函数值域(最值) 或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法
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求函数最大、最小值问题历来是高考热点,这类问题的出现率很高,应用很广 因此我
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们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧,以提高高考应变能力 因函数的最大、
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最小值求出来了,值域也就知道了 反之,若求出的函数的值域为非开区间,函数的最大或
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最小值也等于求出来了 知识点归纳
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由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表, 实际上是求使给定式有意义的 x 的取值 范围 它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练
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1 求函数解析式的题型有:
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(1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知 f ( x ) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x ) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x ) 满足某个等式,这个等式除 f ( x ) 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程 组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 2 求函数定义域一般有三类问题:
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(1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意 义;

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(3)已知 f ( x ) 的定义域求 f [ g ( x)] 的定义域或已知 f [ g ( x)] 的定义域求 f ( x ) 的定义域: ①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域; ②若已知 f ( x ) 的定义域 ? a, b? ,其复合函数 f ? g ( x)? 的定义域应由 a ? g ( x) ? b 解出 3 求函数值域的各种方法
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函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的 其类型依解析式的特点分可分三类:
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(1)求常见函数值域;(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运 算”而得函数的值域
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①直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ?

k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x

二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,
2 当 a>0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }; 4a
2 当 a<0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) } 4a

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②配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:

f ( x) ? ax2 ? bx ? c, x ? (m, n) 的形式;
③分式转化法(或改为“分离常数法” ) ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法: 转化成型如:y ? x ?

k (k ? 0) , 利用平均值不等式公式来求值域; x
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⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域

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⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域

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⑨逆求法(反求法) :通过反解,用 y 来表示 x ,再由 x 的取值范围,通过解不等式, 得出 y 的取值范围;常用来解,型如: y ? 题型讲解

ax ? b , x ? (m, n) cx ? d

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例 1 已知函数 f ? x ? 定义域为(0,2),求下列函数的定义域: (1) f ( x 2 ) ? 23 ; (2) y ?

f ( x2 ) ? 1 log 1 (2 ? x)
2
2

分析:x 的函数 f(x )是由 u=x 与 f(u)这两个函数复合而成的复合函数,其中 x 是自 变量,u 是中间变量 由于 f(x),f(u)是同一个函数,故(1)为已知 0<u<2,即 0<x <2 求 x 的取值范围
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2

2

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解:(1)由 0<x <2, 得

2

说明:本例(1)是求函数定义域的第二种类型,即不给出 f(x)的解析式,由 f(x)的定 义域求函数 f[g(x)]的定义域 关键在于理解复合函数的意义,用好换元法 (2)是二种类型的 综合 求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系,求其定义 域,后面还会涉及到
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例 2 已知函数 f ( x ) ?

1? x 的定义域为 A ,函数 y ? f ? ? f ? x ?? ? 的定义域为 B ,则 1? x

( A) A B ? B

(B) A ? B

(C ) A ? B

( D) A B ? B

解: A ? ?x | x ? 1? , y ? f [ f ( x)] ? f ( 令 ?1 ?

1? x 2 1 ) ? f (?1 ? )?? , 1? x 1? x x

2 ? 1 且 x ? 1 ,故 B ? ?x | x ? 1? 1? x

?x | x ? 0?

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∴ B? A? A

B ? B ,故选取 D

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例 3 求下列函数的值域

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① y=3x+2(-1 ? x ? 1) ③y?

② f ( x) ? 2 ? 4 ? x ④y ? x?

x x ?1

1 x

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解:①∵-1 ? x ? 1,∴-3 ? 3x ? 3, ∴-1 ? 3x+2 ? 5,即-1 ? y ? 5,∴值域是[-1,5] ②∵ 4 ? x ? [0,??) ∴ f ( x) ? [2,??)
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即函数 f ( x) ? 2 ? 4 ? x 的值域是 { y| y ? 2} ③y? ∵

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x x ?1?1 1 ? ? 1? x ?1 x ?1 x ?1
∴ y ?1
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1 ?0 x ?1

即函数的值域是 { y| y?R 且 y?1}(此法亦称分离常数法) ④当 x>0,∴ y ? x ?

1 2 1 ) ? 2 ? 2, =( x ? x x 1 2 1 ) ? 2 ? ?2 ) =- ( ? x ? ?x ?x
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当 x<0 时, y ? ?( ? x ?

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∴值域是 (??,?2] ? [2,+ ? ) (此法也称为配方法)
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y 2

函数 y ? x ?

1 的图像为: x
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f?x? = x+

1 x

-1 o 1 -2
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x

∴值域是 (??,?2] ? [2,+ ? ) 例 4 求下列函数的值域: (1) y ? 3x ? x ? 2 ;
2

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(2) y ? ? x 2 ? 6 x ? 5 ;

(3) y ?

3x ? 1 ; x?2

(4) y ? x ? 4 1 ? x ; (5) y ? x ? 1 ? x 2 ;

(6) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ;

(7) y ?

1 ? sin x 2 x2 ? x ? 2 2 x2 ? x ? 1 1 y ? ( x ? ) ; (9) y ? ; ( 8 ) 2 2 ? cos x 2x ?1 2 x ? x ?1

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解: (1) (配方法)

1 23 23 y ? 3x 2 ? x ? 2 ? 3( x ? ) 2 ? ? , 6 12 12

∴ y ? 3x2 ? x ? 2 的值域为 [

23 , ?? ) 12

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改题:求函数 y ? 3x2 ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域

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解: (利用函数的单调性)函数 y ? 3x2 ? x ? 2 在 x ? [1,3] 上单调增, ∴当 x ? 1 时,原函数有最小值为 4 ;当 x ? 3 时,原函数有最大值为 26 ∴函数 y ? 3x2 ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域为 [4, 26] (2)求复合函数的值域: 设 ? ? ? x2 ? 6 x ? 5 ( ? ? 0 ) ,则原函数可化为 y ? 又∵ ? ? ? x2 ? 6 x ? 5 ? ?( x ? 3)2 ? 4 ? 4 , ∴ 0 ? ? ? 4 ,故

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?

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? ?[0,2] ,

∴ y ? ? x 2 ? 6 x ? 5 的值域为 [0, 2] (3) (法一)反函数法:
y?

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3x ? 1 2x ? 1 的反函数为 y ? ,其定义域为 {x ? R | x ? 3} , x ?3 x?2

∴原函数 y ?

3x ? 1 的值域为 { y ? R | y ? 3} x?2

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(法二)分离变量法: y ?

3x ? 1 3( x ? 2) ? 7 7 , ? ? 3? x?2 x?2 x?2



7 7 ? 0 ,∴ 3 ? ? 3, x?2 x?2

∴函数 y ?

3x ? 1 的值域为 { y ? R | y ? 3} x?2

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(4)换元法(代数换元法) :设 t ? 1 ? x ? 0 ,则 x ? 1 ? t ,
2

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∴原函数可化为 y ? 1 ? t 2 ? 4t ? ?(t ? 2)2 ? 5(t ? 0) ,∴ y ? 5 , ∴原函数值域为 (??,5]

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说 明 : 总 结 y ? a x? b ?

c? x 型d值 域 , 变 形 : y ? ax2 ? b ? cx 2 ? d 或

y ? ax2 ? b ? cx ? d
(5)三角换元法: ∵ 1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ,∴设 x ? cos ? , ? ?[0, ? ] ,
2

则 y ? cos ? ? sin ? ?

2 sin(? ? ) 4

?

∵ ? ?[0, ? ] ,∴ ? ?

?

? 5? ? 2 ? [ , ] ,∴ sin(? ? ) ?[? ,1] , 4 4 4 4 2

∴ 2 sin(? ?

?
4

) ? [?1, 2] ,

∴原函数的值域为 [?1, 2]

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??2 x ? 3 ( x ? ?4) ? (?4 ? x ? 1) , (6)数形结合法: y ?| x ? 1| ? | x ? 4 |? ?5 ?2 x ? 3 ( x ? 1) ?

∴ y ? 5, ∴函数值域为 [5, ??)

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(7)判别式法:∵ x ? x ? 1 ? 0 恒成立,∴函数的定义域为 R
2

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由y?

2 x2 ? x ? 2 2 得: ( y ? 2) x ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 2 x ? x ?1



①当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,①即 3 x ? 0 ? 0 ,∴ x ? 0 ? R
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②当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,∵ x ? R 时方程 ( y ? 2) x2 ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 恒有实根, ∴ ? ( y ? 1)2 ? 4 ? ( y ? 2)2 ? 0 , ∴ 1 ? y ? 5 且 y ? 2 , ∴原函数的值域为 [1,5]

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1 2 x 2 ? x ? 1 x(2 x ? 1) ? 1 1 1 1 (8) y ? ? ? x? ? x? ? 2 ? , 1 2x ?1 2x ?1 2x ?1 2 x? 2 2

1 1 1 1 ∵ x ? ,∴ x ? ? 0 ,∴ x ? ? 2 ? 2 ( x ? ) 2 1 2 2 (x ? 1) 2 2 x?
2 2
1 1? 2 1 当且仅当 x ? ? 2 时,即 x ? 时等号成立 1 2 x? 2 2

1

1

? 2,

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∴y?

2?

1 1 ,∴原函数的值域为 [ 2 ? , ??) 2 2

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(9) (法一)方程法:原函数可化为: sin x ? y cos x ? 1 ? 2 y ,

2 ∴ 1 ? y sin( x ? ? ) ? 1 ? 2 y (其中 cos ? ?

1 1? y2

,sin ? ?

y 1? y2

) ,

∴ sin( x ? ? ) ?

1? 2 y 1? y2

?[?1,1] ,
4 , 3

2 2 ∴ |1 ? 2 y |? 1 ? y ,∴ 3 y ? 4 y ? 0 ,∴ 0 ? y ?

∴原函数的值域为 [0, ] 例 5 求函数 y ?

4 3

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x 2 ? 5x ? 6 的值域 x2 ? x ? 6
2

方法一: (判别式法)去分母得 (y?1) x +(y+5)x?6y?6=0



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当 y?1 时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y?1)×6(y+1) ? 0
2

由此得 (5y+1) ? 0
2

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1 检验 y ? ? 时 5

1 ? ?5 x?? 5 ? 2 (代入①求根) 6 2 ? (? ) 5
∴y?? ∴y?1

∵2 ? 定义域 { x| x?2 且 x?3} 再检验 y=1 代入①求得 x=2 综上所述,函数 y ?

1 5

1 x 2 ? 5x ? 6 的值域为 { y| y?1 且 y? ? } 2 5 x ? x?6

方法二: (分离常数法)把已知函数化为函数

y?

( x ? 2)(x ? 3) x ? 3 6 (x?2) ? ? 1? ( x ? 2)(x ? 3) x ? 3 x?3
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由此可得 y?1 ∵ x=2 时

y??

1 5

即 y??

1 5

1 x 2 ? 5x ? 6 ∴函数 y ? 2 的值域为 { y| y?1 且 y? ? } 5 x ? x?6

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例 6 (分段函数法及图像法)求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域 解法 1:将函数化为分段函数形式:

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y

?? 2 x ? 1( x ? ?1) ? y ? ?3( ?1 ? x ? 2) , ?2 x ? 1( x ? 2) ?
画出它的图象,由图象可知,函数的值域是{y|y ? 3}
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3

-1 O

2

x

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解法 2: (几何法或图象法)∵函数 y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点 x 到两定点-1,2 的 距离之和,∴易见 y 的最小值是 3,∴函数的值域是[3,+ ? ]
x -1 O 1 2
-1 Ox 1 2
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如图
2x

-1 O 1

例 7 求函数 y ? 2x ? 4 1 ? x 的值域

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解:(换元法)设 t ? 1 ? x

则 t?0

x=1? t

2

代入得 y ? f (t ) ? 2 ? (1 ? t 2 ) ? 4t ? ?2t 2 ? 4t ? 2 ? ?2(t ? 1) 2 ? 4 ∵t ? 0 ∴y ? 4

例 8 设函数 f ( x) ? log 2 (1)求函数的定义域;

x ?1 ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( p ? x) , x ?1

(2)问 f ( x ) 是否存在最大值与最小值?如果存在,请把它写出来;如果不存在,请说明 理由
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? x ?1 ? x ?1 ? 0 ? ?x ? 1 解: (1)由 ? x ? 1 ? 0 ,解得 ? ?x ? p ? ?p? x ? 0 ?
当 p ? 1 时,①不等式解集为 ? ;



当 p ? 1 时,①不等式解集为 ?x |1 ? x ? p? , ∴ f ( x ) 的定义域为 (1, p)( p ? 1)

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(2)原函数即 f ( x) ? log 2 [( x ? 1)( p ? x)] ? log 2 [?( x ?

p ? 1 2 ( p ? 1)2 ) ? ], 2 4



p ?1 ? 1 ,即 1 ? p ? 3 时,函数 f ( x) 既无最大值又无最小值; 2 p ?1 ? p ,即 p ? 3 时,函数 f ( x) 有最大值 2log 2 ( p ? 1) ? 2 ,但无最小值 2
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当1 ?

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小结:对于二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , ⑴若定义域为 R 时,

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①当 a>0 时,则当 x ? ? ②当 a<0 时,则当 x ? ?

2 b 时,其最小值 y min ? (4ac ? b ) ; 2a 4a 2 b 时,其最大值 y max ? (4ac ? b ) 2a 4a

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⑵若定义域为 x ? [a,b],则应首先判定其顶点横坐标 x0 是否属于区间[a,b] ①若 x0 ? [a,b],
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则 f ( x0 ) 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较 f (a), f (b) 的大小决定函数 的最大(小)值 ②若 x0 ? [a,b],则[a,b]是在 f ( x) 的单调区间内,只需比较 f (a), f (b) 的大小
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即可决定函数的最大(小)值

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(3)若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; (4)当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨 论
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利用方程思想来处理函数问题,一般称判别式法 判别式法一般用于分式函数,其分子
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或分母只能为二次式 解题中要注意二次项系数是否为 0 的讨论
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求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等) ,随着 知识的不断学习和经验的不断积累,还有如不等式法、三角代换法等 有的题可以用多种方
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法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,熟悉和掌握各种解法, 并在解题中尽量采用简捷解法 学生练习
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1 函数 f(x)与 g(x) =3? 的图象关于直线 y=x 对称,则函数 f(x?1)的定义域为
x
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2 求下列函数的定义域:
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(1)y=

3x ? x 2 ; | x ? 1 | ?1
3

(2)y= 25 ? x 2 ? ln cos x

3 已知函数 f(x)=
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3x ? 1 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是( ) ax ? ax ? 3
2

A a>1/3
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B ?12<a<0
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C ?12<a?0
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D a?1/3
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4 (1)已知函数 f(x)的定义域为[a,b],且 a+b>0,求 f(x )的定义域;
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2

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(2)已知函数 f(2 )的定义域为[1,2],求 f(log2x)的定义域
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x

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5 已知函数 f(x)的定义域为[0,1],g(x)=f(x+a)+f(x?a),求函数 g(x)的定义域
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6 设 f(x)=log2
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x ?1 +log2(x?1)+log2(p?x) x ?1

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(1)求函数 f(x)的定义域;(2)f(x)是否存在最大值或最小值?如果存在,请把它写出来; 如果不存在,请说明理由
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7 某宾馆有相同标准的床位 100 张 根据经验,当该宾馆每张床的床价不超过 10 元时,床位
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可以全部租出;当床价高于 10 元时,每提高一元, 将有 3 张床位空闲 为了获得较好的效益,
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该宾馆要给床位定一个合适的价格,条件是①为方便结算,床位应为 1 元的整数倍;②该宾 馆每日的费用支出为 575 元,床位出租收入必须高于支出,而且高出得越多越好,若用 x 表示床价,用 y 表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的支出费用后的收入) , (1)把 y 表示为 x 的函数,并求出定义域; (2)试确定该宾馆床价定为多少时,既符合上述条件,又能使净收入最多? 8 求下列函数的值域(1)y=(1?x )/(1+x ); (2)y=(1?2sinx)/(1+sinx)
2 2
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9 求下列函数的值域:
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(1)y=

x2 ? x x (;(2)y= x ? 1 ? 2 x ;(3)y= ? 2 2 x ? x ?1 x ? 2x ? 2
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10 已知函数 f(x)=lg(x2?2mx+m+2)
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(1)若 f(x)的定义域为 R,求实数 m 的取值范围; (2)若 f(x)的值域为 R,求实数 m 的取值范围
2
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11 若函数 y=x ?3x?4 的定义域为[0,m],值域为[?25/4,?4],则 m 的取值范围是
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12 已知 f(x)的值域为[3/8,4/9],试求 y=f(x)+ 1 ? 2 f ( x) 的值域
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13 现有直径为 d 的圆木,要把它锯成横断面为矩形的梁,从材
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道,横断面为矩形的木梁强度与梁宽和梁高的平方的乘积成正比,比例系数为 k 问如何截法
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才能使梁的强度最大? 14 函数 y=|x–3|–|x+1|的最大值是
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15 已知 1/2?t?1,则 2/t–t 的最大值是
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16 函数 y= –x2–2ax(0?x?1)的最大值是 a2,那么实数 a 的取值范围是
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17 在区间[1/2,2]上函数 f(x)=x2+px+q 与 g(x)=2x+1/x2 在同一点取得相同的最小值,那么 f(x)在
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区间[1/2,2]上的最大值是 参考答案: 1 (1,+?))
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2 (1) (0,2)?(2,3], (2) [?5,?3?/2]?(??/2,?/2)?(3?/2,5]
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C 注意二次项系数为零的特殊情况
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4 (1)b>a,b>?a,∴ b>|a|,
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a?0 时,x?[? b , b ],a>0 时,x?[? b , ?

a ]? [ a , b ] (2)[4,16]

5 当?1/2?a?0 时,a<?a?1+a,x?[?a,1+a]; 当 0?a?1/2 时,x?[a,1?a];
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当 a<?1/2 或 a>1/2 时,g(x)不存在 6 (1)1<x<p(p>1);
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p ? 1 2 ( p ? 1) 2 (2)f(x)=log2[(x+1)(p?x)]=log2[?(x? ) + ], 2 4
当(p?1)/2?1,即 1<p?3 时,f(x)无最值; 当 1<(p?1)/2<p,即 p>3 时,f(x)最大值为 2log2(p+1)?2,无最小值
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7 (1) y ? ?
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?100x ? 575 (6 ? x ? 10, x ? N ) ?100x ? 575 ( x ? 10) =? 2 ?[100? ( x ? 10) ? 3]x ? 575 x ? 10 ?? 3x ? 130x ? 575 (10 ? x ? 38, x ? N
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(2)当 x?10 时,y?425;当 x>10,则当 x=22 时,y 有最大值约 833 元 8 (1) (0,1]; (2) [?1/2,+?)
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9 (1)(?1/3?y<1) ;(2)y?1/2;
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(3)讨论:x>0 时,?1<y<0,x<0 时,0<y? 2 ,∴ ?1<y? 2 10 (1)?1<m<2; (2) m?2 或 m? ?1
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11 [3/2,3]
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12 (7/9,7/8],换元法
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13 Q=kx(d ?x )?2 3 kd /9, x= 3 d/3
2 2 3
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x 为梁宽

14 4,
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15 7/2(单调性求最值)
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16–1?a?0(配方法求二次函数的最值) 17 4 ,平均值不等式求最值
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例 1 求下列函数的最大值或最小值:

(1) y ? 4 ? 3 ? 2 x ? x 2 ; (2) y ? x ? 1 ? 2x ; (3) y ?

2x2 ? 2x ? 5
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x2 ? x ? 1

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2 解: (1) y ? 4 ? 3 ? 2 x ? x 2 ? 4 ? ?( x ? 1) ? 4 ,

2 由 3 ? 2 x ? x ? 0 得 ?1 ? x ? 3 ,

∴当 x ? 1 时,函数取最小值 2 , 当 x ? ?1 or x ? 3 时函数取最大值 4
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1 1? t (2)令 1 ? 2 x ? t (t ? 0, x ? ) ,则 x ? , 2 2
2

∴y?

1? t2

1 ? t ? ? (t ? 1) 2 ? 1 , 2 2
1 2
时取等号,∴函数取最大值

当 t ? 0 ,即 x ?

1 2

,无最小值

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(3)解法(一)用判别式法:

由y?

2x2 ? 2x ? 5 x ? x ?1
2

得 ( y ? 2) x2 ? ( y ? 2) x ? y ? 5 ? 0, x ? R ,

①若 y ? 2 ,则 2 ? 5 矛盾, ∴ y ? 2 ,

②由 y ? 2 ,这时, ?

?y ? 2
2 ?? ? ( y ? 2) ? 4( y ? 2)( y ? 5) ? 0



解得: 2 ? y ? 6 , 且当 y ? 6 时, x ? ?

1 , ∴函数的最大值是 6 ,无最小值 2

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解法(二)分离常数法:

由y?

3 2 x2 ? 2 x ? 5 ? 2? 2 ? 2? 2 x ? x ?1 x ? x ?1

3 1 3 ( x ? )2 ? 2 4
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∵ (x ? ) ?
2

1 2

3 3 ? ,∴ 2 ? y ? 6 ,∴函数的最大值是 6 ,无最小值 4 4
x

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例 2 (1)函数 y ? a 在 [0,1] 上的最大值与最小值的和为 3 ,则 a ?

2

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2 (2)对于满足 0 ? p ? 4 的一切实数,不等式 x ? px ? 4 x ? p ? 3 恒成立,则 x 的取值范

围为 (??, ?1)

(3, ??)

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(3)已知函数 f ( x) ? 2x ?1 , g ( x) ? 1 ? x 2 ,构造函数 F ( x) ,定义如下:当 | f ( x) |? g ( x) 时, F ( x) ?| f ( x) | ,当 | f ( x) |? g ( x) 时, F ( x) ? ? f ( x) ,那么 F ( x) (

B



( A) 有最小值 0 ,无最大值 (C ) 有最大值 1 ,无最小值

( B ) 有最小值 ?1 ,无最大值 ( D) 无最小值,也无最大值

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