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2014届高三数学辅导精讲精练51


2014 届高三数学辅导精讲精练 51
1. 已知两条不同直线 l1 和 l2 及平面 α, 则直线 l1∥l2 的一个充分条件是( A.l1∥α 且 l2∥α C.l1∥α 且 l2?α 答案 解析 B l1⊥α 且 l2⊥α?l1∥l2. ( ) B.l1⊥α 且 l2⊥α D.l1∥α 且 l2?α )

2.(2012· 四川)下列命题正确的是 A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行

B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 答案 解析 C 若两条直线和同一平面所成的角相等, 则这两条直线可平行、 可异面、

可相交,A 项不正确; 如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧, 那 么经过这三个点的平面与这个平面相交,B 项不正确. 3. α, 表示平面, n 表示直线, m∥α 的一个充分不必要条件是( 设 β m, 则 A.α⊥β 且 m⊥β C.m∥n 且 n∥α 答案 解析 选 D. 4.若空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC、BD 的长分别是 8、12,过 AB 的中点 E 且平行于 BD、AC 的截面四边形的周长为 A.10 C.8 答案 解析 B 设截面四边形为 EFGH,F、G、H 分别是 BC、CD、DA 的中点,∴ B.20 D.4 ( ) D 若两个平面平行, 其中一个面内的任一直线均平行于另一个平面,故 B.α∩β=n 且 m∥n D.α∥β 且 m?β )

EF=GH=4,FG=HE=6.

∴周长为 2×(4+6)=20. 5.(2013· 衡水调研卷)已知直线 l∥平面 α,P∈α,那么过点 P 且平行于直线 l 的直线 A.只有一条,不在平面 α 内 B.有无数条,不一定在平面 α 内 C.只有一条,且在平面 α 内 D.有无数条,一定在平面 α 内 答案 解析 C 由直线 l 与点 P 可确定一个平面 β,则平面 α,β 有公共点,因此它 ( )

们有一条公共直线,设该公共直线为 m,因为 l∥α,所以 l∥m,故过点 P 且平 行于直线 l 的直线只有一条,且在平面 α 内,选 C. 6.下列命题中,是假命题的是 A.三角形的两条边平行于一个平面,则第三边也平行于这个平面 B.平面 α∥平面 β,a?α,过 β 内的一点 B 有唯一的一条直线 b,使 b∥a C.α∥β,γ∥δ,α、β 分别与 γ、δ 的交线为 a、b、c、d,则 a∥b∥c∥d D.一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件 答案 解析 D D 错误.当两个平面平行时,则该直线与两个平面成等角;反之,如 ( )

果一条直线与两个平面成等角,这两个平面可能是相交平面.如下图,α⊥β,直 线 AB 与 α、β 都成 45° 角,但 α∩β=l.

7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上的 2a 点,A1M=AN= 3 ,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是 ( )

A.相交 C.垂直 答案 解析 B

B.平行 D.不能确定

2a 连接 CD1,在 CD1 上取点 P,使 D1P= 3 ,∴MP∥BC,PN∥AD1.

∴MP∥面 BB1C1C,PN∥面 AA1D1D. ∴面 MNP∥面 BB1C1C,∴MN∥面 BB1C1C. 8.设 α、β、γ 为两两不重合的平面,l、m、n 为两两不重合的直线.给出 下列四个命题: ①若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β; ②若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ③若 α∥β,l?α,则 l∥β; ④若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则 m∥n. 其中真命题的是________. 答案 解析 ③④ ①∵垂直于同一个平面的两个平面也可以相交,如墙角,∴该命题不

对;②m、n 相交时才有 α∥β,此命题不对;③由面面平行的性质定理可知该命 题正确;④∵l∥γ,β∩γ=m,l?β,∴l∥m.又 α∩β=l,且 m?β,∴m∥α.又 m?γ 且 γ∩α=n,∴m∥n,故④对. 9.如图所示,四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱的中点,能得出 AB∥面 MNP 的图形的序号是________(写出所 有符合要求的图形序号).

答案

①③

10. 棱锥 P-ABCD 的底面是一直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB, PA⊥底面 ABCD,E 为 PC 的中点,则 BE 与平面 PAD 的位置关系为________.

答案 解析

平行 取 PD 的中点 F,连接 EF.

1 在△PCD 中,EF 綊2CD. 1 又∵AB∥CD 且 CD=2AB,∴EF=2CD 且 CD=2AB. ∴EF 綊 AB,∴四边形 ABEF 是平行四边形,∴EB∥AF. 又∵EB?平面 PAD,AF?平面 PAD, ∴BE∥平面 PAD. 11. 如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分别是下底 a 面的棱 A1B1、B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP=3,过 P,M,N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ=________.

答案 解析

2 2 3 a 如图,连接 AC,易知 MN∥平面 ABCD.

∴MN∥PQ. 又∵MN∥AC,∴PQ∥AC.

a PD DQ PQ 2 又∵AP=3,∴AD=CD=AC =3. 2 2 2 2 ∴PQ=3AC=3 2a= 3 a. 12.考察下列三个命题,在“________”处都缺少同一个条件,补上这个条件 使其构成真命题(其中 l、m 为直线,α、β 为平面),则此条件为________. m?α ① l∥m

? ??l∥α;② ?

l∥m m∥α

? ??l∥α;③ ?

l⊥β α⊥β

? ??l∥α. ?

答案 解析

l?α ①体现的是线面平行的判定定理,缺的条件是“l 为平面 α 外的直

线”,即“l?α”,它也同样适合②③,故填 l?α. 13.在四面体 ABCD 中,M、N 分别是面△ACD、△BCD 的重心,则四面 体的四个面中与 MN 平行的是________. 答案 解析 平面 ABC 和平面 ABD 连接 AM 并延长交 CD 于 E,连接 BN 并延长交 CD 于 F.由重心的性

EM EN 1 质可知,E、F 重合为一点,且该点为 CD 的中点 E.由 = = ,得 MN∥AB. MA NB 2 因此,MN∥平面 ABC 且 MN∥平面 ABD. 14. 过三棱柱 ABC—A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线, 其中与平面 ABB1A1 平行的直线共有________条. 答案 解析 6 过三棱柱 ABC—A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,记 AC,BC,

A1C1,B1C1 的中点分别为 E,F,E1,F1,则直线 EF,EF1,EE1,FF1,E1F, E1F1 均与平面 ABB1A1 平行,故符合题意的直线共 6 条. 15. 如图所示, 已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体, E 在 AA1 上, 点 点 F 在 CC1 上,G 在 BB1 上,且 AE=FC1=B1G=1,H 是 B1C1 的中点.

(1)求证:E、B、F、D1 四点共面; (2)求证:平面 A1GH∥平面 BED1F. 解析 (1)连接 FG.

∵AE=B1G=1,∴BG=A1E=2. ∴BG 綊 A1E,∴A1G∥BE. 又∵C1F 綊 B1G, ∴四边形 C1FGB1 是平行四边形,∴FG 綊 C1B1 綊 D1A1.

∴四边形 A1GFD1 是平行四边形. ∴A1G 綊 D1F,∴D1F 綊 EB. 故 E、B、F、D1 四点共面. (2)∵H 是 B1C1 的中点, 3 ∴B1H=2.又 B1G=1, B1G 2 ∴B H=3.
1

FC 2 又BC=3,且∠FCB=∠GB1H=90° , ∴△B1HG∽△CBF. ∴∠B1GH=∠CFB=∠FBG,∴HG∥FB. 又由(1)知,A1G∥BE, 且 HG∩A1G=G,FB∩BE=B, ∴平面 A1GH∥平面 BED1F. 16.

如图,三棱柱 ABC-A1B1C1,底面为正三角形,侧棱 A1A⊥底面 ABC,点 E、 F 分别是棱 CC1、BB1 上的点,点 M 是线段 AC 上的动点,EC=2FB. 当点 M 在何位置时,BM∥平面 AEF? 解析 M. 方法一 如图,取 AE 的中点 O,连接 OF,过点 O 作 OM⊥AC 于点

∵侧棱 A1A⊥底面 ABC, ∴侧面 A1ACC1⊥底面 ABC. ∴OM⊥底面 ABC. 又∵EC=2FB, 1 ∴OM∥FB 綊2EC. ∴四边形 OMBF 为矩形. ∴BM∥OF. 又∵OF?面 AEF,BM?面 AEF, 故 BM∥平面 AEF,此时点 M 为 AC 的中点.

方法二

如图,取 EC 的中点 P,AC 的中点 Q,连接 PQ、PB、BQ.

∴PQ∥AE.∵EC=2FB, ∴PE 綊 BF,PB∥EF. ∴PQ∥平面 AEF,PB∥平面 AEF. 又 PQ∩PB=P, ∴平面 PBQ∥平面 AEF. 又∵BQ?面 PQB,

∴BQ∥平面 AEF. 故点 Q 即为所求的点 M,此时点 M 为 AC 的中点. 17.

如图,在底面是平行四边形的四棱锥 P—ABCD 中,点 E 在 PD 上,且 PE∶ ED=2∶1,在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF∥平面 AEC?证明你的结论. 解析 当 F 是棱 PC 的中点时,BF∥平面 AEC.

证明:取 PE 的中点 M,连接 FM,则 FM∥CE.①

1 由 EM=2PE=ED,知 E 是 MD 的中点. 连接 BM,BD,设 BD∩AC=O, 则 O 为 BD 的中点,连接 OE, 所以 BM∥OE.② 由①,②知,平面 BFM∥平面 AEC. 又 BF?平面 BFM,所以 BF∥平面 AEC. 18.

(2012· 山东)如图,几何体 E—ABCD 是四棱锥,△ABD 为正三角形,CB= CD,EC⊥BD. (1)求证:BE=DE; (2)若∠BCD=120° ,M 为线段 AE 的中点,求证:DM∥平面 BEC. 解析 (1)如图,取 BD 的中点 O,连接 CO,EO.

由于 CB=CD,所以 CO⊥BD. 又 EC⊥BD,EC∩CO=C, CO,EC?平面 EOC, 所以 BD⊥平面 EOC. 因此 BD⊥EO. 又 O 为 BD 的中点, 所以 BE=DE. (2)方法一 如图,取 AB 的中点 N,连接 DM,DN,MN.

因为 M 是 AE 的中点, 所以 MN∥BE. 又 MN?平面 BEC,BE?平面 BEC, 所以 MN∥平面 BEC. 又因为△ABD 为正三角形, 所以∠BDN=30° . 又 CB=CD,∠BCD=120° , 因此∠CBD=30° . 所以 DN∥BC. 又 DN?平面 BEC,BC?平面 BEC, 所以 DN∥平面 BEC. 又 MN∩DN=N, 故平面 DMN∥平面 BEC. 又 DM?平面 DMN, 所以 DM∥平面 BEC.

方法二

如图,延长 AD,BC 交于点 F,连接 EF.

因为 CB=CD,∠BCD=120° , 所以∠CBD=30° . 因为△ABD 为正三角形, 所以∠BAD=60° ,∠ABC=90° . 因此∠AFB=30° . 1 所以 AB=2AF. 又 AB=AD, 所以 D 为线段 AF 的中点. 连接 DM,由于点 M 是线段 AE 的中点, 因此 DM∥EF. 又 DM?平面 BEC,EF?平面 BEC, 所以 DM∥平面 BEC.

1.设 x,y,z 为空间不同的直线或不同的平面,且直线不在平面内,下列 说法中能保证“若 x⊥z,y⊥z,则 x∥y”为真命题的序号有________.(把所有 的真命题全填上) ①x 为直线,y,z 为平面;②x,y,z 都为平面;③x,y 为直线,z 为平面; ④x,y,z 都为直线,⑤x,y 为平面,z 为直线. 答案 解析 ③⑤ ①直线 x 可能在平面 y 内;②平面 x 与 y 可能相交;④直线 x 与 y 可

能相交,也可能异面,故③⑤正确. 2.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 是平行四边形,M、N 分别是 AB、PC 的中点,求证:MN∥平面 PAD.

证明

方法一

取 CD 中点 E,

连接 NE、ME.

∵M、N 分别是 AB、PC 的中点, ∴NE∥PD,ME∥AD. ∴NE∥平面 PAD,ME∥平面 PAD. 又 NE∩ME=E, ∴平面 MNE∥平面 PAD. 又 MN?平面 MNE, ∴MN∥平面 PAD.

方法二

取 PD 中点 F,连接 AF、NF.

∵M、N 分别为 AB、PC 的中点, 1 1 ∴NF 綊2CD,AM 綊2CD. ∴AM 綊 NF. ∴四边形 AMNF 为平行四边形. ∴MN∥AF. 又 AF?平面 PAD,MN?平面 PAD, ∴MN∥平面 PAD. 3.

如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D 在边 BC 上,AD⊥C1D. (1)求证:AD⊥平面 BCC1B1; B1E (2)设 E 是 B1C1 上的一点,当EC 的值为多少时,A1E∥平面 ADC1?请给出
1

证明. 解析 (1)在正三棱柱中,CC1⊥平面 ABC,AD?平面 ABC,∴AD⊥CC1.

又 AD⊥C1D,CC1 交 C1D 于 C1,且 CC1 和 C1D 都在平面 BCC1B1 内,∴AD ⊥平面 BCC1B1. (2)由(1)得 AD⊥BC.在正三角形 ABC 中,D 是 BC 的中点. B1E 当EC =1,即 E 为 B1C1 的中点时,A1E∥平面 ADC1.
1

在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,四边形 BCC1B1 是矩形,且 D、E 分别是 BC、 B1C1 的中点,∴B1B∥DE,B1B=DE. 又 B1B∥AA1,且 B1B=AA1, ∴DE∥AA1,且 DE=AA1. ∴四边形 ADEA1 为平行四边形,∴A1E∥AD. 而 A1E?平面 ADC1,故 A1E∥平面 ADC1.


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