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正切函数的图象和性质(1)


主讲:郑飘伶

一、复习旧知,以旧悟新:

一、复习旧知,以旧悟新:
1. 正切函数的定义?定义域?

一、复习旧知,以旧悟新:
1. 正切函数的定义?定义域?

2. 正切函数是否是一个周期函
数?若是,最小正周期是多少?

一、复习旧知,以旧悟新:
1. 正切函数的定义?定义域?

2. 正切函数是否是一个周期函
数?若是,最小正周期是多少?

? 定义域:x ? k? ? (k ? Z) 2

周期:
sin( x ? ? ) ? sin x ? tan( x ? ? ) ? ? cos( x ? ? ) ? cos x ? tan x ( x ? R, 且x ? k? ? ? y ? tanx ( x ? R, 且x ? k? ? 的周期为T ? ?

?
2

, k ? Z) , k ? Z)

?
2

(最小正周期)

二、提出问题,确定目标:

二、提出问题,确定目标:
怎样画正切函数的图象?

二、提出问题,确定目标:
怎样画正切函数的图象? 由于正切函数是周期函数, 且它

的最小正周期为π,因此可以考虑先
在一个周期内作出正切函数的图象.

怎样确定正切函数的一个周期呢?

怎样确定正切函数的一个周期呢?
因为 y ? tanx 的定义域为: {x | x ? k? ?

?
2

, ( k ? Z )}, 所以可以确定一个

周期为 ( ?

? ?
2 2 ,

).

思 考:
能否像画正弦函数的图象一样,
借助三角函数线来画出正切函数的 图象?

三、动手操作,画出图象:

三、动手操作,画出图象:
作出y ? tanx在区间( ? , )上的图象: 2 2

? ?

三、动手操作,画出图象:
作出y ? tanx在区间( ? , )上的图象: 2 2 y

? ?

?

?
2
o

? x
2

三、动手操作,画出图象:
作出y ? tanx在区间( ? , )上的图象: 2 2 y

? ?

?

?
2
o

? x
2

三、动手操作,画出图象:
作出y ? tanx在区间( ? , )上的图象: 2 2 y

? ?

?

?
2
o

? x
2

三、动手操作,画出图象:
作出y ? tanx在区间( ? , )上的图象: 2 2 y

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2
o

? x
2

三、动手操作,画出图象:
作出y ? tanx在区间( ? , )上的图象: 2 2 y

? ?

?

?
2
o

? x
2

三、动手操作,画出图象:
作出y ? tanx在区间( ? , )上的图象: 2 2 y

? ?

?

?
2
o

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2

三、动手操作,画出图象:
作出y ? tanx在区间( ? , )上的图象: 2 2 y

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2
o

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2

三、动手操作,画出图象:
作出y ? tanx在区间( ? , )上的图象: 2 2 y

? ?

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2
o

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2

三、动手操作,画出图象:
作出y ? tanx在区间( ? , )上的图象: 2 2 y

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2
o

? x
2

三、动手操作,画出图象:
作出y ? tanx在区间( ? , )上的图象: 2 2 y

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2
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2

三、动手操作,画出图象:
作出y ? tanx在区间( ? , )上的图象: 2 2 y

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2

三、动手操作,画出图象:
作出y ? tanx在区间( ? , )上的图象: 2 2 y

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三、动手操作,画出图象:
作出y ? tanx在区间( ? , )上的图象: 2 2 y

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三、动手操作,画出图象:
作出y ? tanx在区间( ? , )上的图象: 2 2 y

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2

三、动手操作,画出图象:
作出y ? tanx在区间( ? , )上的图象: 2 2 y

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2

三、动手操作,画出图象:
作出y ? tanx在区间( ? , )上的图象: 2 2 y

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2

三、动手操作,画出图象:
作出y ? tanx在区间( ? , )上的图象: 2 2 y

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2

三、动手操作,画出图象:
作出y ? tanx在区间( ? , )上的图象: 2 2 y

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2
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2

三、动手操作,画出图象:
作出y ? tanx在区间( ? , )上的图象: 2 2 y

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2
o

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2

三、动手操作,画出图象:
作出y ? tanx在区间( ? , )上的图象: 2 2 y

? ?

?

?
2
o

? x
2

根据正切函数的周期性, 把上 述图象向左、 右扩展,得到正切函数 y ? tanx ( x ? R, 且x ? k? ? 的图象, 称“正切曲线” .

?
2

( k ? Z ))

根据正切函数的周期性, 把上 述图象向左、 右扩展,得到正切函数 y ? tanx ( x ? R, 且x ? k? ? 的图象, 称“正切曲线” .

?
2

( k ? Z ))

y
3? ? 2
?

?
2

?

??

o

2

?

3? 2

x

y
3? ? 2
?

?
2

?

??

o

2

?

3? 2

x

正切曲线是被一组平行直线x ? k? ? ( k ? Z ) 所隔开的无穷支曲线组成 .

?
2

四、观察归纳,总结性质:

四、观察归纳,总结性质:
观察正切曲线的特点, 归纳其性质:

四、观察归纳,总结性质:
观察正切曲线的特点, 归纳其性质:
1. 定义域:______________________ .

四、观察归纳,总结性质:
观察正切曲线的特点, 归纳其性质:

? { x | x ? ? k? , k ? Z } 1. 定义域:______________________ . 2

四、观察归纳,总结性质:
观察正切曲线的特点, 归纳其性质:

? { x | x ? ? k? , k ? Z } 1. 定义域:______________________ . 2
2. 值域:_________ .

四、观察归纳,总结性质:
观察正切曲线的特点, 归纳其性质:

? { x | x ? ? k? , k ? Z } 1. 定义域:______________________ . 2
R 2. 值域:_________ .

观 察:
当 x 从小于 k? ? x ? k? ?

?
2

( k ? Z),

?
2

时, tan x ? ??;

当 x 从大于 k? ? x ? k? ?

?
2

( k ? Z),

?
2

时, tan x ? ??

3. 周期性:________________ .

T ?? 3. 周期性:________________ .

T ?? 3. 周期性:________________ .
4. 奇偶性:_________________________ .

T ?? 3. 周期性:________________ .
tan( ? x ) ? ? tan x奇函数 . 4. 奇偶性:_________________________

T ?? 3. 周期性:________________ .
tan( ? x ) ? ? tan x奇函数 . 4. 奇偶性:_________________________

5. 单调性:_________________________ .

T ?? 3. 周期性:________________ .
tan( ? x ) ? ? tan x奇函数 . 4. 奇偶性:_________________________
2 2 k ? Z内,函数单调递增 . 5. 单调性:_________________________ 在开区间( ?

?

? k? ,

?

? k? )

五、理解性质,初步应用:
例1:求下列函数的定义域 : 1 (1) y ? 1 ? tan x 2 (2) y ? lg tan x ? 16 ? x

例2. 比较大小 2 3 (1) tan ?与tan ? 5 5 (2) tan2 与tan9

3? 例 3. 求函数y ? tan x ? tan( x ? ) 2 的周期与单调区间.

课堂练习: 课本P72

作 业

课本73面1、2、3、4、
5、6 (选择题做在书上)

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2006年上学期


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