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高中数学专题练习题集


高考等差、等比数列及其应用 【考纲要求】
1.考查数列的函数性及与方程、不等式相结合的数列综合题. 2.考查运用数列知识解决数列综合题的能力.

【课程类型】
一对一个性化教学

【教学建议】
数列是高中的重要内容,考试说明中,等差、等比数列都是 C 级要求,因而 考试题多为中等及以上难度,试题综合考查了函数与方程,分类讨论等数学思 想.填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式及等差、等比数 列的性质,考查运算求解能力;解答题综合性很强,不仅考查数列本身的知识而 且还涉及到函数、不等式、解析几何等方面的知识,基本上都是压轴题.因此希 望同事们多研究全国各省市高考题,精选精练,让学生学有所获,学有所思,学 有信心,克服数列难的思想。

【复习指导】
1.熟练等差数列与等比数列的基本运算. 2.数列中 a n 与 Sn 之间的互化关系也是高考的一个热点. 3.掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想,如“函数与方程” 、 “数形结 合” 、 “分类讨论” 、 “等价转化”等.

基础练习
1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 =_____. 4 1 [解析]数列 ?an an?1? 仍是等比数列,其首项是 a1a2 ? 8, 公比为 . 4

1.已知 ?a n ?是等比数列, a 2 ? 2,a5 ?

所以,

1 8[1 ? ( ) n ] 4 ? 32 (1 ? 4? n ) a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an ?1 ? 1 3 1? 4

2. 设 a1 ? 2 , an ?1 ? = .

a ?2 2 , bn ? n , n ? N * ,则数列 ?bn ? 的通项公式 bn an ? 1 an ? 1

[解析]数列 ?bn ? 是等比数列,则 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1

3.数列{an}满足 a1=2,a2=1,并且 100 项为 .

an-1-an an-an+1 = (n≥2),则数列{an}的第 an?an-1 an?an+1

[解析] 由已知可得:

1

an+1



2 1 ?1? = ,n≥2,∴ ? ? 是等差数列,∴a100= . an-1 an 50 ? an ? 1

一.若互不相等的实数 a, b, c 成等差数列, c, a, b 成等比数列, 且 a+3b+c=10, 则 a=________. [解析] 由 c,a,b 成等比数列可将公比记为 q,三个实数 a,b,c,待定为

cq,cq2,c.由实数 a、b、c 成等差数列得 2b=a+c,即 2cq2=cq+c,又等比数
列中 c≠0,所以 1 2q2-q-1=0,解一元二次方程得 q=1(舍去,否则三个实数相等)或 q=- , 2

a 5 又 a+3b+c=a+3aq+ =- a=10,所以 a=-4. q 2
5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=_______.

[解析] 本小题主要考查数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系,解题的突破口是用 an 表示 Sn. 3 3 由 Sn=2an+1=2(Sn+1-Sn)得 Sn+1= Sn,所以{Sn}是以 S1=a1=1 为首项, 为公比 2 2
?3? 的等比数列,所以 Sn= ? ? ?2?
n ?1

.

考向一

等差数列与等比数列的综合应用

【例 1】设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 通项公式. 解 : ( I ) 由
a1 ? 1,

(II)求数列 {an } 的



Sn?1 ? 4an ? 2

, 有

a1 ? a2 ? 4a1 ? 2,

a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,?b1 ? a2 ? 2a1 ? 3
由 Sn?1 ? 4an ? 2 , . . .① 则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 . . . . .②

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又?bn ? an?1 ? 2an ,? bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列. (II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

a an?1 an 3 } 是首项为 ? n ? ? 数列 { n n?1 2n 2 2 4 a 1 3 3 1 1 3 ? ? (n ? 1) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 ,公差为 的等比数列. ? n n 2 2 4 4 4 2 4
第(I)问思路明确,只需利用已知条件寻找 bn与bn?1的关系即可 .

第(II)问中由(I)易得 an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,这个递推式明显是一个构造新数 列的模型: an?1 ? pan ? qn ( p, q为常数),主要的处理手段是两边除以 q n ?1 . 1 【巩固练习】 1.已知等比数列{an}的公比 q=- . 2 1 (1)若 a3= ,求数列{an}的前 n 项和; 4 (2)证明:对任意 k∈N+,ak,ak+2,ak+1 成等差数列. 1 1 解:(1)由 a3=a1q2= 及 q=- ,得 a1=1,所以数列{an}的前 n 项和 Sn= 4 2

1 2 ? (? ) n ?1 2 3
(2)证明:对任意 k∈N+, 2ak+2-(ak+ak+1)=2a1qk+1-(a1qk-1+a1qk)=a1qk-1(2q2-q-1), 1 由 q=- 得 2q2-q-1=0,故 2ak+2-(ak+ak+1)=0. 2 所以,对任意 k∈N+,ak,ak+2,ak+1 成等差数列.

2 . 设 ?an ? 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 , Sn 为 其 前 n 项 和 , 满 足
2 2 2 2 a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,S7 ? 7

(1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (2)试求所有的正整数 m ,使得
2 2

amam?1 为数列 ?an ? 中的项. am?2
2 2

解: (1)设公差为 d ,则 a2 ? a5 ? a4 ? a3 , 由 性 质 得 ?3d (a4 ? a , 因 为 d ? 0 , 所 以 a4 ? a3 ? 0 , 即 3 ) ? d( a 4 ? a 3 )

2a1 ? 5d ? 0,又由 S7 ? 7 得 7a1 ? 7 ? 6 d ? 7 ,解得 a1 ? ?5 ,
2

d ? 2 所以 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 7 ,前 n 项和 Sn ? n2 ? 6n 。
(二) am am?1 ? ( 2m ? 7 )( 2m ? 5 ) , am? 2 ( 2m ? 3 ) 令 2m ? 3 ? t ,

8 am am?1 ( t ? 4 )( t ? 2 ) ? t ? ? 6 , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ? am? 2 t t 8 ?6?3, t

因为 t 是奇数,所以 t 可取的值为 ?1 ,当 t ? 1 , m ? 2 时, t ?

8 t ? ?1 , m ? 1 时, 2?5 ? 7 ? 3, 是数列 ?an ? 中的项; 数列 ?an ? t ? ? 6 ? ?15 , t
中的最小项是 ?5 ,不符合.所以满足条件的正整数 m ? 2 .

.

考向二

数列与函数的综合应用

【例 2】 .在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数 列,将这 n ? 2 个数的乘积记作 Tn ,再令 an ? lg Tn, n≥ 1. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? tan an ?tan an?1 , 求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .

解: (I)设 l1 , l 2 ,?, l n?2 构成等比数列,其中 t1 ? 1, t n?2 ? 100, 则

Tn ? t1 ? t 2 ??? t n?1 ? t n?2 , Tn ? t n?1 ? t n?2 ??? t 2 ? t1 ,

① ②

2 ①?②并利用 t1t n?3?i ? t1t n?2 ? 10 (1 ? i ? n ? 2),得

Tn2 ? (t1t n?2 ) ? (t 2t n?1 ) ??? (t n?1t 2 ) ? (t n?2t1 ) ? 102( n?2) ,? an ? lg Tn ? n ? 2, n ? 1.
(II)由题意和(I)中计算结果,知 bn ? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3), n ? 1.
k ? 1) ? k ) ? 另一方面,利用 tan1 ? tan(( tan(k ? 1) ? tan k , 1 ? tan(k ? 1) ? tan k

得 tan( k ? 1) ? tan k ?
n n?2 k ?3

tan( k ? 1) ? tan k ? 1. tan 1

所以 S n ? ? bk ?? tan(k ? 1) ? tan k
k ?1

tan(k ? 1) ? tan k ? 1) tan1 k ?3 tan(n ? 3) ? tan3 ? ? n. tan1 ? ?(
n?2

本题考查等比和等差数列,指数和对数的运算,两角差的正切公式等 基本知识,考查灵活运用知识解决问题的能力,综合运算能力和创新思维能力. 【巩固练习】 设函数 f(x)=(x-3)3+x-1, {an}是公差不为 0 的等差数列, f(a1) +f(a2)+?+f(a7)=14,则 a1+a2+?+a7=_________ [解析] 记公差为 d,则 f(a1)+f(a2)+?+f(a7) =(a1-3)3+(a2-3)3+?+(a7-3)3+(a1+a2+?+a7)-7 =(a4-3d-3)3+(a4-2d-3)3+?+(a4+2d-3)3+(a4+3d-3)3+7a4-7 =7(a4-3)3+7?3(a4-3)+7a4-7. 由已知,7(a4-3)3+7?3(a4-3)+7a4-7=14,即 7(a4-3)3+7?3(a4-3) +7(a4-3)=0, ∴(a4-3)3+4(a4-3)=0.因为 f(x)=x3+4x 在 R 上为增函数, 且 f(0)=0, 故 a4-3=0,即 a4=3,∴a1+a2+?+a7=7a4=7?3=21.

考向三

数列与不等式的综合应用

热身:设 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列, a2 , a4 , a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________. 【答案】 3 3 【例 3】 已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足:an+1=

an+bn ,n∈N*. 2 2 an+bn

bn ? b ? (1)设 bn+1=1+ ,n∈N*,求证:数列 ?( n ) 2 ? 是等差数列; an ? an ?
一、 设 bn+1= 2? ,n∈N*,且{an}是等比数列,求 a1 和 b1 的值.

bn an

(2)因为 an>0,bn>0,所以 从而 1<an+1=

?an+bn?2 2 2 ≤a2 n+bn<(an+bn) , 2 (*)

an+bn ≤ 2. 2 a2 n+bn

设等比数列{an}的公比为 q,由 an>0 知 q>0.下证 q=1. 若 q>1,则 a1= <a2≤ 2,故当 n>logq

a2 q

2

a1

时,an+1=a1qn> 2,与(*)矛盾;

a2 1 若 0<q<1,则 a1= >a2>1,故当 n>logq 时,an+1=a1qn<1,与(*)矛盾. q a1
综上,q=1,故 an=a1(n∈N*),所以 1<a1≤ 2. 又 bn+1= 2? = 若 a1≠ 2,则 2

bn an

2

a1

?bn(n∈N*),所以{bn}是公比为

2

a1

的等比数列.

a1

>1,于是 b1<b2<b3.

a1+bn a1±a2 2-a2 1 1 又由 a1= 2 得 bn= ,所以 b1,b2,b3 中至少有两项相同, 2 2 a1-1 a1+bn
矛盾.

a1±a2 2-a2 1 1 所以 a1= 2,从而 bn= = 2.所以 a1=b1= 2. 2 a1-1
解决此类问题要抓住一个中心——函数,两个密切联系:一是数列和 函数之间的密切联系, 数列的通项公式是数列问题的核心,函数的解析式是研究 函数问题的基础;二是方程、不等式与函数的联系,利用它们之间的对应关系进 行灵活的处理. 【巩固练习】1.已知{an}为等比数列,下面结论中正确的是_______. (1).a1+a3≥2a2
2 2 (2).a2 1+a3≥2a2

(3).若 a1=a3,则 a1=a2

(4).若

a3>a1,则 a4>a2
[解析] 本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式,选(2). 2. 已知等比数列 {an } 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是 ______.
1? 1 [解析]:∵等比数列 {an }中 a2 ? 1 ∴ S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a2 ? ?1 ? q ? ? ? 1 ? q ? ? q? q

∴当公比 q ? 0 时, S3 ? 1 ? q ? 1 ? 1 ? 2 q ? 1 ? 3 ;
q q
? 1? 1? 当公比 q ? 0 时, S3 ? 1 ? ? ? ? q ? ? ? 1 ? 2 ? q ? ? ? ? ? ?1 q? ? ? q?

∴ S3 ? ? ??, ?1? ? ?3, ??? .

3.等差数列 ?a n ? 中,已知 a8 ? 15 , a9 ? 13 ,则 a12 的取值范围是 答案: (??, 7]

拓展1. ( 2012 年 高 考 ( 广 东 理 ) ) 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 满 足
2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 , n ? N* ,

且 a1 、 a2 ? 5 、 a 3 成等差数列.(Ⅰ)求 a1 的值;(Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有
1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

?2a1 ? a2 ? 3 ? 1.解析:(Ⅰ)由 ?2 ? a1 ? a2 ? ? a3 ? 7 ,解得 a1 ? 1 . ? ?2 ? a2 ? 5 ? ? a1 ? a3
n ? 1 ( Ⅱ ) 由 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 可 得 2Sn?1 ? an ? 2 ( n ? 2 ), 两 式 相 减 , 可 得

2an ? an?1 ? an ? 2n , 即 an?1 ? 3an ? 2n , 即 an?1 ? 2n?1 ? 3? an ? 2n ? , 所以数列 ?an ? 2n ?

( n ? 2 )是一个以 a2 ? 4 为首项,3 为公比的等比数列.由 2a1 ? a2 ? 3 可得, a2 ? 5 , 所以 an ? 2n ? 9 ? 3n?2 ,即 an ? 3n ? 2n ( n ? 2 ),当 n ?1 时, a1 ? 1 ,也满足该式子,所 以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 3n ? 2n . (Ⅲ)因为 3n ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n ,所以 3n ? 2n ? 3n?1 ,所以
?1? 1? ? ? n 1 1 1 1 1 ? 3 ? ? 3 ?1 ? ? 1 ? ? ? 3 . 于是 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 a1 a2 an 3 3n ?1 2? ? ?3? ? ? 2 1? 3
n

1 1 ? n ?1 , an 3

【考纲要求】
1.考查数列的函数性及与方程、不等式相结合的数列综合题. 2.考查运用数列知识解决数列综合题的能力.

【课程类型】
一对一个性化教学

【教学建议】
数列是高中的重要内容,考试说明中,等差、等比数列都是 C 级要求,因而 考试题多为中等及以上难度,试题综合考查了函数与方程,分类讨论等数学思 想.填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式及等差、等比数 列的性质,考查运算求解能力;解答题综合性很强,不仅考查数列本身的知识而 且还涉及到函数、不等式、解析几何等方面的知识,基本上都是压轴题.因此希 望同事们多研究全国各省市高考题,精选精练,让学生学有所获,学有所思,学 有信心,克服数列难的思想。

【复习指导】
1.熟练等差数列与等比数列的基本运算.

2.数列中 a n 与 Sn 之间的互化关系也是高考的一个热点. 3.掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想,如“函数与方程” 、 “数形结 合” 、 “分类讨论” 、 “等价转化”等.

基础练习
1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 =_____. 4 1 [解析]数列 ?an an?1? 仍是等比数列,其首项是 a1a2 ? 8, 公比为 . 4

1.已知 ?a n ?是等比数列, a 2 ? 2,a5 ?

所以,

1 8[1 ? ( ) n ] 4 ? 32 (1 ? 4? n ) a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an ?1 ? 1 3 1? 4

2. 设 a1 ? 2 , an ?1 ? = .

a ?2 2 , bn ? n , n ? N * ,则数列 ?bn ? 的通项公式 bn an ? 1 an ? 1

[解析]数列 ?bn ? 是等比数列,则 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1

3.数列{an}满足 a1=2,a2=1,并且 100 项为 .

an-1-an an-an+1 = (n≥2),则数列{an}的第 an?an-1 an?an+1

[解析] 由已知可得:

1

an+1



2 1 ?1? = ,n≥2,∴ ? ? 是等差数列,∴a100= . an-1 an 50 ? an ? 1

二.若互不相等的实数 a, b, c 成等差数列, c, a, b 成等比数列, 且 a+3b+c=10, 则 a=________. [解析] 由 c,a,b 成等比数列可将公比记为 q,三个实数 a,b,c,待定为

cq,cq2,c.由实数 a、b、c 成等差数列得 2b=a+c,即 2cq2=cq+c,又等比数
列中 c≠0,所以 1 2q2-q-1=0,解一元二次方程得 q=1(舍去,否则三个实数相等)或 q=- , 2

a 5 又 a+3b+c=a+3aq+ =- a=10,所以 a=-4. q 2

5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=_______.

[解析] 本小题主要考查数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系,解题的突破口是用 an 表示 Sn. 3 3 由 Sn=2an+1=2(Sn+1-Sn)得 Sn+1= Sn,所以{Sn}是以 S1=a1=1 为首项, 为公比 2 2
?3? 的等比数列,所以 Sn= ? ? ?2?
n ?1

.

考向一

等差数列与等比数列的综合应用

【例 1】设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 通项公式. 解 : ( I ) 由
a1 ? 1,

(II)求数列 {an } 的



Sn?1 ? 4an ? 2

, 有

a1 ? a2 ? 4a1 ? 2,

a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,?b1 ? a2 ? 2a1 ? 3
由 Sn?1 ? 4an ? 2 , . . .① 则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 . . . . .②

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又?bn ? an?1 ? 2an ,? bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列. (II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

a an?1 an 3 } 是首项为 ? n ? ? 数列 { n n?1 2n 2 2 4 a 1 3 3 1 1 3 ? ? (n ? 1) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 ,公差为 的等比数列. ? n n 2 2 4 4 4 2 4
第(I)问思路明确,只需利用已知条件寻找 bn与bn?1的关系即可 .

第(II)问中由(I)易得 an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,这个递推式明显是一个构造新数 列的模型: an?1 ? pan ? qn ( p, q为常数),主要的处理手段是两边除以 q n ?1 . 1 【巩固练习】 1.已知等比数列{an}的公比 q=- . 2

1 (1)若 a3= ,求数列{an}的前 n 项和; 4 (2)证明:对任意 k∈N+,ak,ak+2,ak+1 成等差数列. 1 1 解:(1)由 a3=a1q2= 及 q=- ,得 a1=1,所以数列{an}的前 n 项和 Sn= 4 2

1 2 ? (? ) n ?1 2 3
(2)证明:对任意 k∈N+, 2ak+2-(ak+ak+1)=2a1qk+1-(a1qk-1+a1qk)=a1qk-1(2q2-q-1), 1 由 q=- 得 2q2-q-1=0,故 2ak+2-(ak+ak+1)=0. 2 所以,对任意 k∈N+,ak,ak+2,ak+1 成等差数列. 2 . 设 ?an ? 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 , Sn 为 其 前 n 项 和 , 满 足
2 2 2 2 a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,S7 ? 7

(1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (2)试求所有的正整数 m ,使得
2 2

amam?1 为数列 ?an ? 中的项. am?2
2 2

解: (1)设公差为 d ,则 a2 ? a5 ? a4 ? a3 , 由 性 质 得 ?3d (a4 ? a , 因 为 d ? 0 , 所 以 a4 ? a3 ? 0 , 即 3 ) ? d( a 4 ? a 3 )

2a1 ? 5d ? 0,又由 S7 ? 7 得 7a1 ? 7 ? 6 d ? 7 ,解得 a1 ? ?5 ,
2

d ? 2 所以 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 7 ,前 n 项和 Sn ? n2 ? 6n 。
(三) am am?1 ? ( 2m ? 7 )( 2m ? 5 ) , am? 2 ( 2m ? 3 ) 令 2m ? 3 ? t ,

8 am am?1 ( t ? 4 )( t ? 2 ) ? t ? ? 6 , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ? am? 2 t t 8 ?6?3, t

因为 t 是奇数,所以 t 可取的值为 ?1 ,当 t ? 1 , m ? 2 时, t ?

8 t ? ?1 , m ? 1 时, 2?5 ? 7 ? 3, 是数列 ?an ? 中的项; 数列 ?an ? t ? ? 6 ? ?15 , t
中的最小项是 ?5 ,不符合.所以满足条件的正整数 m ? 2 .

.

考向二

数列与函数的综合应用

【例 2】 .在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数 列,将这 n ? 2 个数的乘积记作 Tn ,再令 an ? lg Tn, n≥ 1. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? tan an ?tan an?1 , 求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . 解: (I)设 l1 , l 2 ,?, l n?2 构成等比数列,其中 t1 ? 1, t n?2 ? 100, 则

Tn ? t1 ? t 2 ??? t n?1 ? t n?2 , Tn ? t n?1 ? t n?2 ??? t 2 ? t1 ,

① ②

2 ①?②并利用 t1t n?3?i ? t1t n?2 ? 10 (1 ? i ? n ? 2),得

Tn2 ? (t1t n?2 ) ? (t 2t n?1 ) ??? (t n?1t 2 ) ? (t n?2t1 ) ? 102( n?2) ,? an ? lg Tn ? n ? 2, n ? 1.
(II)由题意和(I)中计算结果,知 bn ? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3), n ? 1.
k ? 1) ? k ) ? 另一方面,利用 tan1 ? tan(( tan(k ? 1) ? tan k , 1 ? tan(k ? 1) ? tan k

得 tan( k ? 1) ? tan k ?
n n?2 k ?3

tan( k ? 1) ? tan k ? 1. tan 1

所以 S n ? ? bk ?? tan(k ? 1) ? tan k
k ?1

tan(k ? 1) ? tan k ? 1) tan1 k ?3 tan(n ? 3) ? tan3 ? ? n. tan1 ? ?(
n?2

本题考查等比和等差数列,指数和对数的运算,两角差的正切公式等 基本知识,考查灵活运用知识解决问题的能力,综合运算能力和创新思维能力.

【巩固练习】 设函数 f(x)=(x-3)3+x-1, {an}是公差不为 0 的等差数列, f(a1) +f(a2)+?+f(a7)=14,则 a1+a2+?+a7=_________ [解析] 记公差为 d,则 f(a1)+f(a2)+?+f(a7) =(a1-3)3+(a2-3)3+?+(a7-3)3+(a1+a2+?+a7)-7 =(a4-3d-3)3+(a4-2d-3)3+?+(a4+2d-3)3+(a4+3d-3)3+7a4-7 =7(a4-3)3+7?3(a4-3)+7a4-7. 由已知,7(a4-3)3+7?3(a4-3)+7a4-7=14,即 7(a4-3)3+7?3(a4-3) +7(a4-3)=0, ∴(a4-3)3+4(a4-3)=0.因为 f(x)=x3+4x 在 R 上为增函数, 且 f(0)=0, 故 a4-3=0,即 a4=3,∴a1+a2+?+a7=7a4=7?3=21.

考向三

数列与不等式的综合应用

热身:设 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列, a2 , a4 , a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________. 【答案】 3 3 【例 3】 已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足:an+1=

an+bn ,n∈N*. 2 2 an+bn

bn ? b ? (1)设 bn+1=1+ ,n∈N*,求证:数列 ?( n ) 2 ? 是等差数列; an ? an ?
二、 设 bn+1= 2? ,n∈N*,且{an}是等比数列,求 a1 和 b1 的值.

bn an

?an+bn?2 2 2 2 (2)因为 an>0,bn>0,所以 ≤an+bn<(an+bn) , 2 从而 1<an+1=

an+bn ≤ 2. 2 a2 n+bn

(*)

设等比数列{an}的公比为 q,由 an>0 知 q>0.下证 q=1. 若 q>1,则 a1= <a2≤ 2,故当 n>logq

a2 q

2

a1

时,an+1=a1qn> 2,与(*)矛盾;

a2 1 若 0<q<1,则 a1= >a2>1,故当 n>logq 时,an+1=a1qn<1,与(*)矛盾. q a1
综上,q=1,故 an=a1(n∈N ),所以 1<a1≤ 2. 又 bn+1= 2? = 若 a1≠ 2,则 2
*

bn an

2

a1

?bn(n∈N*),所以{bn}是公比为

2

a1

的等比数列.

a1

>1,于是 b1<b2<b3.

a1+bn a1±a2 2-a2 1 1 又由 a1= 2 得 bn= ,所以 b1,b2,b3 中至少有两项相同, 2 2 a1-1 a1+bn
矛盾.
2 a1±a2 2-a1 1 所以 a1= 2,从而 bn= = 2.所以 a1=b1= 2. a2 1-1

解决此类问题要抓住一个中心——函数,两个密切联系:一是数列和 函数之间的密切联系, 数列的通项公式是数列问题的核心,函数的解析式是研究 函数问题的基础;二是方程、不等式与函数的联系,利用它们之间的对应关系进 行灵活的处理. 【巩固练习】1.已知{an}为等比数列,下面结论中正确的是_______. (1).a1+a3≥2a2
2 2 (2).a2 1+a3≥2a2

(3).若 a1=a3,则 a1=a2

(4).若

a3>a1,则 a4>a2
[解析] 本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式,选(2). 2. 已知等比数列 {an } 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是 ______.
1? 1 [解析]:∵等比数列 {an }中 a2 ? 1 ∴ S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a2 ? ?1 ? q ? ? ? 1 ? q ? ? q? q

∴当公比 q ? 0 时, S3 ? 1 ? q ? 1 ? 1 ? 2 q ? 1 ? 3 ;
q q
? 1? 1? 当公比 q ? 0 时, S3 ? 1 ? ? ? ? q ? ? ? 1 ? 2 ? q ? ? ? ? ? ?1 q? ? ? q?

∴ S3 ? ? ??, ?1? ? ?3, ??? .

3.等差数列 ?a n ? 中,已知 a8 ? 15 , a9 ? 13 ,则 a12 的取值范围是 答案: (??, 7]

拓展2. ( 2012 年 高 考 ( 广 东 理 ) ) 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 满 足
2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 , n ? N* ,

且 a1 、 a2 ? 5 、 a 3 成等差数列.(Ⅰ)求 a1 的值;(Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有
1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

?2a1 ? a2 ? 3 ? 2.解析:(Ⅰ)由 ?2 ? a1 ? a2 ? ? a3 ? 7 ,解得 a1 ? 1 . ? ?2 ? a2 ? 5 ? ? a1 ? a3
n ? 1 ( Ⅱ ) 由 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 可 得 2Sn?1 ? an ? 2 ( n ? 2 ), 两 式 相 减 , 可 得

2an ? an?1 ? an ? 2n , 即 an?1 ? 3an ? 2n , 即 an?1 ? 2n?1 ? 3? an ? 2n ? , 所以数列 ?an ? 2n ?

( n ? 2 )是一个以 a2 ? 4 为首项,3 为公比的等比数列.由 2a1 ? a2 ? 3 可得, a2 ? 5 , 所以 an ? 2n ? 9 ? 3n?2 ,即 an ? 3n ? 2n ( n ? 2 ),当 n ?1 时, a1 ? 1 ,也满足该式子,所 以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 3n ? 2n . (Ⅲ)因为 3n ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n ,所以 3n ? 2n ? 3n?1 ,所以
?1? 1? ? n ? 3 ? ? 3 ?1 ? ? 1 ? ? ? 3 . 于是 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 a1 a2 an 3 3n ?1 2? ? 2 ? ?3? ? 1? 3
n

1 1 ? n ?1 , an 3

高考基本不等式的应用

【课程类型】一对一 【课时设置】6 小时 【教学建议】本专题题目选自高考真题,高考模拟题,都是中等题和难题,适
合提优。

【知识梳理】
1.基本不等式 如果 a>0,b>0,那么 ab≤

a+b
2

(当且仅当 a=b 时取“=”).

2.基本不等式的推广与变形

? a,b∈R+, ab≤

a+b
2
2



a2+b2
2



a?b? ≤ ? a,b∈R,ab≤ ? ? ? ? 2 ?

a2+b2
2

.

3.极值定理 已知 x、y∈R+,x+y=P,xy=S.有下列命题: (1)如果 S 是定值,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值 2 S; (2)如果 P 是定值,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值 ; 4 (3)应用此结论求最值时要注意三个条件: ①各项均为正;②积或和为定值; ③各项都能取得相等的值,简单地说“一正,二定,三相等” .

P2

【题型归纳】
题型 1.用极值定理求最值 例 1 已知 f(x)=log2(x-2),若实数 m,n 满足 f(m)+f(2n)=3,则 m+n 的最小值是_______.

【解析】 方法一:由 log2(m-2)+log2(2n-2)=3,得(m-2)(n-1)=4,

则 m=

4

n-1

+2,所以 m+n=

4

n-1

+2+n=

4

n-1

+(n-1)+3≥2 4+3=7(当且

仅当“n=3”时,取等号),故 m+n 的最小值为 7. 方法二:由 log2(m-2)+log2(2n-2)=3,得(m-2)(n-1)=4, 又
(m ? 2) ? (n ? 1) ? (m ? 2)( n ? 1) ? 4 (当且仅当“m=4,n=3”时,取等号),即 m 2

+n≥7. 【点评】 二元最值问题可根据条件反映的二者之间的关系,然后代入消元 后,转化为一元最值如 y=ax+ 类型的问题进行研究,也可以直接用基本不等 式求最小值,应该注意“积”定的两个变量,这类问题主要是利用极值定理来求 解. 【迁移训练】不等式 a2+3b2≥λ b(a+b)对任意 a、b∈R 恒成立,则实数λ 的最大值为____. 【解析】因为要求λ 的最大值,所以只需要考查 b(a+b)>0 的情况. ?a?2 ? ? +3 ?b?

b x

假设 b(a+b)>0,所以由 a2+3b2≥λ b(a+b)? λ ≤

a +3b = , ab+b2 a +1 b

2

2

设 +1=t>0,设 h(t)=

a b

(t ? 1) 2 ? 3 4 ? t ? ? 2 ? 2 (当 t=2 时取等号). t t

∴h(t)的最小值为 2,故λ 的最大值为 2.

题型 2.用基本不等式将等式转化为不等式求最值 例 2 已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是 【解析】解法一: .

? x ? 2y ? 2 x ? 2 y ? 8 ? x ? (2 y ) ? 8 ? ? ? ,整理得 ?x ? 2 y ? ? 4?x ? 2 y ? ? 32 ? 0 ? 2 ?
即 ?x ? 2 y ? 4??x ? 2 y ? 8? ? 0 ,又 x ? 2 y ? 0 ,? x ? 2 y ? 4 . 解法二:同例 1,转化为一元最值问题. 【点评】 用基本不等式将等式转化为不等式求最值主要指用放缩的思想将条件

2

里的等式转化为题目要研究的量的不等式,然后通过求不等式的解集来解决问 题. 【迁移训练】 设 x, y 为实数, 若 4x2+y2+xy=1, 则 2x+y 的最大值是________. 3 【解析】 ∵4x2+y2+xy=1, ∴(2x+y)2-3xy=1, 即(2x+y)2- ? 2xy=1, 2 3 ?2x+y?2 8 2 10 ? ≤1,解之得(2x+y) 2≤ ,即 2x+y≤ ∴(2x+y)2- ?? . 2 ? 2 ? 5 5 题型 3.用基本不等式推广形式求最值 例 3 若x ? 0, y ? 0, x ? y ? a x ? y恒成立, 求a的最小值 . 【解析】由基本不等式推广形式知

x? y ? 2

x? y x? y 即 ? 2 , 故a ? 2. 2 x? y

【点评】需要将 x ? y 向x ? y 转化时应考虑到基本不等式推广形式

a+b
2



a2+b2
2

.
2 xy 的最大值. x? y?2

【迁移训练】已知x ? 0, y ? 0, x 2 ? y 2 ? 8, 求

【解析】由条件知 ( x ? y) 2 ? 4 ? 2 xy即 题型 4.多元最值问题

2 xy x2 ? y 2 ? x? y?2? 2 ? 2 ? 2. x? y?2 2

例 4 若实数 x, y, z, t 满足 1≤x≤y≤z≤t≤10000, 则 + 的最小值为________. 【解析】 欲使 + 值越小,必须使分子 x 最小,分母 t 最大,从而取 x=1,t

x z y t

x z y t

x z 1 =10000,得 + = +

z

y t y 10000

≥2

z
10000y



1 50

z 1 1 ≥ ,所以最小值为 . y 50 50

【点评】 本题含有四个变量, 只有通过极端原理, 将其中两个变量确定后, 再由基本不等式求最小值.对未知数的认识,可以是一个字母,也可以是一个整 式.多元问题在处理时方法有三种:一是消元;二是整体思想;三是运用极端假 设法去掉某些元素,最终实现减少变元的目的.

1?? 1? 1 1 ? 【迁移训练】已知正实数 x,y,z 满足 2x(x+ + )=yz,则?x+ ??x+ ?的最 y z? y z ? ?? 小值为_____. 1 1? x x yz ? 【解析】 由题知 2x?x+ + ?=yz,即 x2+ + = , y z y z 2 ? ? B
C

2

1? ? 1? x Ex 1 yz 1 ? 于 是 可 将 给 定 代 数 式 化 简 得 ?x+ ? ?x+ ? = x2 + + + = + ≥ y z y z yz 2 yz ? ?? ? D A O yz 1 ? = 2,当且仅当 yz= 2时取等号. 2 yz

题型 5.基本不等式在其他数学问题中的应用 例 5 如图,圆心角为 120o 的扇形 AOB 的半径为 1,C 为 ? AB 的中点,点 D、E 分别 在半径 OA、OB 上,若 CD 2 ? CE 2 ? DE 2 ? 【解析】 (解法一)由余弦定理得 CD
2

26 ,则 OD ? OE 的最大值是 9

.

? x2 ? 1 ? x ,

CE 2 ? y 2 ? 1 ? y , DE 2 ? x 2 ? y 2 ? xy ,
2 2 2 由 CD ? CE ? DE ?

26 得: 9

2( x 2 ? y 2 ) ? ( x ? y ) ? xy ?
2 ∴ 2( x ? y ) ? ( x ? y ) ?

8 , 9

4 8 8 x? y 2 ? 3xy ? ? 3( ) ,解得 0 ? x ? y ? , 3 9 9 2

所以 x ? y ?

2 4 时, x ? y 的最大值为 . 3 3

???? ???? 2 ??? ? ???? 2 ??? ? ???? 2 26 ( OD ? OC ) ? ( OE ? OC ) ? ( OE ? OD) ? (解法二) , 9

???? 2 ??? ?2 ???? ??? ? ???? ??? ? 8 2(OD ? OE ) ? (| OD | ? | OE |)? | OD || OE |? , 9

2( x 2 ? y 2 ) ? ( x ? y ) ? xy ?

8 9

, 以下同解法一.

【点评】 基本不等式作为求最值的一种重要的工具,可以结合很多数学知识来考 察, 解决问题的关键是根据掌握的数学知识将问题转化为前面 4 种题型里的一种 来处理.

x2 y 2 【迁移训练】设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 恒过定点 A(1, 2) ,则椭圆的中心到 a b
准线的距离的最小值 【解析】由题设知 .

a2 1 4 4a 2 2 d ? ? ? 1, ? b ? ,∴椭圆的中心到准线的距离 , c a 2 b2 a2 ?1
a4 a 2 (a 2 ? 1) , ? 2a 2 a2 ? 5 2 a ? 2 a ?1
(t ? 5)(t ? 4) 20 ?t? ?9 ? 9?4 5 , (当且仅当 t ? 2 5 时 t t

由d2 ?

a4 a4 ? ? c2 a 2 ? b2

令 a2 ? 5 ? t (t ? 0) 得 d 2 ? 取等号)

∴ d ? 2 ? 5 即椭圆的中心到准线的距离的最小值 2 ? 5 题型 6.与基本不等式有关的实际问题 例 6 按照某学者的理论, 假设一个人生产某产品单件成本为 a 元,如果他卖出该 产品的单价为 m 元,则他的满意度为 的满意度为

m m+a

;若他买进该产品的单价为 n 元,则他

a

n+a

, 如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 h1 和 h2,

则他对这两种交易的综合满意度为 h1h2. 现假设甲生产 A,B 两种产品的单价成本分别为 12 元和 5 元,乙生产 A,B 两种产品的单价成本分别为 3 元和 20 元,设产品 A,B 的单价分别为 mA 元和 mB 元,甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h 甲,乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为

h 乙.
3 (1)求 h 甲和 h 乙关于 mA,mB 的表达式;当 mA= mB 时,求证:h 甲=h 乙; 5

3 (2)设 mA= mB,当 mA,mB 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大? 5 最大的综合满意度为多少? (3)设(2)中的最大综合满意度为 h0,试问能否适当选取 mA,mB 的值,使得 h


≥h0 和 h 乙≥h0 同时成立,但等号不同时成立?试说明理由. 【解析】设 mA=x,mB=y. (1)证明:甲买进产品 A 的满意度:h1 甲= 甲卖出产品 B 的满意度:h2 甲= 12 ; x+12

y y+5

. 12 y ? ; x+12 y+5

甲买进产品 A 和卖出产品 B 的综合满意度:h 甲=

同理,乙卖出产品 A 和买进产品 B 的综合满意度:h 乙= 当 x = 3 y 时 , h 5 = 12 y ? = x+12 y+5

x x+3
12

?

20 . y+20



3 y+12 5

?

y y+5



20y , ?y+20??y+5? 3 y 5 3 y+3 5

h 乙=

x x+3

?

20 = y+20

?

20 = y+20

20y ,故 ?y+20??y+5?

h 甲=h 乙.
3 (2) 当 x = y 时 , 由 (1) 知 h 5 20y = ?y+20??y+5? 20 100


=h





20y ,因为 ?y+20??y+5?

y+

y

+25

4 ≤ ,且等号成立当且仅当 y=10. 9

当 y=10 时,x=6,因此,当 mA=6,mB=10 时,甲、乙两人的综合满意度 2 均最大,且最大的综合满意度为 . 3 2 (3)由(2)知 h0= , 3





h



?

h





12 y x 20 ? ? ? x+12 y+5 x+3 y+20



12 20 4 ? ≤ , 36 100 9 x+ +15 y+ +25

x

y

2 2 2 所以,当 h 甲≥ ,h 乙≥ 时,有 h 甲=h 乙= . 3 3 3 因此,不能取到 mA,mB 的值,使得 h 甲≥h0 和 h 乙≥h0 同时成立,但等号不同 时成立. 【点评】 本题中的关键是对题干中的“满意度”和“综合满意度”的理解,建 立好对应的函数模型后,对于形如 y= 基本不等式求解值域. 【迁移训练】 心理学家研究某位学生的学习情况后发现:若这位学生刚学完 的知识存留量为 1, 则 x 天后的存留量 y1= 4 ;若在 t(t>0)天时进行第一次复 x+4

dx (a,d≠0)这样的函数,可以用 ax +bx+c
2

习, 则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍(复习的时间忽略不计),其后 存留量 y2 随时间变化的曲线恰好为直线的一部分,其斜率为

a
?t+4?2

(a<0),存

留量随时间变化的曲线如图 18-1 所示. 当进行第一次复习后的存留量与不复习 的存留量相差最大时,则称此时刻为“二次复习最佳时机点” . (1)若 a=-1, t=5, 求 “二次复习最佳时机点” ; (2)若出现了“二次复习最佳时机点” ,求 a 的取 值范围.

【解析】 设第一次复习后的存留量与不复习的存留量 之差为 y, 由题意知,y2=

a
?t+4?
2

(x-t)+

8 (t>4), t+4 8 4 - (t>4). t+4 x+4

所以 y=y2-y1=

a
?t+4?
2

(x-t)+

(1)当 a=-1,t=5 时,

y=
5 = , 9

-1 8 4 -?x+4? 4 - = - + 1 ≤- 2 2 (x - 5) + ?5+4? 5+4 x+4 81 x+4

4 +1 81

当且仅当 x=14 时取等号, 所以“二次复习最佳时机点”为第 14 天. 3)y =

a
?t+4?
2

(x - t) +

8 4 -a?x+4? 4 8 - =- - + - 2 t+4 x+4 ?t+4? x+4 t+4

a?t+4? 2 ?t+4?
≤-2 当且仅当 由题意 -4a 8-a , 2+ ?t+4? t+4 -a?x+4? 4 2 即 x= (t+4)-4 时取等号, 2 = ?t+4? x+4 -a

2 (t+4)-4>t,所以-4<a<0. -a

【方法与技巧】
1.不等式的应用主要有两类: (1)一类是不等式在其他数学问题中的应用,主要是求字母的取值范围,这 类问题所进行的必须是等价转化.注意沟通各知识点之间的内在联系,活用不等 式的概念、方法,融会贯通. (2)一类是解决与不等式有关的实际问题,这类问题首先应认真阅读题目, 理解题目的意义, 注意题目中的关键词和有关数据,然后将实际问题转化为数学 问题,即数学建模,再运用基本不等式的有关知识加以解决. 2.对于函数 y= +bx(a>0,b>0)的值域,主要依据基本不等式及函数的单 调性.应用基本不等式求最值,有两个注意点,一是等号不成立时,要研究函数 的单调性;二是基本不等式只能求最大值或最小值,不能求出完整值域.

a x

【强化训练】
1.设 x,y,z 为正实数,满足 x-2y+3z=0,则 【解析】 由 x-2y+3z=0 得 y=

y2 的最小值是________. xz

x+3z
2

,代入

y2 得 xz

x2+9z2+6xz 6xz+6xz ≥ =3,当且仅当 x=3z 时取“=” . 4xz 4xz
2.设 a>b>0,则 a2+ 1

ab



1 的最小值是________. a?a-b?

【解析】 a 2 ?

1 1 1 1 ? = a 2 ? ab ? ab ? ? ab a ? a ? b ? ab a(a ? b)

= ab ?

1 1 ≥2+2=4 ? a ( a ? b) ? ab a ( a ? b)
2 满足条件. 2

当且仅当 ab=1,a(a-b)=1 时等号成立如取 a= 2 ,b=

3.若 a,b,c>0,且 a2+ab+ac+bc=4,则 2a+b+c 的最小值为________. 【解析】 由题意, (a+b)(a+c)=4, (a+b)+(a+c)≥2 ?a+b???a+c? 4. 若x, y, z ? R? , xyz( x ? y ? z) ? 1, 则( x ? y)( y ? z)的最小值为________.

5.若实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是________. ?x+y?2 ? ≤1, 【解析】 ∵x2+y2+xy=1,∴(x+y)2-xy=1,即(x+y)2-? ? 2 ? 4 2 3 ∴(x+y)2≤ ,x+y≤ . 3 3 4.若正实数 x,y 【解析】18 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是 .

5.已 知 关 于 x 的 实 系 数 一 元 二 次 不 等 式 ax2 ? bx ? c≥0 (a ? b) 的 解 集 为 R , 则
M ? a ? 2b ? 4c 的最小值是 ______. b?a
a?0, 【解析】由题意得 b2 ? 4ac ≤ 0,

1? 2? b ? b a a a ? 2 ab ? 4 ac a ? 2 ab ? b ? 所以 M ? ≥ 2 b a(b ? a) ab ? a ?1 a
2 2 2

??

2



2 t 1 ? t ? 1 ?4 令 b ? t, 则 M ≥ t ? 2+ (t ? 1) , ? ?

a

t ?1

t ?1

即b ? 3a ?4 ≥ 2 4 4? 8 ? (当且仅当 t ? 3,

时等号成立) .

8.定义: min {x,y}为实数 x,y 中较小的数.已知 h ? min a, 2 b

?

a ? 4b2

? ,其中 a,

b 均为正实数,则 h 的最大值是______.
【解析】易得 h 2 ≤
ab 1 ? 1 ≤ ? 1 ,所以 h≤ 1 (当且仅当 a ? 4b 时 2 b a a 2 ? 4b 2 a ? 4b 2 a ? 4b 4 b a b a

取等号)

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 1.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0) ? x ? 0, y ? 0 ? 2 3 的最大值为 12,则 ? 的最小值为 . a b
【解析】 :不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z (a>0, b>0) 过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时, 目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而
25 2 3 2 3 2a ? 3b 13 b a 13 ? ?( ? )? ?2 ? ? =( ? ) 6 6 a b 6 6 a b a b

10.在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为 30 米的水底进行作业.其用 氧量包含 3 个方面:①下潜时,平均速度为 v (米/单位时间),单位时间内用氧量为
cv 2 ( c 为正常数);②在水底作业需 5 个单位时间,每个单位时间用氧量为 0.4;③

返回水面时,平均速度为

v (米/单位时间), 单位时间用氧量为 0.2.记该潜水员 2

在此次考古活动中,总用氧量为 y . (1)将 y 表示为 v 的函数; (2)设 0< v ≤5,试确定下潜速度 v ,使总的用氧量最少.

高考三角函数复习 该课程共计五次课(十个课时) ,主要内容为: 第一讲 任意角的三角函数及诱导公式 第二讲 三角函数的恒等变化 第三讲 三角函数的图像和性质 第四讲 平面向量 第五讲 解三角形 本教程把三角函数图像和性质从三角函数诱导公式中分离出来, 主要是因为大部 分学生针对三角函数的图像和性质重视度不够高, 造成在解三角函数题的时候只 是能够解决前面的基础问题,不能够得满分。 本课程针对高三基础较差学生、 艺体类成绩较好的学生进行设计,在课程中没有 设计相关训练和课后练习, 不过在例题的选择上都是相同知识点, 两道相关例题, 老师在使用的时候可以选择一道作为讲解,另一道作为学生训练使用。

第一讲 一、知识要点

任意角的三角函数及诱导公式

1.任意角的概念:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一 个位置所成的图形。一条射线由原来的位置 OA ,绕着它的端点 O 按逆时针方向 旋转到终止位置 OB ,就形成角 ? 。旋转开始时的射线 OA 叫做角的始边,OB 叫 终边,射线的端点 O 叫做叫 ? 的顶点。 2. 正角和负角: 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成 的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。 3.终边相同的角、区间角与象限角:角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的 非负半轴重合。那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第 几象限角。 要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个 象限,称为非象限角。终边相同的角是指与某个角α 具有同终边的所有角,它们 彼此相差 2kπ (k∈Z),即β ∈{β |β =2kπ +α ,k∈Z},根据三角函数的定义, 终边相同的角的各种三角函数值都相等。

4.弧度制:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角,记作 1 rad ,或 1 弧度,或 1(单位可以省略不写)。圆的周长为 C ? 2?R ,圆周所对的圆心角为
。 。 l ?| ? | r 360。 , 所以 2? ? 360 ,? ? 180 , 弧长公式: ( ? 是圆心角的弧度数) ,

扇形面积公式:

S?

1 1 l r ? |? | r2 2 2 。

5.三角函数定义: 如图,在△ABC 中,∠C=90°
n is ①锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦, 记为 sinA, 即 o c s A? ?A的对边 a ? 斜边 c ?A的邻边 b ? 斜边 c ?A的对边 a ? ?A的邻边 b
?A的邻边 b ? ?A的对边 a

A?

②锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦, 记为 cosA, 即
n a t A?

③锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切, 记为 tanA, 即
c o t A?

④锐角 A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切, 记为 cotA, 即

特殊角的三角函数: 0 sin cos tan cot 0 1 0 不存在
? 6
1 2

? 4
2 2
2 2

? 3
3 2
1 2
3

? 2

1 0 不存在 0

3 2 3 3
3

1 1

3 3

记忆方法:正弦特殊角的值分别是 三角函数定义:

0 2



1 2



2 2



3 2



4 2



2 2 在 ? 的终边上任取一点 P(x, y) ,它与原点的距离 r ? x ? y .过 P 作 x 轴的

垂 线 , 垂 足 为 M , 则 线 段 OM 的 长 度 为 x , 线 段 MP 的 长 度 为 y . 则

sin ? ?

OP x MP y OM x MP y ? ? ; cos? ? ? ; tan ? ? ? ;cot? ? MP y ; OP r OP r OM x

根据三角函数的定义可以得到: 正弦在一、 二象限为正, 余弦在一、 四象限为正、 正切在一、三象限为正,记忆方法:常用三角函数分别为正弦、余弦、正切,小 学学习书写比划分别是:横、竖、撇,特殊在第一象限都为正,所以分别以第一 象限画横、竖、撇,所过象限为正。或者:一全正,二正弦,三正切,四余弦。 6.同角三角函数关系式

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1
7.三角函数诱导公式



tan ? ?

sin ? cos?

可用十个字概括为“奇变偶不变,符号看象限” 。把需要化简的角度改写成

?
2

? k ? ? 的形式,针对 k 的奇偶性进行化简。

(1) sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . (2) sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . (3) sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? .

(4) sin ?? ? ? ? ? sin ? , c o ? , . s? ? ?? ? ? c o? s tan n ?? ? ?? ? ? t a?
? ?? ? ? (5) sin ? s ?? ? ? ? ? ? ? ? cos ? , c o ? ?2 ? ?2 ?

. s? in

? ?? ? ? (6) sin ? . s ? ? ? ? ? s? in ? ? ? ? ? cos ? , c o ? ?2 ? ?2 ?

二、典型例题: 题型 1:象限角 例 1.已知角 ? ? 45? ; (1)在区间 [?720?, 0? ] 内找出所有与角 ? 有相同终 边的角 ? ; 解析: (1)所有与角 ? 有相同终边的角可表示为: 45? ? k ? 360? (k ? Z ) , 则令
? 720? ? 45? ? k ? 360? ? 0? ,

得 ? 765? ? k ? 360? ? ?45? 解得 ?
765 45 ?k?? 360 360

从而 k ? ?2 或 k ? ?1 代回 ? ? ?675? 或 ? ? ?315? 点评:从终边相同的角的表示入手分析问题,先表示出所有与角 ? 有相同终 边的角,然后列出一个关于 k 的不等式,找出相应的整数 k ,代回求出所求解;

例 2.若 sinθ cosθ >0,则θ 在( A.第一、二象限 C.第一、四象限



B.第一、三象限 D.第二、四象限

解析:答案:B;∵sinθ cosθ >0,∴sinθ 、cosθ 同号。 当 sinθ >0,cosθ >0 时,θ 在第一象限,当 sinθ <0,cosθ <0 时,θ 在第 三象限,因此,选 B。 例 3. 若 A、 B 是锐角△ABC 的两个内角, 则点 P (cosB-sinA, sinB-cosA) 在( ) B.第二象限 C.第三象限 D. 第 四 象

A.第一象限

限 答案:B 解析:∵A、B 是锐角三角形的两个内角,∴A+B>90°,∴B>90°-A, ∴cosB<sinA,sinB>cosA,故选 B。

题型 2:三角函数定义 例 4.已知角 ? 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求 ? 的四个三角函数值。 解析:因为过点 (a, 2a)(a ? 0) ,所以 r ? 5 | a | , x ? a, y ? 2a 。 当 a ? 0时, sin ? ?

y 2a 2a 2 5 ; ? ? ? r 5 5|a| 5a

cos ? ?

x a 5a , tan ? ? 2 。 ? ? r 5 5a x a 5a y 2a 2a 2 5 , cos ? ? ? ; ?? ? ? ?? r ? 5a 5 r 5 5 | a | ? 5a

当 a ? 0时, sin ? ?
tan ? ? 2 。

例 5.已知角 ? 的终边上一点 P(? 3, m) ,且 sin ? ? 值。

2m ,求 cos ? ,sin ? 的 4

解析:由题设知 x ? ? 3 , y ? m ,所以 r 2 ?| OP |2 ? (? 3)2 ? m2 , 得 r ? 3 ? m2 , 从而 sin ? ?
2m m m , ? ? 4 r 3 ? m2

解得 m ? 0 或 16 ? 6 ? 2m2 ? m ? ? 5 。 当 m ? 0 时, r ? 3, x ? ? 3 , cos ? ?
x y ? ?1, tan ? ? ? 0 ; r x

x 6 y 15 当 m ? 5 时, r ? 2 2, x ? ? 3 , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? ; r 4 x 3 x 6 y 15 当 m ? ? 5 时, r ? 2 2, x ? ? 3 , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? 。 r 4 x 3

题型 3:诱导公式 例 6. tan300°+ A.1+ 3
cos4050 的值是( sin 4050

) D.-1+ 3

B.1- 3

C.-1- 3

解析:答案:B tan300°+

cos4050 cos(3600 ? 450 ) = tan(360 °- 60 ° ) + =- sin 4050 sin(3600 ? 450 )

cos 450 tan60°+ =1- 3 。 sin 450

例 7.化简: (1)

? sin(180? ? ? ) ? sin(?? ) ? tan(360? ? ? ) ; tan(? ? 180? ) ? cos(?? ) ? cos(180? ? ? )
sin(? ? n? ) ? sin(? ? n? ) (n ? Z ) 。 sin(? ? n? ) cos(? ? n? )
sin ? ? sin ? ? tan ? tan ? ?? ? ?1 ; tan ? ? cos ? ? cos ? tan ?

(2)

解析: (1)原式 ?

(2)①当 n ? 2k , k ? Z 时,原式 ?

sin(? ? 2k? ) ? sin(? ? 2k? ) 2 ? 。 sin(? ? 2k? ) cos(? ? 2k? ) cos ?

②当 n ? 2k ? 1, k ? Z 时,原式 ?

sin[? ? (2k ? 1)? ] ? sin[? ? (2k ? 1)? ] 2 ?? 。 sin[? ? (2k ? 1)? ]cos[? ? (2k ? 1)? ] cos ?

点评:关键抓住题中的整数 n 是表示 ? 的整数倍与公式一中的整数 k 有区别,所 以必须把 n 分成奇数和偶数两种类型,分别加以讨论。 题型 4:同角三角函数的基本关系式 例 8.已知 合。 解析:∵

1 ? sin ? 1? sin? ? ? ?2 tan ? ,试确定使等式成立的角 ? 的集 1 ? sin ? 1? sin?

1 ? sin ? 1 ? sin ? (1 ? sin ? )2 (1 ? sin ? )2 ? ? , ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? cos2 ? cos2 ?

=

|1 ? sin ? | |1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 2sin ? ? = = 。 | cos ? | | cos ? | | cos ? | | cos ? |

又∵

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? ?2 tan ? , 1 ? sin ? 1 ? sin ?



2sin ? 2 sin ? ? ? 0, | cos ? | cos ?
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即得 sin ? ? 0 或 | cos? |? ? cos ? ? 0

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所以,角 ? 的集合为: {? | ? ? k? 或 2k? ?

?

2 2?cos ? ? sin ? ? cos ? sin ? ? ? 例 9. (1)证明: ; 1 ? sin ? ? cos ? 1 ? sin ? 1 ? cos ? cos x 1 ? sin x ? (2)求证: 。 1 ? sin x cos x

? ? ? 2k? ?

3? , k ? Z}。 2

解析: (1)分析:证明此恒等式可采取常用方法,也可以运用分析法,即要 证
A C ? ,只要证 A?D=B?C,从而将分式化为整式 B D
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cos? ? cos2 ? ? sin ? ? sin 2 ? 证法一:右边= ?1 ? sin ? ??1 ? cos? ?
=
?

?cos ? ? sin ? ??1 ? cos ? ? sin ? ?
1 ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ?

2?cos? ? sin ? ??1 ? cos? ? sin ? ? 2?1 ? sin ? ? cos? ? sin ? cos? ? 2?cos? ? sin ? ??1 ? cos? ? sin ? ? ? 2 1 ? sin ? ? cos2 ? ? 2 sin ? ? 2 cos? ? 2 sin ? cos?

=

2?cos? ? sin ? ??1 ? sin ? ? cos? ? ? 左边 ?1 ? sin ? ? cos? ?

证法二:要证等式,即为
2?cos? ? sin ? ? ?cos? ? sin ? ??1 ? sin ? ? cos? ? ? ?1 ? sin ? ??1 ? cos? ? 1 ? sin ? ? cos?
o c ? )= ?1 ? sin ? ? cos? ?2 只要证 2( 1 ? sin ? ) (1 ? s

即证: 2 ? 2sin ? ? 2cos ? ? 2sin ? cos ?
2 sin ? ? 2 cos ? ? 2 sin ? cos ? ,

即 1= sin 2 ? ? cos2 ? ,显然成立, 故原式得证。

点评: 在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时, 需要仔细观察题目的特征, 灵活、 恰当地选择公式, 利用倒数关系比常规的 “化切为弦” 要简洁得多。 (2) 同角三角函数的基本关系式有三种,即平方关系、商的关系、倒数关系。 (2)证法一:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 。 ∴左边=
cos x(1 ? sin x) cos x(1 ? sin x) 1 ? sin x ? ? 右边。 ? cos x (1 ? sin x)(1 ? sin x) cos 2 x

∴原式成立。 证法二:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 。 又∵ (1 ? sin x)(1 ? sin x) ? 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? cos x ? cos x , ∴
cos x 1 ? sin x ? 。 1 ? sin x cos x

证法三:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 。
cos x 1 ? sin x cos x ? cos x ? (1 ? sin x)(1 ? sin x) cos2 x ? 1 ? sin 2 x ? ? ? ? 0, 1 ? sin x cos x (1 ? sin x)cos x (1 ? sin x)cos x



cos x 1 ? sin x ? 。 1 ? sin x cos x

点评: 证明恒等式的过程就是分析、 转化、 消去等式两边差异来促成统一的过程, 证明时常用的方法有: (1) 从一边开始, 证明它等于另一边 (如例 5 的证法一) ; (2)证明左右两边同等于同一个式子(如例 6) ; (3)证明与原式等价的另一 个式子成立,从而推出原式成立。 例 10. 已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π ),则 sin 2? = A. ? 1 B. ?
2 2

( D.1



C.

2 2

解析?sin ? ? cos? ? 2,?(sin ? ? cos ? )2 ? 2,?sin 2? ? ?1, 故选 A 点评:本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力, 属于容易题. 例 11.已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π ),则 tan ? = A. ? 1 B. ?
2 2

( D.1



C.

2 2

? ? 解析:方法一? sin ? ? cos ? ? 2,? 2 sin(? ? ) ? 2,? sin(? ? ) ? 1 4 4 3? ?? ? (0,? ),?? ? ,? tan ? ? ?1 ,故选 A 4
方法二:?sin ? ? cos? ? 2,?(sin ? ? cos ? )2 ? 2,?sin 2? ? ?1,
?? ? (0, ? ),? 2? ? (0, 2? ),? 2? ? 3? 3? ,?? ? ,? tan ? ? ?1 ,故选 A 2 4

【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质 以及转化思想和运算求解能力,难度适中.

第二讲 一、知识要点 1.两角和与差的三角函数

三角恒等变形及应用

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 。 1 ? tan ? tan ?

2.二倍角公式
sin 2? ? 2 sin ? cos ? ;
cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ;

tan 2? ?

2 tan ? 。 1 ? tan 2 ?

3.三角函数式的化简 常用方法:

? A.利用“奇变偶不变,符号看象限”把存在大于 2 的角度进行化简;
②利用 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ,
cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ,把和角进行展开,化简;

③ 逆用二倍角公式(降次公式)讲角度化成一样的, sin ? cos? ? 2 sin 2? ,

1

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? , cos 2 ? ? ; 2 2
b

④利用辅助角公式 a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 ? sin ? x ? ? ? , tan ? ? a , (a ? 0, b ? 0)

?x ? ?) 的形式。 将函数名化成一样的,最后结果出现 f (x) ? Asin(
二.典型例题 题型 1:两角和与差的三角函数 例 1.已知 sin ? ? sin ? ? 1, (? ? ?)的值。 cos? ? cos ? ? 0 ,求 cos 分析:因为 既可看成是 ?与?的和,也可以看作是 (? ? ?) 而可得到下面的两种解法。 解法一:由已知 sin ? +sin ? =1????①, cos ? +cos ? =0????②, ①2+②2 得 2+2cos (? ? ?) ? 1;
1 ?? 。 ∴ cos (? ? ?) 2

???
2

的倍角,因

①2-②2 得

cos2 ? +cos2 ? +2cos( ? ? ? )=-1,

即 2cos( ? ? ? ) 〔o c s (? ? ?) ? 1 〕=-1。 ∴ cos?? ? ? ? ? ?1。
? 1 ????③ 2 2 ??? ??? cos ? 0 ????④ 由②得 2 cos 2 2 ??? ? 0, ④÷③得 cot 2 ??? ??? 1 ? tan2 cot2 ?1 2 2 ? cos?? ? ? ? ? ? ? ?1 ??? ??? 1 ? tan2 cot2 ?1 2 2

解法二:由①得 2 sin

???

cos

???

点评:此题是给出单角的三角函数方程,求复角的余弦值,易犯错误是利用 方程组解 sin ? 、cos ? 、 sin ? 、 cos ? ,但未知数有四个,显然前景并不 乐观,其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系 本题关键在于化和
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为积促转化,“整体对应”巧应用。 例 2.已知 tan ?, 求 tan ? 是方程x2 ? 5x ? 6 ? 0的两个实根根,

2sin2 ?? ? ? ? ? 3sin ?? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos2 ?? ? ? ?的值 。
分析:由韦达定理可得到 tan ? ? tan ? 及 tan ? ? tan ?的值, 进而可以求出

tan ?? ? ? ? 的值,再将所求值的三角函数式用 tan ?? ? ? ? 表示便可知其值。
解法一:由韦达定理得 tan ? ? tan ? ? 5, tan? ? tan ? ? 6 , 所以 tan ?? ? ? ? ?
tan? ? tan ? 5 ? ? ?1. 1 ? tan? ? tan ? 1 ? 6

2sin 2 ?? ? ? ? ? 3sin ?? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos 2 ?? ? ? ? 原式 ? sin 2 ?? ? ? ? ? cos 2 ?? ? ? ? ? 2 tan 2 ?? ? ? ? ? 3 tan ?? ? ? ? ? 1 2 ?1 ? 3 ? ? ?1? ? 1 ? ?3 tan 2 ?? ? ? ? ? 1 1?1

解法二:由韦达定理得 tan ? ? tan ? ? 5, tan? ? tan ? ? 6 , 所以 tan ?? ? ? ? ?
tan? ? tan ? 5 ? ? ?1. 1 ? tan? ? tan ? 1 ? 6

3 于是有? ? ? ? k? ? ? ? k ? Z ? , 4

3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 1 ? ? 原式 ? 2sin 2 ? k? ? ? ? ? sin ? 2k? ? ? ? ? cos 2 ? k? ? ? ? ? 1 ? ? ? 3 。 4 ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 2 ? ?

点评: (1)本例解法二比解法一要简捷,好的解法来源于熟练地掌握知识的 系统结构,从而寻找解答本题的知识“最近发展区”。 (2)运用两角和与差角三 角函数公式的关键是熟记公式, 我们不仅要记住公式,更重要的是抓住公式的特 征,如角的关系,次数关系,三角函数名等 抓住公式的结构特征对提高记忆公
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式的效率起到至关重要的作用, 而且抓住了公式的结构特征,有利于在解题时观 察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征, 联想到相应的公 式,从而找到解题的切入点。 (3)对公式的逆用公式,变形式也要熟悉,如

cos?? ? ? ? cos ? ? sin ?? ? ? ?sin ? ? cos?, tan?? ? ? ??1 ? tan? tan ? ? ? tan? ? tan ?,

tan?? ? ? ? tan? tan ? ? tan?? ? ? ? ? tan? ? tan ?, tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ? tan? tan ? ? tan?? ? ? ?。

题型 2:二倍角公式 例 3.化简下列各式: (1)
? 1 1 1 1 ? 3? ?? ? ? cos 2? ? ? ?? , 2? ? ? ? ?, 2 2 2 2 ? 2 ?? ?

(2)

cos2 ? ? sin 2 ? 。 ?? ? ? 2?? 2 cot? ? ? ? cos ? ? ? ? ?4 ? ?4 ?

? 分析: (1)若注意到化简式是开平方根和 2 ?是?的二倍, ?是 的二倍, 以及 2
其范围不难找到解题的突破口; (2)由于分子是一个平方差,分母中的角

?
4

?? ?

?
4

?? ?

?
2

,若注意到这两大特征, ,不难得到解题的切入点。

解析: (1)因为

3? 1 1 ? ? ? 2?,所以 ? cos2? ? cos? ? cos? , 2 2 2

又因

3? ? 1 1 ? ? ? ? ?,所以 ? cos? ? sin ? sin , 4 2 2 2 2 2

所以,原式= sin (2)原式=

?
2



cos 2? cos 2? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 2 tan? ? ? ? cos2 ? ? ? ? 2 sin ? ? ? ? cos? ? ? ? ?4 ? ?4 ? ?4 ? ?4 ?

=

cos 2? cos 2? ? ? 1。 ?? ? cos 2? sin ? ? 2? ? ?2 ?

点评: (1) 在二倍角公式中, 两个角的倍数关系, 不仅限于 2 ? 是 ? 的二倍,

? ? 要熟悉多种形式的两个角的倍数关系, 同时还要注意 2?, ? ?, ? ? 三个角的内 4 4
?? ? ?? ? ?? ? 在联系的作用, cos 2? ? sin? ? 2? ? ? 2 sin? ? ? ? cos? ? ? ? 是常用的三角变换。 ?2 ? ?4 ? ?4 ?

(2) 化简题一定要找准解题的突破口或切入点, 其中的降次, 消元, 切割化弦,

异名化同名,异角化同角是常用的化简技巧。 (3)公式变形 cos ? ?
cos 2 ? ? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? 。 2 2

sin 2? , 2 sin ?

7 sin 2 x ? 2 cos2 x ?? ? 3 17 例 4.若 cos? ? x ? ? , ? ? x ? ? , 求 的值 。 4 1 ? tan x ?4 ? 5 12
?? ? ? ?? ? ? 分析:注意 x ? ? ? x ? ? ,及2 x ? 2 ? ? x ? ? 的两变换,就有以下的两 ?4 ? 4 ?4 ? 2

种解法。 解法一:由
17 7 5 ? ? ? x ? ?,得 ? ? x ? ? 2? , 12 4 3 4

4 ?? ? 3 ?? ? 又因cos ? ? x ? ? , sin ? ? x ? ? ? . 5 ?4 ? 5 ?4 ?

?? ? ? 2 ? ?? ?? ? ?? ? ? cos x ? cos ?? ? x ? ? ? ? cos ? ? x ? cos ? sin ? ? x ? sin ? ? , 4 4 10 ? 4? ?4 ? ?4 ? ?? 4
从而 sin x ? ? 7 2 , tan x ? 7. 10
2

? 7 2? ? 2? ? 7 2? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? 10 10 10 ? 2sin x cos x ? 2sin 2 x 28 ? ? ? ? ? 原式 ? ? ?? . 1 ? tan x 1? 7 75

解法二: 原式 ?

2sin x cos x ?1 ? tan x ? ?? ? ? sin 2 x ? tan ? ? x ? , 1 ? tan x ?4 ?

? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? 7 而sin 2 x ? sin ?2 ? ? x ? ? ? ? ? cos 2 ? ? x ? ? ? ?2cos2 ? ? x ? ? 1? ? ?4 ? ? 4 ? ? 25 ? ? 4 ? 2? ?
?? ? sin ? ? x ? ?? ? ?4 ? ? ? 4, tan ? ? x ? ? 3 ?4 ? cos ? ? ? ' x ? ? ? ?4 ?
所以,原式 ? 7 ? 4? 28 ?? ? ? ? ? . 25 ? 3 ? 75

? ? 3 ?? ? 3 点评: 此题若将 cos ? ? x ? ? 的左边展开成 cos ? cos x ? sin sin x ? 再求 cosx, 4 4 5 ?4 ? 5

sinx 的值,就很繁琐, 把

?

?? ? ? ? x作为整体 ,并注意角的变换 2? ? ? x ? ? ? 2 x, 4 ?4 ? 2
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运用二倍角公式,问题就公难为易,化繁为简 所以在解答有条件限制的求值问
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题时, 要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系,一般方法是拼角 与拆角, 如 2? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?,

2? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?, 2? ? ? ? 2?? ? ? ? ? ?, 2? ? ? ? 2?? ? ? ? ? ? ,

? ? ?? ? ? ? ? ?,? ? ?? ? ? ? ? ?,? ? ?? ? ? ? ? ?,? ? ??? ? ? ? ? ? 等。
题型 3:辅助角公式

a sin
例 5.已知正实数 a,b 满足

5 ? tan 8? ,求 b 的值 。 ? ? 15 a a cos ? b sin 5 5 5

?

? b cos

?

分析:从方程 的观点考虑,如果给等式左边的分子、分母同时除以 a,则
b b 已知等式可化为关于 的方 程,从而可求出由 ,若注意到等式左边的分子、分 a a

母都具有 a sin ? ? b cos ? 的结构,可考虑引入辅助角求解。

b ? 8 cos sin ? 5 a 5 ? 15 ? 解法一:由题设得 ? b ? 8 cos ? sin cos ? 5 a 5 15 sin ?
8 ? 8 ? sin ? 8 ? ? ? ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin b ? 15 5? ? 15 5 15 5 ? ? ? tan ? 3. 8 ? 8 ? ?? a 3 ?8 cos ? ? cos ? sin ? ? sin cos? ? ? ? 15 5 15 5 5? ? 15 sin
解法二: 因为a sin

?

?
5

? b cos

?

?? ? ? a 2 ? b2 sin ? ? ? ?, 5 ?5 ?

b ?? ? ? a 2 ? b 2 cos ? ? ? ?,其中 tan ? ? , 5 5 a ?5 ? 8? ?? ? 由题设得 tan ? ? ? ? ? tan . 15 ?5 ? ? 8 ? 所以 ? ? ? k? ? ?,即? ? k? ? , 5 15 3 b ?? ? ? 故 ? tan ? ? tan ? k? ? ? ? tan ? 3. a 3? 3 ? a cos ? b sin

?

?

? b tan ? 8 解法三: 原式可变形为: 5 a ? tan ?, b ? 15 1 ? tan a 5
tan ? tan ? b 8 ?? ? 5 令 tan ? ? ,则有 ? tan ? ? ? ? ? tan ?, ? a 15 ?5 ? 1 ? tan ? ? tan 5 ? 8 ? 由此可? ? ? k? ? ? ? k ? Z ? , 所以? ? k? ? , ?k ? Z ? 5 15 3 ?? ? b ? 故 tan ? ? tan ? k? ? ? ? tan ? 3,即 ? 3 3? 3 a ?

?

点评:以上解法中,方法一用了集中变量的思想,是一种基本解法;解法二 通过模式联想,引入辅助角,技巧性较强,但辅助角公式
b? ? a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b 2 sin ?? ? ? ? , ? 其中 tan ? ? ? ,或 a sin ? ? b cos ? a? ?
a? ? ? a 2 ? b2 cos ?? ? ? ?,其中 tan ? ? ? 在历年高考中使用频率是相当高的,应加 ? b? ?

以关注;解法三利用了换元法,但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点, 所以解法三最佳。 例 6.已知函数 y= cos2x+

1 2

3 sinxcosx+1,x∈R. 2

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (1)解析:y=

1 3 cos2x+ sinxcosx+1 2 2



1 1 3 (2cos2x-1)+ + (2sinxcosx)+1 4 4 4



1 3 5 cos2x+ sin2x+ 4 4 4 5 1 ? ? (cos2x?sin +sin2x?cos )+ 4 6 6 2 5 1 ? sin(2x+ )+ 4 6 2





y 取得最大值必须且只需 2x+

?
6



?
2

+2kπ ,k∈Z,

即 x=

?
6

+kπ ,k∈Z。

所以当函数 y 取得最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= 题型 4:三角函数式化简 例 7.求 sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值。

?
6

+kπ , k ∈ Z } 。

解析: 原式= (1-cos40°) + (1+cos100°) + (sin70°-sin30°)

1 2

1 2

1 2

=1+

1 1 1 (cos100°-cos40°)+ sin70°- 2 2 4



1 3 -sin70°sin30°+ sin70° 2 4 1 3 1 3 - sin70°+ sin70°= 。 2 4 2 4
?



点评:本题考查三角恒等式和运算能力。

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 . 例 8.已知函数 f ( x) ? cos x
(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域;
4 (Ⅱ)设 ? 的第四象限的角,且 tan ? ? ? ,求 f (? ) 的值。 3 ? 解析: (Ⅰ)由 cos x ? 0 得 x ? k? ? (k ? Z ) , 2

? ? 故 f ( x) 在定义域为 ? x x ? k? ? , k ? Z ? , 2 ?
4 (Ⅱ)因为 tan ? ? ? ,且 ? 是第四象限的角, 3 4 3 所以 sin ? ? ? , cos ? ? , 5 5

1 ? 2 sin(2? ? ) 4 ? 故 f ( x) ? cos ?
1 ? 2( 2 2 sin 2? ? cos 2? ) 2 2 cos ?

?

?
?

1 ? sin 2? ? cos 2? cos ?

?

2 cos 2 ? ? 2sin ? cos ? cos ?

? 2(cos ? ? sin ? )

?

14 。 5

题型 5:三角函数求值 例 9 . 求函数 y =2 cos( x ? 解析: y=cos(x+

?
4

) cos( x ?

?
4

) + 3 sin 2x 的值域和最小正周期。

? ? ? ) cos(x- )+ 3 sin2x=cos2x+ 3 sin2x=2sin(2x+ ), 4 4 6 ? ? ∴函数 y=cos(x+ ) cos(x- )+ 3 sin2x 的值域是[-2,2],最小正周期是 4 4
π。 题型 6:三角函数化简 例 10:已知函数 f ( x) ? cos 2
x x x 1 ? sin cos ? . 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 f (? ) ?
3 2 ,求 sin 2? 的值. 10
x x x 1 ? sin cos ? 2 2 2 2

[解析](1)由已知,f(x)= cos 2
1 1 1 ? ( 1 ? cosx ) ? sinx ? 2 2 2

?

2 ? cos(x ? ) 2 4

? 2 ,2 ? 所以 f(x)的最小正周期为 2 ? ,值域为 ?? , ? ? ? 2 2 ?

(2)由(1)知,f( ? )= 所以 cos( ? ?

2 ? 3 2 cos(? ? ) ? , 2 4 10

?
4

?

3 ). 5

所以 sin 2? ? ?cos (
2 ? 1 ? 2cos( ??

?

?
4

2

? 2?) ? ?cos ( 2 ??
18 7 ? , 25 25

?
4



) ? 1?

[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公 式等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化等数学思想. 例 11: 设函数 f ( x) ? sin2 ? x ? 2 3sin ? x cos ? x ? cos2 ? x ? ?( x ? R) 的图像关于直
1 线 x ? ? 对称,其中 ? , ? 为常数,且 ? ? ( ,1) 2

(1) 求函数 f ( x) 的最小正周期;

? (2) 若 y ? f ( x) 的图像经过点 ( , 0) ,求函数 f ( x) 的值域. 4 2? 1 解析:(Ⅰ) T ? ? 10? ,所以 ? ? . ? 5
?1 ? 5 ? 5 ? ?? ?? 6 ? (Ⅱ) f ? ? 5? ? ? ? ? 2cos ? ? 5? ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ?2sin ? ? ? , 所 以 3 5 3 6 2 5 ? ? ? ? ? ? ? ?

sin ? ?

3 . 5

8 ?1 ? 5 ? 5 ? ?? 16 ? ,所以 cos ? ? .因 f ? 5? ? ? ? ? 2cos ? ? 5? ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? 6 ? 6 ? 6? 17 17 ? ?5 ?

4 15 ? ?? 为 ? 、 ? ? ?0, ? ,所以 cos? ? 1 ? sin 2 ? ? , sin ? ? 1 ? cos2 ? ? , 5 17 ? 2?

所以 cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? ?

4 8 3 15 13 ? ? ?? . 5 17 5 17 85

第三讲

三角函数的图象与性质

一.知识要点 1.正弦函数的图像

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

? ?? ? y ? sin x 的递增区间是 ?2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?
? 3? ? ? 递减区间是 ?2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) ; 2 2? ?
,对称中心为 (k? ,0) y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ? ? 2
k ?Z ;

2.余弦函数的图像

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2 -

y
? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

4?

x

y ? cos x 的递增区间是 ?2k? ? ?, 2k? ? (k ? Z ) ,

2k? ? ? ? (k ? Z ) , 递减区间是 ?2k?,
y ? cos x 的对称轴为 x ? k? ,对称中心为 (k? ? ? ; 2 ,0)

3.正切函数的图像
y

y

y=tanx

y=cotx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

2?

x

? ?? ? y ? tan x 的递增区间是 ? k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?
(其中A ? 0,? ? 0) 4.函数 y ? Asin(?x ? ?) ? B

最大值是 A ? B ,最小值是 B ? A ,周期是 T ?

2?

?

,频率是 f ?

?x ? ? ,初相是 ? ;其图象的对称轴是直线 ?x ? ? ? k? ?
与直线 y ? B 的交点都是该图象的对称中心。

?
2

? ,相位是 2?

(k ? Z ) ,凡是该图象

5.由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ω x+ ? )的图象一般有两个途径,只 有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时, 提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现
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无论哪种变形, 请切记每一个变换总是对字母 x 而言, 即图象变换要看“变量”

起多大变化,而不是“角变化”多少。 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0=平移| ? |个单位,再将 图象上各点的横坐标变为原来的
1

?

倍(ω >0),便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 左( ? >0)或向右( ? <0=平移
|? | 1

?

倍(ω >0),再沿 x 轴向

?

个单位,便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。

6.由 y=Asin(ω x+ ? )的图象求其函数式: 给出图象确定解析式 y=Asin(ω x+ ? )的题型,有时从寻找“五点”中的第一 零点(-
? ,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准 第一个零点的位置。 .. ?

7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式, 要特别注意 A、 ? 的正负 利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在
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同一单调区间;

?x ? ?) ? B 相关的形式: 8.函数 f (x) ? Asin(
? ? 递增区间是 2k? ? 2 ? ?x ? ? ? 2k? ? 2 (k ? Z ) ,
? 3? 递减区间是 2k? ? 2 ? ?x ? ? ? 2k? ? 2
? 对称轴为 ?x ? ? ? k? ? 2 , (k ? Z )

(k ? Z ) ;

二.典型例题 题型 1:三角函数的图象 例 1.函数 y=-xcosx 的部分图象是( )

解析:因为函数 y=-xcosx 是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除

A、C,当 x∈(0,

?
2

)时,y=-xcosx<0。答案为 D。 )

例 2.函数 y=x+sin|x|,x∈[-π ,π ]的大致图象是(

解析:由奇偶性定义可知函数 y=x+sin|x|,x∈[-π ,π ]为非奇非 偶函数。选项 A、D 为奇函数,B 为偶函数,C 为非奇非偶函数。 点评: 利用函数的性质来描绘函数的图象, 这样既有利于掌握函数的图象与性质, 又能熟练地运用数形结合的思想方法。 题型 2:三角函数图象的变换 例 3.试述如何由 y= sin(2x+
1 3
π )的图象得到 y=sinx 的图象。 3

解析:y= sin(2x+

1 3

π ) 3

1 π 2倍 ?横坐标扩大为原来的 ???????? ?? y ? sin (x ? ) 纵坐标不变 3 3
图象向右平移 个单位 1 ??????3 ???? y ? sin x 纵坐标不变 3 π

3倍 ?纵坐标扩大到原来的 ???????? ?? y ? sin x 横坐标不变

另法答案: (1)先将 y= sin(2x+ 象; (2)再将 y= sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得
1 3 1 3
π π 1 )的图象向右平移 个单位,得 y= sin2x 的图 3 6 3

y= 1 sinx 的图象;
3

(3)再将 y= sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍(横坐标不变) ,即 可得到 y=sinx 的图象。 例 4.把曲线 ycosx+2y-1=0 先沿 x 轴向右平移 移 1 个单位,得到的曲线方程是( )

1 3

?
2

个单位,再沿 y 轴向下平

A. (1-y)sinx+2y-3=0 C. (y+1)sinx+2y+1=0
解析:将原方程整理为:y=

B. (y-1)sinx+2y-3=0
D.-(y+1)sinx+2y+1=0

1 ,因为要将原曲线向右、向下分别移 2 ? cos x
1



?
2

个单位和 1 个单位, 因此可得 y=

2 ? cos( x ? ) 2

?

-1 为所求方程.整理得 (y+1)

sinx+2y+1=0. 点评: 本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有 深刻理解,可直接化为: (y+1)cos(x- 题型 3:三角函数图象的应用

?
2

)+2(y+1)-1=0,即得 C 选项。

例 5.已知电流 I 与时间 t 的关系式为 I ? A sin(?t ? ? ) 。 (1)右图是 I ? A sin(?t ? ? ) (ω >0, | ? |?

?
2



I
300

在一个周期内的图象,根据图中数据求 I ? A sin(?t ? ? ) 的解析式; (2)如果 t 在任意一段
1 秒的时间内,电流 150
1 900

o

1 180

t

-300

I ? A sin(?t ? ? ) 都能取得最大值和最小值,那么 ω 的最小正整数值是多少?

解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识, 考查运算能力和 逻辑推理能力. (1)由图可知 A=300。 设 t1=-
1 1 ,t2= , 900 180 1 1 1 + )= 。 180 900 75

则周期 T=2(t2-t1)=2( ∴ ω=

2? =150π 。 T 1 1 又当 t= 时,I=0,即 sin(150π ? + ? )=0, 180 180

而 | ? |?

?

? 故所求的解析式为 I ? 300sin(150? t ? ) 。 6 1 2? 1 (2)依题意,周期 T≤ ,即 ≤ , (ω >0) 150 ? 150
∴ ω ≥300π >942,又 ω ∈N*, 故最小正整数 ω =943。 点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言.其中,读图、识图、用 图是形数结合的有效途径。 例 6. (1)已知函数 f(x)=Asin(ω x+ ? ) (A>0, ω >0,x∈R)在一个周期内的图象如图所示,求直 线 y= 3 与函数 f(x)图象的所有交点的坐标。 解析:根据图象得 A=2,T=


2

, ∴ ?=

? 。 6

7 ? π -(- )=4π , 2 2

∴ω =

1 x ,∴y=2sin( + ? ) , 2 2

又由图象可得相位移为-

?
2

, ∴-

?
1 2

=-

?
2

, ∴? =

?
4

.即 y=2sin (

1 ? x+ ) 。 2 4

根据条件 3 =2sin (

? 1 ? 1 ? 1 ? , ∴ x ? =2kπ + (k∈Z)或 x ? =2kπ + x? ) 3 2 4 2 4 2 4

2 π (k∈Z) , 3
∴x=4kπ +

?
6

(k∈Z)或 x=4kπ +

5 π (k∈Z) 。 6

∴所有交点坐标为(4kπ +

?
6

, 3 )或(4kπ +

5? , 3) (k∈Z) 。 6

点评:本题主要考查三角函数的基本知识,考查逻辑思维能力、分析和解决问题 的能力。 (2)在(0,2π )内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围为( )

A. (

?
4



? 5? )∪(π , ) 2 4
5? ) 4

B. (

?
4

,π )

C. (

?
4



D. (

?
4

,π )∪(

5? 3? , ) 4 2

解析:C; 解法一:作出在(0,2π )区间上正弦和余弦函数的图象,解出两交点的横 坐标

?
4



5? ,由图 1 可得 C 答案。 4

图1

图2

解法二:在单位圆上作出一、三象限的对角线,由正弦线、余弦线知应选 C。 (如图 2) 题型 4:三角函数的定义域、值域 例 7.设函数 f ( x) ? sin2 ? x ? 2 3sin ? x cos ? x ? cos2 ? x ? ?( x ? R) 的图像关于直
1 线 x ? ? 对称,其中 ? , ? 为常数,且 ? ? ( ,1) 2

(1) 求函数 f ( x) 的最小正周期;

? (2) 若 y ? f ( x) 的图像经过点 ( , 0) ,求函数 f ( x) 的值域. 4
解析(1)因为
f ( x) ? sin 2 ? x ? cos 2 ? x ? 2 3 sin ? x cos ? ? ? ? ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? ? ? 2sin(2? x ? ) ? ? 6

?

? 由直线 x ? ? 是 y ? f ( x) 图像的一条对称轴,可得 sin(2? x ? ) ? ?1 6 ? ? k 1 所以 2? x ? ? k? ? (k ? Z ) ,即 ? ? ? (k ? Z ) 6 2 2 3 6? 1 5 又 ? ? ( ,1), k ? Z ,所以 k ? 1 时, ? ? ,故 f ( x) 的最小正周期是 . 5 2 6 ? ? (2)由 y ? f ( x) 的图象过点 ( , 0) ,得 f ( ) ? 0 4 4 5 ? ? ? 即 ? ? ?2sin( ? ? ) ? ?2sin ? ? 2 ,即 ? ? ? 2 6 2 6 4 5 ? 故 f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 2 ,函数 f ( x) 的值域为 [2 ? 2, 2 ? 2] . 3 6

【点评】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归, 运算求解的能力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛 ,它在 三角恒等变形中占有重要的地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周 期,一般运用公式 T ?

2?

?

来求解;求三角函数的值域,一般先根据自变量 x 的

范围确定函数 ? x ? ? 的范围.来年需注意三角函数的单调性,图象变换,解三 角形等考查. 例 8.已知函数 f (x)= sin (2 x +

?
3

)+sin(2 x ?

?
3

)+2cos 2 x ? 1 , x ? R .

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期;

(Ⅱ)求函数 f (x) 在区间 [ ? 解析:(1) f (x)= sin 2 x cos

? ?

) 4 2? ?? . 所以, f ( x) 的最小正周期 T ? 2

? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ?

? ? ? ? ? cos 2 x sin ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? cos 2 x 3 3 3 3 ?

, ] 上的最大值和最小值. 4 4

(2) 因为 f ( x) 在区间 [ ?

? ?

? ? ? ? ? f ( ? ) ? ?1 , f ( ) ? 2, f ( ) ? 1 ,故函数 f ( x) 在区间 [ ? , ] 上的最大值为 4 4 4 8 4
2 ,最小值为 ?1 .

, ] 上是增函数 , 在区间 [ , ] 上是减函数 , 又 4 8 8 4

? ?

【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为 y =A sin (? x+? ) 的数学模 型,再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.

题型 5:三角函数的单调性 例 9.已知函数 f ( x) ?
(sin x ? cos x) sin 2 x . sin x

(1)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递增区间. 解 : f ( x) ?
(sin x ? cos x) sin 2 x (sin x ? cos x)2sin x cos x = = 2(sin x ? cos x) cos x sin x sin x

= sin 2 x ? 1 ? cos 2 x

? = 2 sin(2 x ? ) ? 1 , {x | x ? k? , k ? Z } 4
(1) 原函数的定义域为 {x | x ? k? , k ? Z } ,最小正周期为 π ; (2)原函数的单调递增区间为 [?

?
8

? k? , k ? ) k ? Z , ( k ? ,

? 例 10.设 f ? x ? ? 4 cos(? x ? ) sin ? x ? cos(2? x ? ? ) ,其中 ? ? 0. 6
(Ⅰ)求函数 y ? f ? x ? 的值域
? 3? ? ? (Ⅱ)若 f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上为增函数,求 ? 的最大值. ? 2 2?

3? ? k? ]k ? Z . 8

? 3 ? 1 解:(1) f ? x ? ? 4 ? ? 2 cos ? x ? 2 sin ? x ? ? sin ? x ? cos 2? x ? ?

? 2 3 sin ? x cos ? x ? 2sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 3 sin 2? x ? 1
? 因 ?1 ? sin 2? x ? 1 ,所以函数 y ? f ? x ? 的值域为 ? ?1 ? 3,1 ? 3 ?

? ?? ? (2) 因 y ? sin x 在 每 个 闭 区 间 ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 上 为 增 函 数 , 故 2 2? ?
? k? ? k? ? ? , ? f ? x ? ? 3 sin 2? x ? 1 ?? ? 0? 在每个闭区间 ? ? ? k ? Z ? 上为 ? ? 4? ? 4? ? ?

增函数.
? 3? ? ? ? k ? ? k? ? ? 依 题 意 知 ?? , ? ? ? 对某个 k ?Z 成立,此时必有 ? , ? ? 2 2? ? ? 4? ? 4? ? ?
k ? 0 ,于是

? ? 3? ? ?? ? 1 1 ? 2 4? ,解得 ? ? ,故 ? 的最大值为 . ? 6 6 ?? ? ? ? ? 2 4?
题型 6:三角函数的图像 例 11.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? 示. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
2

的部分图像如图 5 所

?
12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

【 解 析 】 (Ⅰ) 由 题 设 图 像 知 , 周 期
11? 5? 2? T ? 2( ? ) ? ? ,?? ? ? 2. 12 12 T 5? 5? 5? ? ? ) ? 0, 即sin( ? ? ) ? 0 . 因为点 ( , 0) 在函数图像上,所以 A sin(2 ? 12 12 6

又? 0 ? ? ?

?
2

,?

? 5? 5? 4? 5? ? ?? ? , 从而 ? ? =?, 即? = . 6 6 6 3 6

(0,1) 又点 在函数图像上 , 所以 A sin

?

f ( x) ? 2sin(2 x ? ). 6

?

6

? 1, A ? 2 , 故函数 f(x) 的解析式为

(Ⅱ)

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? g ( x) ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? 12 ? 6 ? ? ? 12 ? 6 ? ? ?

? 2sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3

?

1 3 ? 2sin 2 x ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

? sin 2 x ? 3 cos 2 x
? 2sin(2 x ? ), 3

?

由 2 k? ?

?

2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, 得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? , k ? z. 12

? 5? ? ? ? g ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? , k ? z. 12 12 ? ? ?
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质 . 第一问结合图形求得周期
11? 5? 2? T ? 2( ? ) ? ? , 从而求得 ? ? ? 2 .再利用特殊点在图像上求出 ? , A , 12 12 T

从 而 求 出 f(x) 的 解 析 式 ; 第 二 问 运 用 第 一 问 结 论 和 三 角 恒 等 变 换 及
y ? A sin(? x ? ? ) 的单调性求得.

例 12. 函数 f ( x) ? 6 cos 2

?x
2

? 3 cos ? x ? 3(? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示,

A 为图象的最高点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形.

(Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?
10 2 8 3 ,且 x0 ? (? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值. 3 3 5

[解析](Ⅰ)由已知可得: f ( x) ? 6 cos 2

?x
2

? 3 cos ? x ? 3(? ? 0)

=3cosω x+ 3 sin ?x ? 2 3 sin(?x ?

?
3

)

又由于正三角形 ABC 的高为 2 3 ,则 BC=4 所以,函数 f ( x)的周期 T ? 4 ? 2 ? 8,即 所以,函数 f ( x)的值域为 [?2 3,2 3] (Ⅱ)因为 f ( x0 ) ?
8 3 ,由 (Ⅰ)有 5 ?
2?

?

? 8,得 ? ?

?
4

f ( x0 ) ? 2 3sin (

?x0
4

?
3

)?

?x ? 4 8 3 , 即sin ( 0 ? ) ? 4 3 5 5

(? 由 x0 ?

?x 10 2 ? ? ? , ),得( 0 ? ) ? (? , ) 3 3 4 3 2 2

所以, 即cos(

?x0

? 4 3 ? ) ? 1 ? ( )2 ? 4 3 5 5
?x0
4 ?

故 f ( x0 ? 1) ? 2 3sin (
? 2 3[sin(

?
4

?

?
3

) ? 2 3sin[(

?x0
4

?

?
3

)?

?
4

]

?x0

4 3 4 4 2 3 2 ? 2 3( ? ? ? ) 5 2 5 2
? 7 6 5

?

?

) cos

?

? cos(

?x0
4

?

?
3

) sin

?
4

[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正 (余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等 数学思想.

第四讲 一.知识要点 1.向量的概念

平面向量的概念及运算

? ? ? ①向量:既有大小又有方向的量。向量一般用 a, b , c ??来表示,或用有向
??? ? ??? ? ? 线段的起点与终点的大写字母表示,如: AB 几何表示法 AB , a ;坐标表示法
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??? ? ? 向量的大小即向量的模 (长度) , 记作| AB | 即向量的大小, a ? xi ? y j ? ( x, y) 。 ? 记作| a |。
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向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。 ? ? ②零向量:长度为 0 的向量,记为 0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行
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? ? ③单位向量: 模为 1 个单位长度的向量, 向量 a0 为单位向量 ? | a0 |=1。
④平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量 都可以移到同一直线上,方向相同或相反的向量,称为平行向量,也称为共线向 量。 ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量 2.向量的运算 (1)向量加法 向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与 已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量 指向被减向量。 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一 个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和; 差向量是从减向量的终点指向被 减向量的终点。 (2)向量的减法 ? ? ? ? 向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差, (3)实数与向量的积 ①实数 λ 与向量 a 的积是一个向量, 记作 λ a , 它的长度与方向规定如下: (Ⅰ) ?a ? ? ? a ; (Ⅱ)当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a ? ? 的方向相反;当 ? ? 0 时, ?a ? 0 ,方向是任意的。 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。
? ? ? ?
? ?
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?

?

3.两个向量共线定理: ? ? ? ? 向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ?a 。 4.平面向量的坐标表示 (1)平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相 ? ? 同的两个单位向量 i , j 作为基底 由平面向量的基本定理知, 该平面内的任一向量
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? ? ? ? ? a 可表示成 a ? xi ? yj ,由于 a 与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向
? ? ? 量 a 的坐标,记作 a =(x,y),其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做在 y 轴上的

坐标。 (2)平面向量的坐标运算: ? ? ? ? ①若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ;

??? ? ②若 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? ;
? ? ③若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y); ? ? ? ? ④若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 。

5.向量的数量积 (1)两个非零向量的夹角 已知非零向量 a 与 a,作 OA = a , OB = b ,则∠AOA=θ (0≤θ ≤π ) 叫 a 与 b 的夹角; (2)数量积的概念

? ? ? ? ? ? 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a ? b =︱ a ︱?︱ b ︱cos ?

? ? ? ? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) 。规定 0 ? a ? 0 ;
(3)两个向量的数量积的坐标运算 ? ? ? ? 已知两个向量 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x2 ? y1 y2 。 (4)垂直: ? ? ? ? a ⊥ b ? a ? b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,
? ? a ‖ b ? x1 y 2

? x 2 y1 ? 0 。

二.典型例题 题型 1:平面向量的概念 例 1. (1)给出下列命题: ? ? ? ? ①若| a |=| b |,则 a = b ;

??? ? ???? ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB ? DC 是四边形 ABCD 为平行四边形
的充要条件; ? ? ? ? ? ? ③若 a = b , b = c ,则 a = c ;

? ? ? ? ? ? ④ a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b ;
? ? ? ? ? ? ⑤ 若 a // b , b // c ,则 a // c ;

其中正确的序号是



(2)设 a 0 为单位向量, (1)若 a 为平面内的某个向量,则 a =| a |? a 0 ;(2) 若 a 与 a0 平行,则 a =| a |? a 0 ; (3)若 a 与 a 0 平行且| a |=1,则 a = a 0 。上述命 题中,假命题个数是( A.0 ) B.1 C.2 D.3

解析: (1)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同; ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ②正确;∵ AB ? DC ,∴ | AB |?| DC | 且 AB // DC , 又 A,B,C,D 是不共线的四点,∴ 四边形 ABCD 为平行四边形;反之,若 ??? ? ???? ??? ? ???? 四边形 ABCD 为平行四边形,则, AB // DC 且 | AB |?| DC | ,

??? ? ???? 因此, AB ? DC 。
? ? ? ? ③正确;∵ a = b ,∴ a , b 的长度相等且方向相同;

? ? ? ? 又 b = c ,∴ b , c 的长度相等且方向相同,
? ? ? ? ∴ a , c 的长度相等且方向相同,故 a = c 。 ? ? ? ? ? ? ? ④不正确;当 a // b 且方向相反时,即使| a |=| b |,也不能得到 a = b ,故| a

? ? ? ? ? |=| b |且 a // b 不是 a = b 的充要条件,而是必要不充分条件; ? ? ⑤不正确;考虑 b = 0 这种特殊情况;

综上所述,正确命题的序号是②③。 点评: 本例主要复习向量的基本概念。 向量的基本概念较多, 因而容易遗忘。 为此,复习时一方面要构建良好的知识结构,另一方面要善于与物理中、生活中 的模型进行类比和联想。 (2)向量是既有大小又有方向的量, a 与| a | a 0 模相同,但方向不一定相 同,故(1)是假命题;若 a 与 a 0 平行,则 a 与 a 0 方向有两种情况:一是同向二 是反向,反向时 a =-| a | a 0 ,故(2) 、 (3)也是假命题。综上所述,答案选 D。 点评:向量的概念较多,且容易混淆,故在学习中要分清,理解各概念的实 质,注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。 题型 2:平面向量的运算法则

? ??? ? ? ??? 例 2. (1)如图所示,已知正六边形 ABCDEF,O 是它的中心,若 BA = a , BC ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? = b ,试用 a , b 将向量 OE , BF , BD , FD 表示出来。
(2)如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是( A. AB = DC
?? ?
?? ?


?? ?
?? ? ?

B. AD + AB = AC

?? ?

?? ?

?? ?

C. AB - AD = BD

?? ?

?? ?

?? ?

D. AD + CB = 0

(3)如图 1 所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点, 则向量 CD ? ( A. ? BC ? C. BC ?
1 BA 2

) B. ? BC ?
1 BA 2 1 D. BC ? BA 2

? (1) 解析: 根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则, 用向量 a ,

1 BA 2

? b 来表示其他向量,只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。
因为六边形 ABCDEF 是正六边形, 所以它的中心 O 及顶点 A,B,C 四点构成平行四边形 ABCO, ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? OE 所以 BA ? BC ? BA ? AO ? BO ,BO = a + b ,
A a B b C D O E F

??? ? ? ? = BO = a + b ,
由于 A,B,O,F 四点也构成平行四边形 ABOF,

? ???? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? 所以 BF = BO + OF = BO + BA = a + b + a =2 a + b , ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? ? 同样在平行四边形 BCDO 中, BD = BC ? CD = BC ? BO = b +( a + b )= a ? ??? ? ??? ? ? ? ? ??? +2 b , FD = BC ? BA = b - a 。
点评:其实在以 A,B,C,D,E,F 及 O 七点中,任两点为起点和终点,均 ? ? ? ? 可用 a , b 表示,且可用规定其中任两个向量为 a , b ,另外任取两点为起点和

? ? 终点,也可用 a , b 表示。
(2)C. (3) CD ? CB ? BD ? ? BC ?
1 BA ,故选 A。 2

例 3.设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点,试化简: ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ① AB ? BC ? CD ,② DB ? AC ? BD ,③ ?OA ? OC ? OB ? CO 。
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 解析:①原式= ( AB ? BC) ? CD ? AC ? CD ? AD ; ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ②原式= (DB ? BD) ? AC ? 0 ? AC ? AC ;

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ③原式= (OB ? OA) ? (?OC ? CO) ? AB ? (OC ? CO) ? AB ? 0 ? AB 。

? 1 ? ? ? ? ? ? ? a 例 4.设 x 为未知向量, a 、 b 为已知向量,解方程 2 x ?(5 a +3 x ?4 b )+ 2 ? ?3 b =0
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? ? ? ? ? 1 ? 解析:原方程可化为:(2 x ? 3 x ) + (?5 a + a ) + (4 b ?3 b ) = 0, 2 ? ? 9 ? ∴x =? a + b 。 2
点评: 平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则,求解时 兼顾到向量的性质。 题型 3:平面向量的坐标及运算
???? 例 5. 已知 ?ABC 中, A(2,-1), B(3,2), C(-3,1),BC 边上的高为 AD, 求 AD 。
???? ??? ? ??? ? 解析:设 D(x,y),则 AD ? ? x ? 2, y ? 1? , BD ? ? x ? 3, y ? 2 ? , BC ? ? ?b, ?3?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∵ AD ? BC, BD ? BC

? ? 6?x ? 2? ? 3? y ? 1? ? 0 ? x ? 1 得? ?? ?? 3?x ? 3? ? 6? y ? 2? ? 0 ? y ? 1 ???? 所以 AD ? ? ?1, 2? 。
例 6.已知点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) ,试用向量方法求直线 AC 和 OB ( O 为坐标 原点)交点 P 的坐标。
??? ? ??? ? 解析:设 P ( x, y ) ,则 OP ? ( x, y), AP ? ( x ? 4, y)

因为 P 是 AC 与 OB 的交点,所以 P 在直线 AC 上,也在直线 OB 上。 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 即得 OP // OB, AP // AC , 由点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) 得,AC ? (?2,6), OB ? (4, 4) 。

?x ? 3 ?6( x ? 4) ? 2 y ? 0 得方程组 ? ,解之得 ? 。 ?y ? 3 ?4 x ? 4 y ? 0
故直线 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 (3,3) 。 题型 4:平面向量的性质

? ? ? 例 7.平面内给定三个向量 a ? ? 3, 2 ? , b ? ? ?1, 2 ? , c ? ? 4,1? ,回答下列问题:
? ? ? (1)求满足 a ? mb ? nc 的实数 m,n;
? ? ? ? (2)若 ? a ? kc ? // 2b ? a ,求实数 k;

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? (3)若 d 满足 d ? c // a ? b ,且 d ? c ? 5 ,求 d 。

?

? ?

?

5 ? ?m ? 9 ?? m ? 4n ? 3 解析: (1) 由题意得 ?3,2? ? m?? 1,2? ? n?4,1?, 所以 ? , 得? 。 8 ? 2m ? n ? 2 ?n ? 9 ? ? ? ? ? (2) a ? kc ? ? 3 ? 4k , 2 ? k ? , 2b ? a ? ? ?5, 2 ? ,
? 2 ? ?3 ? 4k ? ? ?? 5??2 ? k ? ? 0,? k ? ? 16 ; 13

? ? ? ? (3) d ? c ? ? x ? 4, y ? 1? , a ? b ? ? 2, 4?

?4?x ? 4? ? 2? y ? 1? ? 0 ? x?3 ?x ? 5 由题意得 ? ,得 ? 或? 。 2 2 ??x ? 4? ? ? y ? 1? ? 5 ? y ? ?1 ? y ? 3
? ? 例 8.已知 a ? (1,0),b ? (2,1).

? ? (1)求 | a ? 3b | ;
? ? ? ? k a ? b 与 a ? 3b 平行, 平行时它们是同向还是反向? (2) 当 k 为何实数时,

? ? 解析: (1)因为 a ? (1,0),b ? (2,1).
? ? 所以 a ? 3b ? (7,3)

? ? 则 | a ? 3b |? 72 ? 32 ? 58
? ? ? ? (2) k a ? b ? (k ? 2, ?1) , a ? 3b ? (7,3)
? 1 ? ? ? 因为 k a ? b 与 a ? 3b 平行,所以 3(k ? 2) ? 7 ? 0 即得 k ? ? 。 3 ? ? ? ? ? 7 ? ? ? 此时 k a ? b ? (k ? 2, ? 1) ? (? , ? 1) , a ? 3b ? (7,3) ,则 a ? 3b ? ?3(ka ? b) , 3 ? ? ? ? 即此时向量 a ? 3b 与 ka ? b 方向相反。

点评: 上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现,重点 掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。 题型 5: 数量积的概念 例 9.判断下列各命题正确与否: ? (1) 0 ? a ? 0 ; ? ? (2) 0 ? a ? 0 ;

? ? ? ? ? ? ? (3)若 a ? 0, a ? b ? a ? c ,则 b ? c ;

? ? ? ? ? ? ? ? (4)若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 当且仅当 a ? 0 时成立;
? ? ? ? ? ? ? ? ? (5) (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) 对任意 a, b , c 向量都成立;
? ? ?2 (6)对任意向量 a ,有 a 2 ? a 。

解析: (1)错; (2)对; (3)错; (4)错; (5)错; (6)对。 点评: 通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系,重点清 楚 0 ? a 为零向量,而 0 ? a 为零。 例 10. (1)已知向量 a 、 b 满足 | a |? 1、 | b |? 4 ,且 a ? b ? 2 ,则 a 与 b 的夹 角为( A. )

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

(2)已知向量 a =(cos ? ,sin ? ), b =(cos ? ,sin ? ),且 a ? ? b ,那么 a ? b 与 a ? b 的夹角的大小是 。

? ? ? ? ? ? ? ? ? (3)已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 1200 ,若 c ? 2a ?b ,d ? 3 b ?a ,试求 c

? 与 d 的夹角。
(4)| a |=1,| b |=2, c = a + b ,且 c ⊥ a ,则向量 a 与 b 的夹角为 A.30° ( ) B.60° C.120° D.150° ? 解析: (1)C; (2) ; 2 ? ? ? ? (3)由题意, a ? b ? 1 ,且 a 与 b 的夹角为 1200 ,

? ? ? ? 1 所以, a ? b ? a b cos1200 ? ? , 2 ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? c ? c ? c ? (2a ? b ) ? (2a ? b ) ? 4a 2 ? 4a ? b ? b 2 ? 7 ,

? ?c ? 7,
? 同理可得? d ? 13 。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17 而 c ? d ? (2a ? b ) ? (3b ? a ) ? 7a ? b ? 3b 2 ? 2a 2 ? ? , 2 ? ? 设 ? 为 c 与 d 的夹角,

则 cos? ?

17 2 7 13
? ?

??

17 91 。 182
? ? ? ?
2 ?

(4)C;设所求两向量的夹角为 ?
? c ? a ? b    c?a
? 2 ? ?
? ? ?

? c . a ? ( a? b ) . a ?

?

a ? .a ? b0

?

?

?| a | ? ? | a || b | cos ?

即: cos ? ?

? | a |2 | a || b |
? ?

?

??

|a| |b|
?

?

??

1 2

所以 ? ? 120o. 点评:解决向量的夹角问题时要借助于公式 cos ? ?
a ?b | a |?|b |

,要掌握向量坐标形
? ? ? ?

式的运算。 向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。 对于 a . b ?| a || b | cos ?

这个公式的变形应用应该做到熟练, 另外向量垂直 (平行) 的充要条件必需掌握。 ? ? ? ? ? ? 例 11. (1) 已知向量 a 与 b 的夹角为 120o ,a ? 3, a ? b ? 13, 则 b 等于 ( ) B.4 C.3 D.1 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? (2)设向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 , a ? b,| a |? 1,| b |? 2 ,则 | c |2 ? ( A.1 B.2 解析: (1)B; (2)D; 点评:掌握向量数量积的逆运算 | a |? 题型 6:向量垂直、平行的判定
a ?b | b | cosQ

A.5

) D.5

C.4
2

,以及 a ?| a | 2 。

? ? ? ? ? ? ? ? 例 12. 已知 a ? ? 4,3? , b ? ? ?1, 2? , m ? a ? ?b , n ? 2a ? b ,按下列条件求
? ? ? ? ? ? 实数 ? 的值。 (1) m ? n ; (2) m // n ; (3) m ? n 。

? ? ? ? ? ? 解析: m ? a ? ?b ? ? 4 ? ? ,3 ? 2? ? , n ? 2a ? b ? ? 7,8?
? ? 52 (1) m ? n ? ?4 ? ? ? ? 7 ? ?3 ? 2? ? ? 8 ? 0 ? ? ? ? ; 9 ? ? 1 (2) m // n ? ?4 ? ? ? ? 8 ? ?3 ? 2? ? ? 7 ? 0 ? ? ? ? ; 2 ? ? 2 2 (3) m ? n ? ?4 ? ? ? ? ?3 ? 2? ? ? 7 2 ? 8 2 ? 5?2 ? 4? ? 88 ? 0

?? ?

2 ? 2 11 。 5
?

点评:此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。 例 13.已知 a ,其中 0 ? ? ? ? ? ? 。 ? c o s ? ,, s i n ? ? c o s ? , s i n ? ? ?b ? ?
?

(1)求证: a + b 与 a - b 互相垂直; (2)若 k a? b 与 k a? b ( k ? 0)的长度相等,求 ? ? ? 。
? ? ? ?

?

?

?

?

ab + ) ? ( abaabbab - ) ? ? ? + ? - 解析: (1)因为 (
2 2 2 2 ?? ab ? | a |? | b |? c o s ? ? s i n ? ? c o s ? ? s i n ? 2? 2 ?? ? 2 2

2? 2 ? ?? ? ? ? ? ? ?

? 1 ? 1 ? 0
所以 a + b 与 a - b 互相垂直。
abk + ? o s? c o s , k s i n ? s i n (2) k , ?c ?
? ?

?

?

?

?

?? ??

, k a ? b ? k c o s? c o s , k s i n ? s i n ? ?
2 所以 | , k a ?? b | k ? 2 k c o s ?? ? ? 1 ? ? ? ?

? ?

? ? ??

2 , | k a ?? b | k ? 2 k c o s ?? ? ? 1 ? ? ? ?

因为 |ka ?b |? |ka ?b |,

? ?

? ?

2 2 所以 k , ? 2 k c o s ? ? 1 ? k ? 2 k c o s ? ? 1 ? ? ? ?

? ?

? ?

有2 , k c o s ? ? ? 2 k c o s ? ? ? ? ? 因为 k ? 0,故 c , o s ? ? ? 0 ? ??

? ?

? ?

又因为 0 ? ? ? ? ? ?, 0 ? ? ? ? ? ? , 。 2 点评: 平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向 量与三角函数的交汇处设计考题, 其形式多