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2.3 直线、平面垂直的判定及其性质


2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 2.3.2 平面与平面垂直的判定 目标要求 1.理解直线与平面、平面与平面垂直的概念及二面角的有关概念. 2.理解并掌握直线与平面、直线与平面垂直的判定. 3.掌握二面角的平面角的求法以及用判定定理证线面垂直、面面垂直. 基础知识细解读 知识点一 直线与平面垂直 1.定义 如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面 ? 互相垂直,记 作 l ? ? .直线 l 叫做平面 ? 的垂线,平面 ? 叫做直线 l 的垂面.直线与平面垂直时,它们唯 一的公共点 P 叫做垂足. 2.画法 通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图 2.3-1.

图 2.3-1 拓展 (1)定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同义词,但与“无数条直线”不同.定义的 实质就是直线与平面内的所有直线都垂直. (2)直线 l ? ? 等价于对任意的直线 m ? ? ,都有 l ? m ,并且过一点和已知平面垂 直的直线有且只有一条;过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个. (3)显然,这样定义给判定线面垂直带来了困难,但在直线和平面垂直时,却可以得 到直线和平面内的任何一条直线都垂直,给判定两条直线垂直带来了方便. 知识点二 直线与平面垂直的判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂 文字语言 直

符号语言

l ? a , l ? b , a ?? , b ? ? , a ? b ? O ? l ? ?

图形语言

提示 对直线与平面垂直的判定定理的理解 (1)“两条相交直线”是不可忽视的条件. (2)要证一条直线与一个平面垂直,只需在平面内找到两条相交直线都和该直线垂直 即可,不需要找到所有直线,而且这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的. (3)定理体现了转化的数学思想,即由线线垂直转化为线面垂直. 拓展 直线与平面垂直的判定定理的推论 两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面,即 a ? b ,

a ?? ?b ?? .
例示 判断下列命题的真假,并说明理由.

(1)垂直于同一条直线的两条直线平行; (2)如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平 面垂直; (3)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线与这个平面垂直; (4) 如果三条共点直线两两垂直, 那么其中一条直线垂直于另两条直线所确定的平面; (5)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边. 解: (1)假命题.因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交,可能平行,也 可能异面. (2)真命题.因为此命题条件不具备线面垂直定义的要求. (3)假命题.因为这无数条直线可能是一组平行直线. (4)真命题.设 a,b,c 是三条直线,且共点于 O, a ? b , b ? c , c ? a . 因为 a ? b , a ? c , b ? c ? O ,且 b,c 确定一个平面,设为 ? ,所以 a ? ? . 同理可知,b 垂直于由 a,c 确定的平面,c 垂直于由 a,b 确定的平面. (5)真命题.因为垂直于三角形两边的直线必垂直于该三角形所在的平面,所以这条直

线就垂直于该三角形的第三条边. 知识点三 直线和平面所成的角 1. 斜线及射线的概念

如图 2.3-2,一条直线 PA 与一个平面 α 相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个 平面的斜线,斜线和平面的交点 A 叫做斜足,过斜线上斜足以外的一点平面引起垂线 PO, 过垂足 O 和斜足 A 的直线 AO 叫做这个平面的射影. 2. 直线与平面所成的角

(1) 定义:平面的一条斜线和它在平面上射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面 所成的角,如图 2,3-2,∠PAO 就是斜线 PA 与平面 α 所成的角. (2)一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在 平面内,我们说它们所成的角是 0° . 提示 理解直线与平面所成的角的注意事项 (1) (2) 角, 需特别注意. 例示 如图 2.3-3 所示,若斜线段 AB 是它在平面 α 上的射影 BO 的 2 倍,则 AB 与平面 α 所成的角是 A.60° C.30° ( ) B. 45° D.120° 斜线简单来说就是与平面相交但不垂直的直线 直线和平面所成的角 ? 的范围 0? ? ? ? 90? , 直线与平面所成的角不可能是钝

解析:由题意,知 ?ABO 即是斜线 AB 与平面 α 所成的角,在 Rt ? AOB 中,因为

AB ? 2 BO ,所以 cos ?ABO ?
答案:A

1 ,即 ?ABO ? 60? 2

知识点四 二面角及其平面角 1. 二面角

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.这两 个半面叫做二面角的面 .如图 2.3-4 ,棱为 l 或 AB、面分别为 ? , ? 的二面角 .记作二面角

? ? l ? ? ( ? ? AB ? ? )或 P-l-Q(P-AB-Q) (P,Q 分别为在 ? , ? 内且不在棱上的点).
2. 二面角和平面角 在二面角 ? ? l ? ? 的棱 l 上任取一点 O,以点 O 为垂直,在半 文字语言 平面 α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB,则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角 符号语言

? ? ? ? l , O ? l , OA ?? , OB ? ? , OA ? l , OB ? l ? ?AOB
为二面角 ? ? l ? ? 的平面角

图形语言

3.

二面角大小的度量

二面角的大小可以用它的平面角来度量, 二面角的平面角是多少度, 就说这个二面角是 多少度. 平面角是直角的二面角叫做直二面角. 提示 (1)一个二面角的平面角有无数个,它们的大小是相等的. (2)当二面角的两个半平面平面重合时,规定二面角的大小是 O° ;当二面角的两个半 平面合成一个平面时,规定二面角的大小是 180° 例示 下列命题正确的是 ①两个相交平面组成的图形叫做二面角; ②异面直线 A,B 分别和一个二面角的两个面垂直,则 A,B 所成的角与这个二面角的 平面角的平面角的平等角相等或互补; ( )

③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角; ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没关系. A ①③ B ②④ C ③④ D ①②

解析: 由于二面角的定义 (即从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角) , 知①不正确;因为 A,B 垂直于二面角的两个面,所以 A,B 都垂直于二面角的棱,所以② 正确;③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱,所以③不正确;由定义知④正确.故选 B. 拓展 作二面角的平面角的方法 (1) 定义法 在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 (2)垂面法 过棱上一点作与棱垂直的平面, 该平面与二面角的两个半面产生交线, 这两条交线所的 角,即为二面角的平面角,如图 2.3-5,二面角 α-l-β 的平面角是∠AOB

(3)垂线法 如图 2.3-6,过二面角的一个半平面内的一点 A 作另一个半平面的垂线,垂足为 B,过 垂足 B 作棱的垂线,垂足为 O,连接 AO,则∠AOB 即为二面角的平面角. 知识点五 平面和平面垂直 1. 平面与平面垂直的定义

(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个 平面互相垂直 (2)图形表示:如图 2.3-7,此时,把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.

(4)

符号表示: ? ? ?

2.

两个平面垂直的判定定理 文字语言 符号语言 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直

b ? a, b ? ? ? ? ? a

图形语言

能力应用
应用点一 直线与平面垂直的判定 例 1 如图 2, 3-9, 已知 ? ABC 中,?ACB ? 90? ,SA ? 平面 ABC,AD ? SC 于点 D, 求: AD ? 平面 SBC

证明:因为 ?ACB ? 90? ,所以 BC ? AC 因为 SA ? 平面 ABC,所以 SA ? BC 又因为 AC ? SA ? A 所以 BC ? 平面 SAC 因为 AD ? 平面 SAC,所以 BC ? AD 又因为 SC ? AD, SC ? BC ? C ,所以 AD ? 平面 SBC 过程释疑 1 由直线与平面垂直的定义,知 SA 垂直于平面 ABC 内的任意一条直线. 2 只有一条直线垂直于平面内的两条相交直线, 才能保证直线与平面垂直的目的是为了 得到 BC ? AD . 判定直线与平面垂直的步骤: (1) 在这个平面内找两条直线,使已知直线和这两条直线分别垂直 (2) 确定这个平面内的两条直线是相交的直线; (3) 根据判定定理得出结论 提示

(1)判定定理简记为:线面垂直,则面面垂直因此要证明平面与平面垂直,可转化 为寻找平面的垂线,即证明线面垂直. (2)两个平面垂直的判定定理,不仅是判定两个平面互相垂直的依据,而且是找出 垂直于一个平面的另一个平面的依据,例如,建筑工人在砌墙时,常用一端系有铅垂的线来 检验所砌的墙面是否和水平垂直,实际上,就是依据这个原理. 例示 如图 2.3-8 在 ? ABC 中,AB=BC,P 为 ? ABC 所在平面外一点,PA=PC,求证: 平面 POB ? 平面 ABC. 证明:如图 2.3-8,取 AC 的中点 O,连接 OP,OB.

因为 PA=PC,所以 OP ? AC . 因为 AB=BC,所以 OB ? AC 又因为 OB ? 平面 POB,OP ? 平面 POB, OB ? OP ? O 所以 AC ? 平面 POB 又因为 AC ? 平面 ABC,所以平面 POB ? 平面 ABC 应用点二 直线和平面所成角的计算 例 2 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 E,F 分别是 AA 1, A 1D 1 的中点. (1) (2) 求 D1B 与平面 AC 所成的角的余弦值; 求 EF 与平面 AC 1 1 所成的角的大小.

解:(1)如图 2.3-10 所示,连接 DB.因为 D1D ? 平面 AC,所以 DB 是 D1B 在平面 AC 内的射影,所以 ?D1BD 即为 D1B 与平面 AC 所成的角. 在 RT△ D1DB 中,1

DB ? 2 AB, D1B ? 3AB ,2
所以 cos ?D1BD ?

DB 6 ? D1B 3

故 D1B 与平面 AC 所成的角的余弦值为 (3)

6 3

因为 E 是 A 1 A 的中点, A 1 A ? 平面 AC 1 1

所以 ?EFA1 是 EF 与平面 AC 1 1 所成的角,3 在 Rt△ EA 1F 中,因为 F 是 A 1D 1 的中点, 所以 ?EFA 1 ? 45? ,4 故 EF 与平面 AC . 1 1 所成的角的大小为 45° 过程释疑 1 因为 DD1 ? 平面 AC,DB ? 平面 AC,所以 D1D ? DB ,所以△ D1DB 是直角三角 形. 2 因 为
2 2 2 D1 B ? DD 2 1 ? DB , 2DB ? AB ? AD , DD ? AD ? AB 1

, 所 以

DB1 ? 3AB .
3 因为 A1F 为 EF 在平面 AC 1 即所求的线面角. 1 1 内射影,故 ?EFA 4 因为 E,F 分别是正方体两棱 AA 1, D 1A 1 的中点,所以△ A 1EF 是等腰直角三角形, 所以 ?EFA 1 ? 45? . 寻找斜线在平面内射影是解决斜线和平面所成角的关键.要找射影,就要寻找过斜线 上一点与平面垂直的垂线,没有垂线的,还要在斜线上取一点作平面的垂线,垂足和斜足的 连线就是斜线段在平面内的射影,但要注意斜线上的点选取以及垂足的位置要与已知量有 关,才能便于计算. 应用点三 二面角的求值问题 例 3 如图 2.3-11,四边形 ABCD 是正方形,PA ? 平面 ABCD ,且 PA=AB (1) (2) (3) (4) 求二面角 A-PD-C 的平面角的度数; 求二面角 B-PA-D 的平面角的度数; 求二面角 B-PA-C 的平面角的度数; 求二面角 B-PC-D 的平面角的度数.

解(1)因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? CD 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 CD ? AD . 又因为 CD ? 平面 PCD 所以 CD ? 平面 PAD 所以二面角 A-PD-C 的平面角度数为 90° . (2)因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 AB ? PA, AC ? PA 所以 ? BAD 为二面角 B-PA-D 的平面角.1 由题意,知 ?BAD ? 90? 所以二面角 B-PA-D 的平面角度数为 90° . (3 因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 AB ? PA, AC ? PA 所以 ?BAC 为二面角 B-PA-C 的平面角. 又因为四边形 ABCD 是正方形,所以 ?BAC ? 45?

所以二面角 B-PA-C 的平面角的度数为 45° (4)作 BE ? BC 于点 E,连接 DE,DB, 且 BD 与 AC 交于点 O,连接 EO,如图 2.3-12 由题意,知 ?BPE ? ?DPE 从而 ? PBC ?? PDE 所以 ?DPE ? ?BEP ? 90? 且 BE=DE 所以∠BED 为二面角 B-PC-D 的平面角.

又因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? BC 又因为 AB ? BC, PA ? AB ? A 所以 BC⊥平面 PAB,所以 BC ? PB . 设 AB=A,则 PA ? AB ? BC ? a , 所以 PB ? 2a, PC ? 3a 所以 BE ?

PB ? BC 6 ? a ,3 PC 3

BD ? 2a
2 a BO 2 3 sin ? BEO ? ? 所以 BE 6 2 a 3
所以 ?BEO ? 60? ,所以 ?BED ? 120? 所以二面角 B-PC-D 的平面角的度数为 120° 过程释疑 1 PA 是平面 BPA 与平面 DPA 的交线,且 AB,AD 均为该交线垂线,所以∠BAD 为二 面角 B-PA-D 的平面角. 2 因 为 PA⊥ 平 面

A B C, D 所 以 P A ?

,A B ? P A A以 D , 所

PB ? PA2 ? AB2 , PD ? PA2 ? AD2 ,又因为四边形 ABCD 为正方形,且 PA ? AB ,
所以 PB ? PD, BC ? CD, PC ? PC ,所以 ? PBC ?? PDC

3 利用等面积法,即 求二面角的步骤

1 1 PB ? BC 6 PB ? BC ? PC ? BE ,得 BE ? ? a 2 2 PC 3

(1) 找出二面角的平面角; (2) 证明该角两边都与棱垂直,指出该三角就是二面角的平面; (3) 计算该角的大小 简记为作、证、算. 应用点四 面面垂直的判定

例 4 如 图 2.3-13 , ? ABC 为 等 边 三 角 形 , EC 垂 直 平 面 ABC , DB ? CE , 且

C E ? C A? 2 B D ,M 是 EA 的中点.
求证:(1) DE ? DA (2)平面 BDM⊥平面 ECA (3)平面 DEA⊥平面 ECA 分析:(1)要证 DE ? DA ,只需证明 Rt ? EFD ? Rt ? DBA ;(2)M 为 EA 的中点, 可取 CA 中点 N,先证明点 N 在平面 BDM 内,再证明平面 BDMN 经过平面 ECA 的一条垂 线即可;(3)证明平面 DEA 经过平面 ECA 的一条垂线. 证明:(1)如图 2.3-13,取 EC 的中点 F,连接 DF. 因为 EC⊥平面 ABC,所以 EC ? BC 易知 DF ? BC ,所以 DF ? EC 在 RT△EFD 和 Rt△DBA 中

EF ?

1 EC ? BD, FD ? BC ? AB 2

所以 RT ? EFDRt ? DBA .1 所以 DE=DA (2)如图 2.3-13,取 CA 的中点 N,连接 MN,BN 则 MN ? 所以 MN ? BD ,所以点 N 在平面 BDM 内. 因为 EC⊥平面 ABC,所以 EC ? BN 又因为 CA⊥BN,2

1 EC 2

CA ? EC ? C ,所以 BN⊥平面 ECA
因为 BN ? 平面 BDMN ,所以平面 BDMN ⊥平面 ECA, 即平面 BDM⊥平面 ECA

(3)因为 BD ?

1 1 EC , MN ? EC ,所以 BD=MN 2 2

所以四边形 BDMN 为平行四边形,所以 DM ? BN 由(2),知 BN⊥平面 ECA.3 又因为 DM ? 平面 DEA,所以平面 DEA⊥平面 ECA 过程释疑 1 两边及其夹角对应相等,两三角形全等. 2 等边三角形底边的中线与高线重合, ? ABC 为等边三角形,且 N 为 AC 的中点,故 CA⊥BN 3 此处根据线面垂直判定定理的推理得出. 平面与平面垂直的判定方法 (1) 利用定义:证明二面角的平角为直角. (2) 利用面面垂直的判定定理 (3) 两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于第三个平 面. 应用点五 直线、平面垂直关系的综合应用 例 5 如图 2.3-14,已知 PA 垂直于圆 O 所在平面,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上 任意一点,过点 A 作 AE ? PC 于点 E, AF ? PB 于点 F

分类讨论思想
例 1 如图 2.3-15, 在矩形 ABCD 中,AB ? 1, BC ? a ? a ? 0? , PA⊥平面 AC, 且 PA=1, 问:BC 边上是否存在点 Q,使得 PQ ? QD ?并说明理由. 分析:由于矩形是变动的,在 BC 边上是否存在点 Q,使得 PQ ? QD 与 A 有关,故应 对 A 进行分类讨论 解:因为 PA⊥平面 AC,QD ? 平面 AC, 所以 PA ? QD

又因为 PQ ? QD , PA ? PQ ? P , 所以 QD⊥平面 PAQ,所以 AQ ? QD , ①当 0<A<2 时, 由四边形 ABCD 是矩形, 且 AB=1, 知以 AD 为直径的圆与 BC 无交点, 即对于 BC 上任一点 Q,都有 ?AQD ? 90? ,此时 BC 上不存在点 Q,使 PQ ? QD ; ②当 A=2 时,以 AD 为直径的圆与 BC 相切于 BC 的中点 Q,此时 ?AQD ? 90? ,所以 BC 上存在一点 Q,使 PQ ? QD

③当 A>2 时,以 AD 为直径的圆与 BC 相交于 Q1Q2 ,

求证:(1)AE⊥平面 PBC; (2)平面 PAC⊥平面 PBC (3)PB⊥EF 证明:(1)因为 AB 是圆 O 的直径 所以 ?ACB ? 90? ,1 即 AC⊥BC 因为 PA 垂直于圆 O 所在的平面, 即 PA⊥平面 ABC 而 BC ? 平面 ABC 所以 BC⊥PA,2 又因为 AC ? PA ? A 所以 BC⊥平面 PAC 因为 AE ? 平面 PAC,所以 BC⊥AE.

又已知 AE ? PC, PC ? BC ? C , 所以 AE⊥平面 PBC.3 (2)由(1),知 AE⊥平面 PBC,且 AE ? 平面 PAC 所以平面 PAC⊥平面 PBC.3 (3)由(1),知 AE⊥平面 PBC,且 PB ? 平面 PBC 又因为 AF⊥PB,且 AF ? AE ? A 所以 PB⊥平面 AEF 又因为 EF ? 平面 AEF,所以 PB⊥EF 过程释疑 1 在圆中,直径所对的圆周角为 90° . 2 由线面垂直的定义,知直线与平面垂直时,直线垂直于平面内任意一条直线. 3 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 证明垂直关系时,注意面面垂直,线面垂直与线线垂直相互转化.一般地,面面垂直 问题,线面垂直问题可转化为线线垂直问题. 此时 ?AQ1D ? ?AQ2 D ? 90? ,故 BC 边上存在两点 Q(即 Q1 与 Q2 ),使 PQ ? QD 解后反思:应注意到矩形是变动的,所以应对 A 进行分类讨论,分类依据是直线与圆 的位置关系的几种情况,从而划分 A 的取值范围,然后进行讨论.

解题技巧
例 2 如图 2.3-16, 在正方形 ABCD 的中心, 求证: OE⊥平面 ACD1 , 只要在平面 ACD1

内找两条相交直线与 OE 垂直即可.

证明:如图 2.3-16,连线 AE,CE,D1O,D1E.设正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 A, 易证 AE=CE 因为 AO=OC

所以 OE ? AC .在正方体中易求出:

? 2 ? 6 , D1O ? DD ? DO ? a ? ? ? 2 a? ? ? 2 a ? ?
2 1 2 2 2 3 ?a? ? 2 ? OE ? BE ? OB ? ? ? ? ? a ? a, ? ? 2 2 ?2? ? ? ? 2 2 2

2

D1 E ? D B ? B1 E ?
2 1 1 2

?

2a

?

2

3 ?a? ?? ? ? a. 2 ?2?

2

因为 D1O2 ? OE 2 ? D1E 2 ,所以 D1O ? OE , 因为 D1O∩AC ? O, D1O ? 平面ACD1 ,

AC ? 平面ACD1 , E为BB1的中点 ,
所以 OE ? 平面ACD1 . 解后反思: 在立体几何的垂直关系的证明中, 通过勾股定理及其逆定理计算证明线线垂 直是一种常用的技巧.

高效训练
A. 75 ? B. 60 ? C. 45 ?

速提能
( ) D. 30 ? ( )

1.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1,则侧棱与底面所成的角为

2.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 A.若 l ? m, m ? ? ,则 l ? ? B.若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? C.若 l //? , m ? ? ,则 l //m D.若 l //? , m //? ,则 l //m 3.已知 PA ? 矩形ABCD ,下列结论中,不正确的是 A. PB ? BC C. PD ? BD B. PD ? CD D. PA ? BD





4.在空间四边形 ABCD 中,若 AD ? BC, BD ? AD ,则有





A.平面 ABC ? 平面 ADC C.平面 ABC ? 平面 DBC

B.平面 ABC ? 平面 ADB D.平面 ADC ? 平面 DBC

5. 从空间一点 P 向二面角 a -l -? 的两个面 a, ? 分别作垂线 PE, PF , E, F 为垂足 . 若

?EPF ? 60? ,则二面角的平面角的大小是
A. 60 ? C. 60 ? 或 120? B. 120? D.不确定





6.在正方体 ABCD-A 1 BD 与底面 ABCD 所成二面角 A 1B 1C 1D 1 中,截面 A 1 -BD-A 的正 切值为 A. ( )

3 2

B.

2 2

C. 2

D. 3

7.在三棱锥 O-ABC 中, 三条棱 OA, OB, OC 两两互相垂直, 且 OA ? OB ? OC ,M 是

AB 的中点,则 OM 与平面 ABC 所成角的正切值大小是
8. 在

. 边

Rt ?ABC





D





AB
.









AC ? 6, BC ? 8, EC ? 平面ABC, 且EC ? 12 , 则ED ?

9.过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA ? 平面ABCD ,若 AB ? PA ,则平面 APB 和 平面 CPD 所成二面角的度数是 .

10.如图 2.3-17 所示,在 Rt ?BMC 中,斜边 BM ? 5 ,它在平面 ABC 上的射影 AB 的 长为 4, ?MBC ? 60? ,求 MC 与平面 CAB 所成角的正弦值.

11. 如 图

D, 底 面 为 直 角 梯 形 , 2.3-18 , 在 四 棱 锥 P - A B C中

AD∥BC, ?BAD ? 90?,PA ? 底 面 A B C D, 且 P A? A D? A B ?2 B,C M , 分 N别 为
P C, P B 的中点.

(1)求证: PB ? DM ; (2)求 CD 与平面 ADMN 所成角的正弦值.

12.如图 2.3-19,已知在 ?BCD 中, ?BCD =90? , BC ? CD ? 1 , AB ? 平面 BCD ,

?ADB ? 60?, E, F 分别是 AC , AD 上的动点,且

AE AF ? ? ? ? 0 ? ? ? 1? . AC AD

(1)求证:不论 ? 为何值,总有平面 BEF ? 平面 ABC ; (2)当 ? 为何值时,平面 BEF ? 平面 ACD ?

答案专区
1.C 解析:如图 2.3-20,连接 AC , BD ,两线相交于 O ,连接 SO ,则 ?SBO 就是侧 棱与底面所成的角. 易得 OB ?

2 .因为 SB ? 1 , 2

所以 SO ?

SB 2 ? OB 2 ?

2 . 2

所以 ?SBO ? 45? .

2.B 解析:对于 A ,可能有 l∥ ? , l 与 ? 相交, l ? ? ,也可能 l ? ? ;对于 C,可 能有 l∥ m , l 与 m 异面;对于 D , l 与 m 可能相交、平行或异面.故选 B. 3.C 解析:如图 2.3-21,由 PA ? 矩形 ABCD ,得 BC ? 平面 PBA, DA ? 平面 PBA ,

DA ? 平面 PAB , DC ? 平面 PAD , AB ? 平面 PAD ,则有 PB ? BC , PD ? CD ,
PA ? BD 均正确,而 PD ? BD 错,故选 C.

4.D 解析:因为 AD ? BC, AD ? BD, BC∩BD ? B ,所以 AD ? 平面 DBC . 又因为 AD ? 平面 ADC , 所以平面 ADC ? 平面 DBC . 5.C 解析:若点 P 在二面角内,则二面角的平面角为 120? ;若点 P 在二面角外,则

二面角的平面角为 60 ? . 6.C 解析:如图 2.3-22,连接 AC ,交 BD 于点 O ,连接 A1O ,则 O 为 BD 中点. 因为 A1D ? A1B ,所以 AO ? BD . 1 又因为在正方形 ABCD 中, AC ? BD , 所以 ?A1OA 为二面角 A1 -BD-A 的平面角. 设 AA1 ? 1 ,则 AO ?

2 . 2

所以 tan ?A1OA ?

1 ? 2. 2 2

7. 2

解析:画出三棱锥,将 OM 与平面 ABC 所成的角放在直角三角形 OMC 中求

解,易知 tan ?OMC ?

OC 1 ? ? 2. OM 2 2
1 AB . 2

8.13 解析:如图 2.3-23,在 Rt?ABC 中, CD ? 因为 AC ? 6, BC ? 8 , 所以 AB ? 62 ? 82 ? 10 . 所以 CD ? 5 因为 EC ? 平面 ABC , CD ? 平面 ABC , 所以 EC ? CD 所以 ED ? 9. 45 ?

EC2 ? CD2 ? 122 ? 52 ? 13 .

解 析 : 由 题 意 , 知 平 面 APB 与 平 面 C P D 的 交 线 平 行 于 AB . 又 因 为

PA ? AB, PD ? AB , 所以平面 APB 和 平面 CPD 所 成二 面角的平 面角为 ?APD . 在
Rt?APD 中,因为 AP ? AD ,所以所求二面角的度数是 45 ? .
10.解:由题意,知 A 是 M 在平面 ABC 内的射影, 所以 AM ? 平面 ABC .所以 MC 在平面 CAB 内的射影为 AC . 所以 ?MCA 为直线 MC 与平面 CAB 所成的角. 在 Rt?MBC 中,因为 BM ? 5, ?MBC ? 60? ,

所以 MC ? BM ? sin ?MBC ? 5sin 60? ? 5 ?

3 5 ? 3. 2 2

在 Rt?MAB 中, MA ? MB2 ? BA2 ? 52 ? 42 ? 3 . 在 Rt?MAC 中, sin ?MCA ?

MA 3 2 ? ? 3, MC 5 3 5 2

即 MC 与平面 CAB 所成角的正弦值为

2 3. 5

11.(1)证明:因为 N 是 PB 的中点, PA ? AB ,所以 AN ? PB . 由题设易知 AD ? 平面 PAB ,所以 AD ? PB . 又因为 AD∩ AN ? A ,易知 A, D, M , N 四点共面, 所以 PB ? 平面 ADMN . 因为 DM ? 平面 ADMN , 所以 PB ? DM . (2)解:如图 2.3-24,取 AD 的中点 G ,连接 BG, NG . 因为 AD ? 2BC, AD//BC ,所以四边形 GBCD 为平行四边形,故 BG //CD . 所以 BG 与平面 ADMN 所成的角和 CD 与平面 ADMN 所成的角相等. 因为 PB ? 平面 ADMN ,所以 ?BGN 是 BG 与平面 ADMN 所成的角. 不妨设 BC ? 1 ,则 BN ? 2, BG ? 5 . 在 Rt?BNG 中, sin ?BGN ?

BN 10 , ? BG 5 10 . 5

故 CD 与平面 ADMN 所成角的正弦值为

12.(1)证明:因为 AB ? 平面 BCD ,所以 AB ? CD . 因为 CD ? BC ,且 AB∩BC ? B ,所以 CD ? 平面 ABC . 又因为

AE AF ? ? ? ? 0 ? ? ? 1? , AC AD

所以不论 ? 为何值,恒有 EF ∥ CD . 所以 EF ? 平面 ABC .又因为 EF ? 平面 BEF , 所以不论 ? 为何值,总有平面 BEF ? 平面 ABC .

(2)解:由(1) ,知 BE ? EF .若要使平面 BEF ? 平面 ACD ,只需 BE ? AC (因 为若 BE ? AC, BE ? EF , 且AC∩EF ? E , 则 BE ? 平面 ACD .又因为 BE ? 平面 BEF , 所以平面 BEF ? 平面 ACD ). 因为 BC ? CD=1, ?BCD ? 90?, ?ADB ? 60? , 所以 BD ? 2, AB ? 2 tan 60? ? 6 . 所以 AC ?
2

AB2 ? BC 2 ? 7 .
6 , 7

由 AB ? AE ? AC ,得 AE ? 所以 ? ?

AE 6 ? . AC 7 6 故当 ? ? 时,平面 BEF ? 平面 ACD . 7

2.3.3 2.3.4
目标要求

直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质

1.认识和理解空间中线面、面面垂直的性质. 2.能够灵活运用线面、面面垂直的性质定理证明相关问题. 3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系.

基础知识
知识点一 文字 垂直于同一个平面的两条直线平行 语言 符号 语言 图形 语言 作 直线与平面垂直的性质

细解读

a ? ? , b ? ? ? a / /b

①由线面垂直证明线线垂直;②作平行线 用

拓展 直线与平面垂直的其它性质 (1) 如果一条直线垂直于一个平面, 那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线. (2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行. (3)两条平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面. 例示 如图 2.3-25,在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E ? 平

EF ? 平面 AC .求证: EF / / AA1 . 面 AC , F ? 平面 AC 1 1 ,且
证明: 因为 AA1 ? AB , AA1 ? AD ,且 AB ? AD ? A ,

AB ? 平面 AC , AD ? 平面 AC ,所以 AA1 ? 平面 AC .
又因为 EF ? 平面 AC , 所以 EF / / AA 1. 知识点一 文字 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 语言 直线与平面垂直的性质

符号 语言

? ?? ? ? ? ? ? l? ? ??a ? ? ? ?? ?
a?l ? ?

图形 语言 拓展 (1)平面与平面垂直的其它性质 ①如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平 面内. ②如果两个平面垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面. ③如果两个平面垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内. (2)面面垂直的性质的应用及注意事项 ①面面垂直的性质主要用于证明线面垂直、线线垂直和线在面内三个方面的问题,此外还

可以用于求直二面角. ②要注意判定定理和性质的交替使用,同时还要贯通三种垂直关系,即直线与直线垂直、 直线与平面垂直、平面与平面垂直的相互转化. ③必须注意两个平面垂直的性质定理成立的条件:线在面内、线垂直于线,从而可得出线 面垂直. ④要注意线线、线面、面面垂直相互转化,贯通知识和方法,开阔解题思路. 例示 如图 2.3-26, P 是 ?ABC 所在平面外的一点,且 PA ? 平面

ABC ,平面 PAC ? 平面 PBC ,求证: BC ? AC .
证明:如图 2.3-26,过点 A 作 AD ? PC 于点 D . 因为平面 PAC ? 平面 PBC , AD ? 平面 PAC ,且 AD ? PC , 所以 AD ? 平面 PBC . 又因为 BC ? 平面 PBC ,所以 AD ? BC . 因为 PA ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , 所以 PA ? BC , 又因为 AD ? PA ? A ,所以 BC ? 平面 PAC . 又因为 AC ? 平面 PAC ,所以 BC ? AC .

应用能力
应用点一 利用线面垂直的性质证明平行问题

巧提升

例 1 如图 2.3-27,在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, EF 与异面直线 AC 、 A1D 都垂直 相交.求证: EF / / BD1 .

证明:如图 2.3-28,连接 AB1 , B1C , BD . 因为 DD1 ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD , 所以 DD1 ? AC .

又因为 AC ? BD , DD1 ? BD ? D ,所以 AC ? 平面 BDD1 .① 又因为 BD1 ? 平面 BDD1 ,所以 AC ? BD1 , 同理可证 BD1 ? B1C .② 又因为 AC ? B1C ? C ,所以 BD1 ? 平面 AB1C . 因为 EF ? A1D , A1D / / B1C ,所以 EF ? B1C . 又因为 EF ? AC , AC ? B1C ? C ,所以 EF ? 平面 AB1C , 所以 EF / / BD1 .③ 过程释疑 ①由于 AC ? 平面 BDD1 内的 DD1 与 BD 两条相交直线, 故由线面垂直的判定定理, 得

AC ? 平面 BDD1 .
② 由 AB1 ? 平面 BD1C ,得 AB1 ? BD1 .又因为 BD1 ? AC , AB1 ? AC ? A ,所以

BD1 ? 平面 B1 AC .故得出 BD1 ? B1C .
③ EF , BD1 均与平面 AB1C 垂直,由直线与平面垂直的性质定理,得 EF / / BD1 . 当题中垂直条件很多,但又需证两直线平行关系时,就要考虑直线和平面垂直的 性质定理,从而完成垂直向平行的转化. 应用点二 利用线面垂直的性质证明垂直问题 例 2 已知 ? ? ? ? AB , PQ ? ? 于点 Q , PO ? ? 于点 O , OR ? ? 于点 R .求证:

QR ? AB .
证明:如图 2.3-29,因为 ? ? ? ? AB , PO ? ? 于点 O ,所以 PO ? AB .① 因为 PQ ? ? 于点 Q ,所以 PQ ? AB ,因为 PO ? PQ ? P , 所以 AB ? 平面 PQO .② 因为 OR ? ? 于点 R ,所以 PQ / /OR . 因为 PQ 与 OR 确定平面 PQRO ,③

QR ? 平面 PQRO , AB ? 平面 PQRO ,
所以 QR ? AB . 过程释疑 ① PO ? ? ,则 PO 与 ? 内的任意一条直线都垂直,故 PO ? AB . ② AB 与平面 PQO 内的 PQ , PO 两条相交直线都垂直,则 AB ? 平面 PQO . ③两平行直线可确定一平面,这是为了证明点 R 也在平面 PQO 内,即平面 PQO 与平 面 PQRO 为同一平面. 要证线线垂直,只需证线面垂直,可利用线面垂直的定义或判定定理证明,从而 得出所需结论.因此,在解题时,要充分体现线面关系的相互转化在解题中的灵活运用:

应用点三 面面垂直性质的应用 例 3 (2013 ? 江苏高考改编) 如图 2.3-30, 在三棱锥 S ? ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC ,过点 A 作 AF ? SB , 垂直为 F .求证: BC ? SA . 证明:因为平面 SAB ? 平面 SBC ,平面 SAB ? 平面 SBC ? SB ,

AF ? 平面 SAB , AF ? SB ,
所以 AF ? 平面 SBC .① 又因为 BC ? 平面 SBC ,所以 AF ? BC .② 因为 AB ? BC , AF ? AB ? A , 所以 BC ? 平面 SAB .③ 又因为 SA ? 平面 SAB ,所以 BC ? SA . 过程释疑 ①由面面垂直的性质定理可得. ②由线面垂直的定义可知, AF 垂直于平面 SBC 内的任意直线. ③由线面垂直的判定定理可得. 已知面面垂直,可考虑利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.应用 面面垂直的性质定理,注意以下三点: (1)两个平面垂直是前提条件; (2)直线必须在其中

一个平面内; (3)直线必须垂直于它们的交线. 应用点四 线线、线面、面面垂直的综合应用 例 4 如 图 2.3-31 , 在 四 棱 锥 P ? A B C D中 , 底 面 A B C D是 边 长 为 a 的 菱 形 ,

?DAB ? 60? ,侧面 PAD 为等边三角形,其所在平面垂直于底
面 ABCD . (1)求证: AD ? PB ; (2)若 E 为 BC 边的中点,能否在 PC 棱上找一点 F ,使 平面 DEF ? 平面 ABCD ?并证明你的结论.

(1)证明:设 G 为 AD 的中点,连接 PG , BG ,如图 2.3-32. 因为 ?PAD 为等边三角形,所以 PG ? AD .
? 在菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60 , G 为 AD 的中点,所以 BG ? AD .

又因为 BG ? PG ? G ,所以 AD ? 平面 PGB .① 因为 PB ? 平面 PGB ,所以 AD ? PB .② (2) 解: 当 F 为 PC 的中点时, 满足平面 DEF ? 平面 ABCD .如图 2.3-32, 设 F 为 PC 的中点,则在 ?PBC 中, EF / / PB . 在菱形 ABCD 中, GB / / DE , 而 EF ? 平面 DEF , EF ? DE ? E , 所以平面 DEF / / 平面 PGB .③ 由 (1) , 得 PG ? 平面 ABCD , 而 PG ? 平面 PGB , 所以平面 PGB ? 平面 ABCD , 所以平面 DEF ? 平面 ABCD .④ 过程释疑 ①根据直线与平面垂直的判定定理可得. ②因为 AD ? 平面 PGB ,所以 AD 垂直于平面 PGB 内的任意一条直线. ③因为平面 DEF 中的两条相交直线 EF 、 DE 分别平行于平面 PGB 中的两条相交直 线 PB 、 GB ,所以两平面平行. ④若平面 ? / / ? , ? ? ? ,则 ? ? ? . 空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则, 解题时要抓住几何

图形自身的特点,如等边三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.对于 一些较复杂的问题,注意应用转化思想来解决.

多向思维

新拓展

解题技巧
例 1 如图 2.3-33 ,在直四棱柱 A 1B 1C1D 1 ? ABCD 中,当底面四边形

ABCD 满足什么条件时,有 AC ?BD 1 1 1 ?(注:写出一个你认为正确的条件
即可,不必考虑所有可能的情形) 分析:

解 : 因 为 BD / / B1D1 , 所 以 要 使 A ? BD . 又 因 为 A1 A ? 平 面 1 1C ? B 1D 1 , 需 AC

A B C D,

A1 A ? BD , A1 A ? AC ? A1 ,所以 BD ? 平面 A1 AC . 1
AC ? BD . 因为 AC ? 平面 A 1 AC ,
由以上分析,知要使 AC ? B1 D1 ,需使 AC ? BD 或任何能够推导出 AC ? BD 的条 1 件,如四边形 ABCD 是正方形、菱形等. 解后反思:此题是对条件开放的,因此解决此类问题时一般从结论入手,分析得到该结 论所需要的条件.逐步时问题简化,最终得证.这种解决问题的技巧在今后的学习中经常用 到,注意掌握.

易错易混
例 2 如图 2.3-34,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, E 是侧棱 BB1 的中点,求证:平面

A1EC ? 平面 AAC 1 1C .
F ,连接 EF ,证明 EF ? 平面 AAC 分析:取 AC 1 的中点 1 1C ,由吗垂直的判定定理得
证.

证明:因为 E 是侧棱 BB1 的中点,所以 B1E ? BE , 又因为在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,
? 有 A1B1 ? BC , ?A 1B 1E ? ?CBE ? 90 ,

所以 ?A 1B 1R ? ?CBE .所以 A 1 E ? CE .

F ,连接 EF ,取 AC 的中点 G , 如图 2.3-35,取 AC 1 的中点
连接 FG , GB . 在 ?AA1C 中, GF / / AA 1 , GF ? 中点, 所以 BE / / AA 1 , BE ?

1 AA1 ,而点 E 是 BB1 的 2

1 AA1 ,所以 GF / / BE , GF ? BE . 2

所以四边形 BEFG 是平行四边形. 所以 BG / / EF . 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ABC 是等边三角形,所以 BG ? AC . 又因为平面 ABC ? 平面 AAC 1 1C , 所以 BG ? 平面 AAC 1 1C , 所以 EF ? 平面 AAC 1 1C . 又因为 EF ? 平面 A 1EC , 所以平面 A 1 EC ? 面 AAC 1 1C . 解后反思:本例中常见的错误是在证明了 ?A1 EC 为等腰三角形后,因为 F 是 AC 1 的中 点,所以 EF ? A ,所以 EF ? 平面 1 C . 又因为平面 A 1EC 与平面 AAC 1 1C 的交线为 AC 1

AAC 1 1C ,故而得平面 A 1 EC ? 平面 AAC 1 1C . 错误的根源在于我们在求证时把要证的平面 A1EC ? 平面 AAC 1 1C 作为了条件,从而混淆了题设和结论.

高效训练

速提能

1.在空间中,下列命题正确的是





A.垂直于同一条直线的两直线平行 B.平行于同一条直线的两个平面平行 C.垂直于同一个平面的两个平面平行 D.垂直于同一个平面的两条直线平行 2.关于直线 m , n 与平面 ? , ? ,有下列四个命题: ①若 m / /? , n / / ? ,且 ? / / ? ,则 m / / n ; ②若 m ? ? , n ? ? ,且 ? ? ? ,则 m ? n ; ③若 m ? ? , n / / ? ,且 ? / / ? ,则 m ? n ; ④若 m / /? , n ? ? ,且 ? ? ? ,则 m / / n . 其中真命题的序号是 A.①② B. ③④ ( ) C. ①④ D. ②③

3.在圆柱的一个底面上任取一点 (该点不在底面圆周上) , 过该点作另一个底面的垂线, 则这条垂线与圆柱的母线所在的直线的位置关系是 A.相交 B. 平行 ( ) D.相交或平行 )

C. 异面 (

4.若平面 ? ? 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? ,则 A. ? / / ? C. ? 与 ? 相交但不垂直

B. ? ? ? D.以上都有可能

5.如图 2.3-36,平面 ? ? 平面 ? , A ? ? , B ? ? , AB 与两平 面 ? , ? 所成的角分别为

? ? 何 ,过点 A 、 B 分别作两平面交线的 4 6
C. 3 : 2 D. 4 : 3

垂线,垂足分别为 A? 、 B? ,则 AB : A?B? 等于( ) A. 2 :1 B. 3 :1

6.三棱锥 P ? ABC 的三条侧棱 PA , PB , PC 两两垂直,O 是顶点 P 在底面 ABC 上 的射影,则 ( ) B. S?PBC ? S?ABC ? S?OBC
2

A. S?ABC ? S?PBC ? S?OBC C. 2S?PBC ? S?PBC ? S?OBC 7. 若 直 线 n ? 平 面

D. 2S?OBC ? S?PBC ? S?PBC

? , 直 线 m ? ? , 下 列 命 题 : ① ? / /? ? n ? m ; ②

? ? ? ? n / /m ; ③ n / /m ? ? ? ? ; ④ n ? m ? ? ? ? .其中正确的是
填序号)

. (只

8.设两个平面 ? , ? ,直线 l ,下列三个条件:① l ? ? ;② l / / ? ;③ ? ? ? .若以 其中两个作为前提条件,另一个作为结论,则可以构成三个命题,这三个命题中,正确命题 的个数为 .

E 9.如图 2.3-37, 在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
是 BC1 的中点,则直线 DE 与平面 ABCD 所成的角的正切值 为 . 10.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,

D体 积 且 AB ? 6 , BC ? 2 3 , 则 棱 锥 O ? A B C 的
为 . 11. 如 图 2.3-38 , ?ABC 为 等 边 三 角 形 , EC ? 平 面 ABC , DB ? 平 面 ABC ,

CE ? CA ? 2 BD , M 是 EA 的中点, N 是 EC 的中点,求证:平面 DMN / / 平面 ABC .

12. (2014·山东高考)如图 2.3-39 所示,四棱锥 P ? ABCD 中, AP ? 平面 PCD ,

AD / / BC , AB ? BC ?

1 AD , E , F 分别为线段 AD , PC 的中点. 2

(1)求证: AP / / 平面 BEF ; (2)求证: BE ? 平面 PAC . P71

答 案 专 区
1.D 解析:A 项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交;B 项中平行于 同一条直线的两个平面可能平行或相交; C 项中垂直于同一个平面的两个平面可能平行或相

交;D 项正确. 2.D 解析:① m 、 n 可能异面、相交或平行,④ m 、 n 可能平行、异面或相交,所以 ①④错误. 3.B 解析:由线面垂直的性质可得,选 B. 4.D 解析:两个平面都垂直于同一个平面,则这两个平面可能平行也可能相交,故 A, B,C 项都有可能,故选 D.

? ? ? ? A?B? , 5.A 解析: 如图 2.3-40, 连接 AB? 和 A?B .因为 ? ? ? , 且 AA? ? A?B? ,
BB? ? A?B? ,所以 AA? ? 平面 ? , BB? ? 平面 ? .
所以 ?BAB? 是 AB 与平面 ? 所成的角,即 ?BAB? ?

?
4



? ABA? 是 AB 与平面 ? 所成的角,即 ? ABA? ?
所以 A?B ? AB cos

?
6

.

?
6

?

3 ? 2 AB , BB? ? AB sin ? AB , 2 4 2

所以 A?B? ?

A?B2 ? BB?2 ?

3 2 1 AB2 ? AB2 ? AB , 4 4 2

所以 AB : A?B? ? 2 :1 .

2 6.B 解析: 如图 2.3-41, 由题设, 知 O 是垂心, 且有 AP ? PD , 所以 PD ? OD ? AD ,

即 S?PBC ? S?ABC ? S?OBC .
2

7. ① ③

解 析 :

n ?? ? n?? ? ?? ??n ? m , 故 ① 正 确 ; ? / /? ? m ? ? ?

n ??? m ?? ? ?? ? ? ? ? ? ,故③正确. m / /n? m ? ? ?
8. 1 解析: ①②作为前提条件, ③作为结论构成的命题正确, 过 l 作一平面与 ? 交于 l ? ,

则 l / / l ? ,所以 l ? ? ? ,故 ? ? ? ;①③作为前提条件,②作为结论构成的命题错误,这是 可能有 l ? ? ;②③作为前提条件,①作为结论构成的命题错误,这时 l 与 ? 的各种位置关 系都可能存在. 9.

5 DF , 解析: 取 BC 的中点 F , 连接 EF , 易知 ? EDF 为直线 DE 与平面 ABCD 5
1 5 . ? 5 5

所成的角, tan ?EDF ?

10. 8 3 解析:如图 2.3-42.因为矩形 ABCD 的四个顶点都 在球面上,所以过 A , B , C , D 四点的截面圆的圆心为矩形

ABCD 的中心 O? .连接 OO? ,在 ?AOC 中,因为 OA ? OC ,且 O? 为 AC 的中点,所以 OO? ? AC ,同理 OO? ? BD . 又因为

AC ? BD ?
O? ,所以 OO? ? 平面 ABCD ,即 OO? 为棱锥 O ? ABCD 的高.

AO? ?

62 ? (2 3)2 4 3 AC ? ? ?2 3, 2 2 2

OO? ? AO 2 ? AO?2 ? 42 ? (2 3) 2 ? 2 ,
所以 VO ? ABCD ?

1 ? 6? 2 3 ? 2 ? 8 3 . 3

11.证明:因为 M , N 分别是 EA , EC 的中点,所以 MN / / AC . 又因为 AC ? 平面 ABC , MN ? 平面 ABC , 所以 MN / / 平面 ABC . 因为 DB ? 平面 ABC , EC ? 平面 ABC ,所以 DB / / EC , 所以四边形 BDEC 为直角梯形. 因为 N 为 EC 的中点, EC ? 2 DB , 所以 NC / / DB ,且 NC ? DB . 所以四边形 BCND 为矩形, 所以 DN / / BC . 又因为 DN ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , 所以 DN / / 平面 ABC .

又因为 MN ? DN ? N ,且 MN , DN ? 平面 DMN , 所以平面 DMN / / 平面 ABC . 12.证明: (1)如图 2.3-43 所示,设 AC ? BE ? O ,连接 OF , EC . 由于 E 为 AD 的中点, AB ? BC ?

1 AD , AD / / BC , 2

所以 AE / / BC , AE ? AB ? BC , 所以 O 为 AC 的中点. 又在 ?PAC 中, F 为 PC 的中点,所以 AP / / OF . 又 OF ? 平面 BEF , AP ? 平面 BEF , 所以 AP / / 平面 BEF . (2)由题意知, ED / / BC , ED ? BC , 所以四边形 BCDE 为平行四边形,所以 BE / / CD . 又 AP ? 平面 PCD , 所以 AP ? CD , 所以 AP ? BE . 因为四边形 ABCE 为菱形,所以 BE ? AC . 又 AP ? AC ? A , AP 、 AC ? 平面 PAC , 所以 BE ? 平面 PAC .


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