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2017年春季学期苏教版高中数学必修4教案:2.4 向量的数量积(1)


2.4 向量的数量积(1) 一、课题:向量的数量积(1) 二、教学目标:1.理解平面向量数量积的概念; 2.掌握两向量夹角的概念及其取值范围 [0, ? ] ; 3.掌握两向量共线及垂直的充要条件; 4.掌握向量数量积的性质。 三、教学重、难点:向量数量积及其重要性质。 四、教学过程: (一)引入: 物理课中,物体所做的功的计算方法: ? (图 1) ?? F ? s ?? ? ?? ? . W ?| F || s | cos? (其中 ? 是 F 与 s 的夹角) (二)新课讲解: 1.向量的夹角: B ??? ? ? ? b ? ? ?AOB ? ? ( 0? ? ? ? 180? )叫做向量 a 与 b 的夹角。 (图 2) ? ? ? ? 当 ? ? 0 时, a 与 b 同向; ? ? ? O A ? a 当 ? ? 180 时, a 与 b 反向; ? ? ? ? ? ? ? ? 当 ? ? 90 时, a 与 b 的夹角是 90 ,我们说 a 与 b 垂直,记作 a ? b . 已知两个向量 a 和 b (如图 2) ,作 OA ? a , OB ? b ,则 已知两个非零向量 a 和 b ,它们的夹角为 ? ,则数量 | a | ? | b | ? cos? 叫做 a 与 b 的数量 ? ? ??? ? ? 2.向量数量积的定义: ? ? ? ? ? ? 积(或内积) ,记作 a ? b ,即 a ? b ?| a | ? | b | ? cos? . 说明:①两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角 有关; ②实数与向量的积与向量数量积的本质区别: 两个向量的数量积是一个数量; 实 数与向量的积是一个向量; ③规定,零向量与任一向量的数量积是 0 . 3.数量积的几何意义: (1)投影的概念: 如图, OA ? a , ,过点 B 作 BB1 垂直于直线 OA ,垂足为 B1 ,则 OB1 ?| b | cos? . ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? B B O ? b ? ? a ? b B B1 B1 O A O ( B1 ) A ? ? ? | b | cos? 叫做向量 b 在 a 方向上的投影,当 ? 为锐角时,它是正值;当 ? 为钝角时,它 A ? ? a ? b ? 是一负值;当 ? ? 90 时,它是 0 ;当 ? ? 0 时,它是 | b | ;当 ? ? 180 时,它是 ? | b | . ? ? ? ? ? (2) a ? b 的几何意义:数量积 a ? b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 的方向上的投影 | b | cos? 的乘积。 ? 【练习】 :①已知 | a |? 5 , | b |? 4 , a 与 b 的夹角 ? ? 120 ,则 a ? b ? ?10 ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? | b | ,则 a ? b ? 8 ; 2 ? ? ? ? ? ? ? ③已知 | a |? 5 , | b |? 4 , a ? b ? ?3 2 ,则 a 与 b 的夹角 ? ? 135 . ②已知 | b |? 4 , a 在 b 上的投影是 ? ? ? (3)数量积的性质: 设 a 、 b 都是非零向量, ? 是 a 与 b 的夹角,则 ? ? ? ? ? ? a ?b ① c

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