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2017年春季学期苏教版高中数学必修4教案:2.4 向量的数量积(1)

2.4 向量的数量积(1) 一、课题:向量的数量积(1) 二、教学目标:1.理解平面向量数量积的概念; 2.掌握两向量夹角的概念及其取值范围 [0, ? ] ; 3.掌握两向量共线及垂直的充要条件; 4.掌握向量数量积的性质。 三、教学重、难点:向量数量积及其重要性质。 四、教学过程: (一)引入: 物理课中,物体所做的功的计算方法: ? (图 1) ?? F ? s ?? ? ?? ? . W ?| F || s | cos? (其中 ? 是 F 与 s 的夹角) (二)新课讲解: 1.向量的夹角: B ??? ? ? ? b ? ? ?AOB ? ? ( 0? ? ? ? 180? )叫做向量 a 与 b 的夹角。 (图 2) ? ? ? ? 当 ? ? 0 时, a 与 b 同向; ? ? ? O A ? a 当 ? ? 180 时, a 与 b 反向; ? ? ? ? ? ? ? ? 当 ? ? 90 时, a 与 b 的夹角是 90 ,我们说 a 与 b 垂直,记作 a ? b . 已知两个向量 a 和 b (如图 2) ,作 OA ? a , OB ? b ,则 已知两个非零向量 a 和 b ,它们的夹角为 ? ,则数量 | a | ? | b | ? cos? 叫做 a 与 b 的数量 ? ? ??? ? ? 2.向量数量积的定义: ? ? ? ? ? ? 积(或内积) ,记作 a ? b ,即 a ? b ?| a | ? | b | ? cos? . 说明:①两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角 有关; ②实数与向量的积与向量数量积的本质区别: 两个向量的数量积是一个数量; 实 数与向量的积是一个向量; ③规定,零向量与任一向量的数量积是 0 . 3.数量积的几何意义: (1)投影的概念: 如图, OA ? a , ,过点 B 作 BB1 垂直于直线 OA ,垂足为 B1 ,则 OB1 ?| b | cos? . ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? B B O ? b ? ? a ? b B B1 B1 O A O ( B1 ) A ? ? ? | b | cos? 叫做向量 b 在 a 方向上的投影,当 ? 为锐角时,它是正值;当 ? 为钝角时,它 A ? ? a ? b ? 是一负值;当 ? ? 90 时,它是 0 ;当 ? ? 0 时,它是 | b | ;当 ? ? 180 时,它是 ? | b | . ? ? ? ? ? (2) a ? b 的几何意义:数量积 a ? b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 的方向上的投影 | b | cos? 的乘积。 ? 【练习】 :①已知 | a |? 5 , | b |? 4 , a 与 b 的夹角 ? ? 120 ,则 a ? b ? ?10 ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? | b | ,则 a ? b ? 8 ; 2 ? ? ? ? ? ? ? ③已知 | a |? 5 , | b |? 4 , a ? b ? ?3 2 ,则 a 与 b 的夹角 ? ? 135 . ②已知 | b |? 4 , a 在 b 上的投影是 ? ? ? (3)数量积的性质: 设 a 、 b 都是非零向量, ? 是 a 与 b 的夹角,则 ? ? ? ? ? ? a ?b ① cos? ? ? ? ; | a || b | ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ②当 a 与 b 同向时, a ? b ?| a || b | ;当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? | a || b | ; ? ? ? ? ? ? 特别地: a ? a ?| a |2 或 | a |? a ? a ; ? ? ? ? ③ | a ? b |?| a || b | ; ? ? ? ? ④ a ? b ? a ?b ? 0 ; ? ? 若 e 是与 b 方向相同的单位向量,则 ? ? ? ? ? ⑤ e ? a ? a ? e ?| a | cos? . 4.例题分析: 例 1 已知正 ?ABC 的边长为 2 ,设 BC ? a , CA ? b , AB ? c ,求 a ? b ? b ? c ? c ? a . ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴原式 ?| a | ? | b | ? cos120 ? | b | ? | c | ? cos120 ? | a | ? | c | ? cos120 1 ? 2 ? 2 ?( ? ) ?3 ? . ? 6 2 B C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 2 已知 | a |? 3 , | b |? 3 , | c |? 2 3 ,且 a ? b ? c ? 0 ,求 a ? b ? b ? c ? c ? a . ??? ? ? ??? ? ? C 解:作 AB ? c , BC ? a , ? ? ? ? ??? ? ? ∵ a ? b ? c ? 0 , ∴ CA ? b , ? ? ? ? ? ? ? ? ∵ || a | ? | b ||?| c |?| a | ? | b | 且 | c |2 ?| a |2 ? | b |2 , A B 3 ? ? ? ∴ ?ABC 中, C ? 90 , ∴ tan A ? ,∴ ?A ? 30 , ?B ? 60 , 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 所以, a ? b ? b ? c ? c ? a ? 3? 2 3 cos150 ? 3 ? 2 3 cos120 ? ?9 ? 3 ? ?12 . 解:如图, a 与 b

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