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吉林省实验中学2017届高三上学期第四次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案


吉林省实验中学 2017 届高三年级第四次模拟考试
数学(理科)学科试卷 考试时间:120 分钟 满分:150 分

出题人:李金龙

审题人:周春堂

2016 年 12 月 23 日

第Ⅰ卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. ) 1. 已知集合 M ? ??1,0,1 ?, N ? x | ? x ?1?? x ?1? ? 0 ,则 M ? N ? A. ??1,0,1? B. ??1,1? C. ?0? D. 0,1

?

?





? ?


2.已知复数 z ? a ? i, a ? R ,若 z ? z ? 2 ,则复数 z 的共轭复数 z ? ( A. 1 ? i B. 1 ? i C. ?1 ? i D. ?1 ? i

2 3.已知命题“ ?x ? R ,使 4 x ? (a ? 2) x ?

1 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值范围是( 4
D. (0, 4)



A. (??,0)

B. ?0,4?

? ?? C. ?4,

4.已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 y ? 3x 上, 则 sin(2? ? A. ?

?
3

) ?(
B.



3? 4 3 10

?

4?3 3 3? 4 3 C. 10 10

D.

4?3 3 10

?( x 2 ? x ? 2) ln x, x ? 2, ? 5. 设函数 f ( x) ? ? 1 则 f ( f (3 11)) ? ( 2 ? lg( x ? 1), x ? 2, ?2
A.0 B.1 C.2 D.3



6.《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作,书中系统的介绍了等差数列,同 类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题,大意为:某女子善于织布, 后一天比前一天织的快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布 5 尺,一个月(按 30 天 计算)总共织布 585 尺,问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为( )

A.

1 尺 2

B.

2 尺 3

C. 1 尺

D.

3 尺 2


7. 已知函数 f ( x) ? loga (6 ? ax) 在 (?3,2) 上是减函数,则 a 的取值范围是 ( A. (0,3) B. (1,3] C.

(1,3)

D. [3, ??)

? x ? 2 y ? 2, ? 8. 当 x , y 满足不等式组 ? y ? 4 ? x, 时, ?2 ? 2kx ? y ? 2 恒成立,则实数 k 的取值范围是 ?x ? 7 y ? 2 ?
( )A. ? ?

? 1 ? ,0 ? 10 ? ?

B. ? ?1,0?

C. ? ?

? 1 3? , ? 10 10 ? ?
2 2

D. ? ? , 0 ? 5

? 1 ?

? ?

9.已知正项数列 ?an ? 中,a1 ? 1, a2 ? 2, 2an ? an ?1 ? an ?1 ? n ? 2 ? , bn ?
2

1 , 记数列 ?bn ? an ? an?1

的前 n 项和为 Sn ,则 S40 的值是( A.



10 3

B. 10

C.

11 3

D.11
2

10.若正实数 x, y 满足 log2 ? x ? 3 y ? ? log4 x ? log2 ? 2 y ? ,则 x ? 3 y 的最小值是( A.12 B.10 C.8 D.6
?



11. 已知 A, B 是单位圆 O 上的两点( O 为圆心) , ?AOB ? 120 ,点 C 是线段 AB 上不与

???? ? ???? A、B 重合的动点. MN 是圆 O 的一条直径,则 CM ? CN 的取值范围是(
A. [? , 0)



3 4

B. [?1,1)

C. [ ?

1 ,1) 2

D. [?1, 0)

12. 已知常数 e ? 2.71828 ??? ,定义在 ?0, ??? 上的函数 f ? x ? 满足: 2 f ? x ? ? f ? ? x ? ?

x e
x



1 ?1? , 其 中 f ? ? x? 表 示 f ? x ? 的 导 函 数 . 若 对 任 意 正 数 a , b 都 有 f ? ?? ? 2 ? 2 2e 1 1 ab ? x ?3? f? ? ? 2 ? 2 2? ,则实数 x 的取值范围是( e b 32 ? x ? 4a
A. ? ??,0? ? ?6, ??? B. 2,6 ) D. ?6, ???

?

?

C. ? ??,0? ? ?4, ???

第Ⅱ卷

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分. )
13、

?

3

1

(e x ? 2 x) ?

14、已知 p : a ? 4 ? x ? a ? 4, q : ? x ? 2?? x ?1? ? 0 ,若 ? p 是 ? q 的充分条件,则实数 a 的取 值范围是__________.

n i B ? a s n i 15.在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c , 若bs
的面积为 a 2 sin B ,则 cos B ? ______. 16. 对于数列 ?an ? , 定义 Hn ?

A

? s n a i

1 C 2

B C , 且 ?A

a1 ? 2a 2 ? ? ? 2 n ?1 a n 为 ?an ? 的 “优值” , 现在已知某数列 ?an ? n

的“优值” Hn ? 2 n?1 ,记数列

?an ? kn?的前 n 项和为 S

n

,若 S n ? S 6 对任意的 n 恒成立,

则实数 k 的取值范围是_________.

三、 解答题: (本大题共 6 小题, 其中 17~21 小题为必考题, 每小题 12 分; 第 22~23 为选考题,考生根据要求做答,每题 10 分)
17. (本小题满分 12 分)

a ? 2. 已知向量 a ? ? sin x, ?1? , b ? ? 3 cos x, ? ? ,函数 f ? x ? ? a ? b ?
(1)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; ( 2 )已知 a, b, c 分别为 ?ABC 内角 A, B, C 的对边,其中 A 为锐角, a ? 3, c ? 1 ,且

?

? ? ?

1? 2?

?? ? ?

?

f ? A? ? 1 ,求 ?ABC 的面积 S .

18. (本小题满分 12 分) 已知点(1,3)是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的前 n 项和

为 f (n) ? c , 数 列 {bn } (bn ? 0) 的 首 项 为 c , 且 前 n 项 和 S n 满 足 S n - S n?1 = ( n ? 2 ). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

S n + Sn?1

1000 1 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2017 bn bn?1

19 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 侧 面 PCD ? 底 面

ABCD , PD ? CD , E 为 PC 中点,底面 ABCD 是直角梯形, AB / / CD , ?ADC ? 90 ? ,
AB ? AD ? PD ? 2 , CD ? 4 .
(1)求证: BE / / 平面 PAD ; (2)求证:平面 PBC ? 平面 PBD ; (3)设 Q 为棱 PC 上一点, CQ ? ?CP ,试确定 ? 的值使得二面角 Q ? BD ? P 为 45 ? .

??? ?

??? ?

20. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 a 2 b2



1 ,右焦点 F (1, 0) . 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P 在椭圆 C 上,且在第一象限内,直线 PQ 与圆 O : x
2

? y 2 ? b2 相切于点 M ,且

OP ? OQ ,求点 Q 的纵坐标 y0 的值.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? e

3ax

? a ? R? 的图像 C 在点 P ?1, f ?1?? 处切线的斜

率为 e ,记奇函数 g ? x ? ? kx ? b ? k , b ? R, k ? 0? 的图像为 l . (1)求实数 a , b 的值; (2)当 x ? ? ?2,2 ? 时,图像 C 恒在 l 的上方,求实数 k 的取值范围; ( 3 )若图像 C 与 l 有两个不同的交点 A, B ,其横坐标分别是 x1 , x2 ,设 x1 ? x2 ,求证:

x1 ? x2 ? 1.? x1 ?

1 x2

请考生在 22、23 二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? t cos ? ( t 为参数) ,在极坐标系(与直 ? y ? 1 ? t sin ?

角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中,曲线 C 的方程 ? =4sin ? (1)求曲线 C 的直角坐标系方程; (2)若点 P ? 3,1? ,设圆 C 与直线 l 交于点 A, B ,求 | PA | ? | PB | 的最小值.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |, x ? R . (1)解不等式 f ( x) ? 6 ; (2)若不等式 6m2 ? 4m ? f ( x) 对任意 x ? R 都成立,求实数 m 的取值范围.

吉林省实验中学 2017 届高三年级第二次模拟考试参考答案 一、 选择题: 1.C 2. B 3.D 4. C 5.A 6.C 7.B 8.A 9.A 10.D 11.A 12.A 二、 二、 填空题:13. 解答题:

e3 ? e ? 8 14. ? ?2,5?

15.

3 4

16. ? , ? ? 7 3?

?16 7 ?

a?2 17.试题解析: (1) f ? x ? ? a ? b ?

?? ? ?
1 ?2 2

?

?2 ? ? ? a ? a? b ?2 ? sin 2 x ? 1 ? 3 sin x cos x ? 1 ? cos 2 x 3 1 ? sin 2 x ? 2 2 2 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 ?? ? ? sin ? 2 x ? ? 6? ? ?

? ?? ? k? ? , k ? ? ? ( k ? z ) ? 6 3? ?
(2) f ? A? ? sin ? 2 A ?

? ?

??

? ? 1, 6?

因为 A ? ? 0, 所以 2 A ?

? ? ? 5? ? ? ?? ?, 2A ? ?? ? , ?, 6 ? 6 6 ? ? 2?
?
6 ?

?
2

,A?

?
3



2 2 2 又 a ? b ? c ? 2bc cos A ,则 b ? 2 ,

从而 S ?

1 3 . bc sin A ? 2 2
x

18. 试题解析: (1)由 f (1)=a ? 3 , f ( x) ? 3 , 等比数列 {an } 的前 n 项和为 f (n) ? c 可得 an ? 2? 3n-1

Q Sn ? Sn?1 ?

?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , S n ? 0 , ? S n ? S n ?1 ? 1 ;

?数列

? S ? 构成一个首相为1 公差为1 的等差数列,
n
2

? Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n ? Sn ? n 2
当 n ? 2 , bn ? Sn ? Sn ?1 ? n 2 ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

? bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2)

Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn ?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?

?

1? 1 ? n 1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? ?1 ? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

由 Tn ?

n 1000 ? 2n ? 1 2017

得n ?

1000 1000 ,满足 Tn ? 的最小正整数为 59. 2017 9

19. 试题解析: (1)令 PD 中点为 F ,连接 EF ,AF

? 点 E , F 分别是 PC、PD 的中点, ? EF //

1 CD ,? EF // AB . 2

? 四边形 FABE 为平行四边形. ? BE / / AF , AF ? 平面 PAD ,
? BE // 面PAD

BE ? 平面 PAD

(2)在梯形 ABCD 中,过点 B 作 BH ? CD 于 H ,
0 在 ?BCH 中, BH ? CH ? 1 ,??BCH ? 45 .

0 又在 ?DAB 中, AD ? AB ? 1 ,??ADB ? 45 ,

??BDC ? 450 ,??DBC ? 900

? BC ? BD . ? 面 PCD ? 面 ABCD ,面 PCD ? 面 ABCD ? CD , PD ? CD , PD ? 面 PCD , ? PD ? 面 ABCD , ? PD ? BC ,
BD ? PD ? D , BD ? 平面 PBD , PD ? 平面 PBD ? BC ? 平面 PBD ,

BC ? 平面 PBC , ? 平面 PBC ? 平面 PBD
(3)作 QR ? CD 于 R,作 RS ? BD 于 S,连结 QS

由于 QR∥PD,∴ QR ? 平面ABCD ∴∠QSR 就是二面角 Q ? BD ? C 的平面角 60 ? ∵面 PBD ? 面 ABCD ,且二面角 Q ? BD ? P 为 60 ? ∴∠QSR= 60 ? ∵QR∥PD ∴ ∴ ?= 6 ? 2 ∴ SR ?

3 QR 3

CQ CR = = 6 ?2 CP CD

?c 1 x2 y 2 ? ? , ? ?1. 20.试题解析: (1) ? a 2 ∴ c ? 1 , a ? 2 ,∴ b ? 3 ,∴椭圆方程为 4 3 ? ?c ? 1,
(2)①当 PM ? x 轴时, P ( 3, 由 OP ? OQ ? 0 ,解得 t ? 2 3 . ② 当 PM 不 垂 直 于 x 轴 时 , 设 P( x0 , y0 ) , PQ 方 程 为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , 即

3 ) , Q( 3, t ) , 2

??? ? ????

kx ? y ? kx0 ? y0 ? 0 ,
∵ PQ 与圆 O 相切,∴

| kx0 ? y0 | k 2 ?1

? 3,

∴ (kx0 ? y0 )2 ? 3k 2 ? 3 , ∴ 2kx0 y0 ? k 2 x02 ? y02 ? 3k 2 ? 3 , 又Q (

??? ? ???? t ? y0 ? kx0 x ( y ? kx0 ) , t ) ,所以由 OP ? OQ ? 0 ,得 t ? 0 0 , k x0 ? ky0

x0 2 ( y ? kx0 )2 x0 2 (kx0 ? y0 )2 x0 2 (3k 2 ? 3) ∴t ? ? 2 ? ( x0 ? ky0 )2 x0 ? k 2 y02 ? 2kx0 y0 x02 ? k 2 y02 ? k 2 x02 ? y02 ? 3k 2 ? 3
2

x0 2 (3k 2 ? 3) ? ? 12 , 3 (1 ? k 2 ) x0 2 ? (1 ? k 2 )(3 ? x0 ) 2 ? 3k 2 ? 3 4
∴ t ? ?2 3 .

综上: t ? ?2 3 . 21.试题分析: (1)根据导数的几何意义 f ??1? ? e ,求得 a ,再根据函数 g ?x ? 是奇函数,可
x 求得 b ? 0 ; (2)根据(1)的结论,可将问题转化为 ?x ? ? ?1,2? , e ? kx 恒成立,通过讨论







































? ex k ? , x ? ? 0? , 2 ? ? x ? x ? 0时 k ? , R ?当, x ? 时,有 0? 成立 , x e ?k ? , x ? ? ? 1 ? , 0 ? x ?
h? x ?? ex , x ?? , ??x 1 ??











k 的取值范围; 0 0 , 2 (3)点 A,B 在 ? ,利用导数求函数的最值,即得

曲线上,设出点的坐标,经过指对互化,表示 x1 x2 ,再通过分析法证明 x1 x2 ? 1 .
3 ax 3a 试题解析:解: ( 1)? f ? ? x ? ? 3ae ,? f ? ?1? ? 3ae ? e ? a ?

1 , 3

? g ? x ? ? kx ? b 为奇函数,? b ? 0 ;
(2)由(1)知 f ? x ? ? e , g ? x ? ? kx ,
x

因为当 x ? ? ?2, 2? 时,图像 C 恒在 l 的上方,所以 ?x ? ? ?1,2? , e ? kx 恒成立,
x

记 h ? x? ?

ex x ?1 , x ? ? ?1, 0 ? ? ? 0, 2 ? ,则 h? ? x ? ? 2 e x ,由 h? ? x ? ? 0 ? x ? ?1, 2? , x x

? h ? x ? 在 ? ?2,0? 单调减,在 ? 0,1? 单调减,在 ?1, 2 ? 单调增,
? ex k ? , x ? ? 0, 2 ? ? ? ? 1 1 ? x ?? ? k ? ? ? 2 , e2 ? , x ? 2e 2 ? ?k ? e , x ? ? ?2, 0 ? ? x ?
综上,所求实数 k 的取值范围是 ? ? 2 , e2 ? ; ? 2e 2 ? (3)由(2)知 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,设 x2 ? tx1 ?t ? 1? ,

?

1

1

?

? e x1 ? kx1 , e x2 ? kx2 ,? e x2 ? x1 ?

x2 ? e?t ?1? x1 ? t , x1

? t ? 1? x1 ? ln t ? x1 ?
要证 x1 x2 ? 1,即证 t

ln t ? ln t ? 2 ,? x1 x2 ? tx1 ?t? ? , t ?1 ? t ?1 ? ln t ? 1,令 ? ? t ? ? ? 1? , t ?1

2

即证 2? ln ? ? ? 2 ?1 ? 2? ln ? ? ? 2 ? 1 ? 0 , 令 ? ? ? ? ? 2? ln ? ? ? ?1? ? ? 1? ,即证 ? ? ? ? ? 0 ,
2

? ? ? ? ? ? 2ln ? ? 2? ? 2 ? ? ?? ? ? ? ?

2

?

?2 ?

2 ?1 ? ? ?

?



? ? ? 1,???? ? ? ? ? 0,??? ? ? ? 在 ?1, ?? ? 上单调减, ??? ? ? ? ? ?? ?1? ? 0,?? ? ? ? 在 ?1, ?? ? 上单调减, ?? ? ? ? ? ? ?1? ? 0 ,
所以, x1 x2 ? 1

? x1 ?

1 x2
2

22.选修 4-4:坐标系与参数方程
2 【答案】 (1) ? x ? 2 ? ? y ? 4 (2)

试题分析: (1)利用 x ? ? cos? , y ? ? sin ? , ? ? x ? y 将曲线 C 的极方程化为直角坐标方
2 2 2

程: x ? ( y ? 4) ? 16
2 2

(2)利用直线参数方程几何意义得

| PA | ? | PB |?| t1 ? t2 |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2

,因此

将直线参数方程与圆直角坐标方程联立方程组,利用韦达定理代入化简得

| PA | ? | PB | 12+4sin 2? ? 2 2

1 3 ? 3 ? ?1 ?x ? ? ?x? ?x ? 23.试题解析: (1)原不等式等价于 ? 或 ?2 , 2 2 或? 2 ? ? ? ?4 ? 4 x ? 6 ?2 ? 6 ?4 x ? 4 ? 6
1 1 1 5 3 3 ?x? 或 ? x? 或 ?x? , 2 2 2 2 2 2 1 5 ∴不等式 f ( x) ? 5 的解集为 [ ? , ] . 2 2
得? (2) ∵ f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| 2 x ? 1 ? (2 x ? 3) |? 2 ,

2 2 ∴ 6m ? 4m ? [ f ( x)]min ? 2 ? 3m ? 2m ? 1 ? 0 ? ?

1 ? m ? 1. 3


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