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高中数学2-2《平面向量的线性运算》课件新人教A版必修


2.2

平面向量的线性运算

1.向量、平行向量、相等向量的含义分 别是什么?

2.用有向线段表示向量,向量的大小和 方向是如何反映的?什么叫零向量和单 位向量?

3.两个实数可以相加,从而给数赋予了 新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面 上,那是没有多大意义的.我们希望两个 向量也能相加,拓展向量的数学意义, 提升向量的理论价值,这就需要建立相 关的原理和法则.

探究一:向量加法的几何运算法则
思考1:如图,某人从点A到点B,再从点B按 原方向到点C,则两次位移的和可用哪个向量 表示?由此可得什么结论?

AB ? BC ? AC

A

B

C

思考2:如图,某人从点A到点B,再从点B按 反方向到点C,则两次位移的和可用哪个向 量表示?由此可得什么结论?
AB ? BC ? AC
C A B

探究二:向量减法的含义

思考1:两个相反向量的和向量是什么? 向量a的相反向量可以怎样表示? -a 思考2:-a的相反向量是什么?零向量 的相反向量是什么?
-(-a)=a

规定:零向量的相反向量仍是零向量.

在实数的运算中,减去一个数等于加上 这个数的相反数.据此原理,向量a-b可 以怎样理解? 定义:a-b=a+(-b). 两个向量的差还是一个向量吗? 向量a加上向量b的相反向量,叫做a与b 的差向量,求两个向量的差的运算叫做 向量的减法,对于向量a,b,c,若a+c =b,则c等于什么? a+c= b c = b -a

探究三:向量的数乘运算及其几何意义

已知非零向量a,如何求作向量a+a+ a和(-a)+(-a)+ (-a)?
a

-a
P N

-a
M

-a
O

uuu r OP =(-a)+(-a)+(-a)

-

2

向量a+a+a和(-a)+ (-a)+(-a)分别如何简化其表示 形式? a+a+a记为3a, (-a)+(-a)+(-a)记为-3a. 向量3a和-3a与向量a的大小和方向有 什么关系?
a a O A a B a

-a
P N

-a
M

-a
O

C

设a为非零向量,那么 a和 量吗?它们分别与向量a有什么关系?
a

2 - 2 a 还是向 3

2 a 3

-

2a

一般地,我们规定:实数λ与向量a的积 是一个向量,这种运算叫做向量的数乘. 记作λ a,该向量的长度与方向与向量a 有什么关系? (1)|λ a|=|λ ||a|; (2)λ >0时,λ a与a方向相同; λ <0时,λ a与a方向相反; λ =0时,λ a =0.

探究四:向量的数乘运算性质 你认为-2×(5a),2a+2b, (3 + 2)a可分别转化为什么运算? -2× (5a)= -10a ; 2a + 2b = 2(a+b); (3+ 2 )a =3a+ 2 a.

一般地,设λ ,μ 为实数,则λ (μ a), (λ +μ ) a,λ (a+b)分别等于什么? λ (μ a)=(λ μ ) a ; ( λ + μ ) a = λ a + μ a; λ (a+ b)=λ a+λ b.

对于向量a(a≠0)和b,若存在实数 λ ,使b=λ a,则向量a与b的方向有 什么关系? 若向量a(a≠0)与b共线,则一定存 在实数λ,使b=λ a成立吗? 综上可得向量共线定理:向量a(a≠0) 与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ , 使b=λ a. 若a=0,上述定理成立吗?

uuu r uuu r 若存在实数λ ,使 A B = l BC ,则A、B、 C三点的位置关系如何? uuu r uuu r AB = l BC ? A、B 、C 共线

如图,若P为AB的中点,则 uuu r uuu uuu r r OP 与 OA 、OB 的关系如何?
r uuu uuu r r 1 uuu OP = (OA + OB ) 2
A

O

P

B

向量的加、减、数乘运算统称为向量的 线性运算,对于任意向量a、b,以及任 意实数λ 、x、y,λ (xa±yb)可转化为 什么运算?

λ (xa±yb)=λ xa±λ yb.

理论迁移

例1 计算 (1)(-3)×4a; (2)3(a+b)-2(a-b)-a; (3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).

例2 如图,已知任意两个非零向量 a , ??? ? b , 试作 = a + b , = a + 2 b , OB OA ???? OC =a+3b.你能判断A、B、C三点之 间的位置关系吗?为什么?
C 3b B 2b b O uuu r uuu r AC = 2AB ? A、B 、C 共线 a A

a

b

小结作业

1.实数与向量可以相乘,其积仍是向量, 但实数与向量不能相加、相减.实数除 以向量没有意义,向量除以非零实数就 是数乘向量. 2.若λ a=0,则可能有λ =0,也可能有 a=0. 3.向量的数乘运算律,不是规定,而是 可以证明的结论.向量共线定理是平面 几何中证明三点共线,直线平行,线段 数量关系的理论依据.

作业: P90练习:3,4,5,6.


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