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等差数列前n项求和公式


教学目标

探索并掌握等差数 列的前n项和公式,学 会用公式解决一些实际 问题.

重点、难点

等差数列前n项公式推导 思路的获得,及对公式的熟 练应用。

导 入

1+2+3+??+100=?
(1+100)+(2+99)+(3+98)+??+(50+51) =101×50=5050

用下面方法计算1,2,3??n的前n项和

1 ? 2 ? ?? ? n ? 1 ? n n ? n ? 1 ? ?? ? 2 ? 1 (n ? 1) ? (n ? 1) ? ?? ? (n ? 1) ? (n ? 1)

公式的推导

Sn ? a1 ? a2 ? ?? ? an?1 ? an Sn ? an ? an?1 ? ?? ? a2 ? a1
即 sn = a1 + (a1+d)+…… + [a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d] sn = an + (an-d)+…… + [an-(n-2)d]+[an-(n-1)d]
所以

2Sn ? n(a1 ? an )

公 式

n( a1 ? an ) 公式一: S n ? 2


an ? a1 ? (n ?1)d

代入上式可得

n(n ? 1)d 公式二: S ? na ? n 1 2

练习:根据下列各题中的条件,求相应的等 差数列{an}的前n项和Sn。 ⑴a1=-4,a8=-18,n=8

sn= -88
⑵a1=14.5,d=0.7,an=32

sn=604.5

典型例题 例1: 2、2000年11月14日教育部下发了《关于在中 小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了 实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年 的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测 算2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元 .为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都 比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年 内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?

解:根据题意,从2001 ~ 2010年,该市每年 投入“校校通”工程的经费都比上一年增加 50万元,所以可以建立一个等差数列{an}, 表示从2001年起各年投入的资金,其中

a1=500,

d=50.

那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为 s10=10×500+10×(10-1)×50/2=7250(万元) 答:从2001~2010年,该市在“校校通”工程 的总投入是7250万元。
审题—抽象出数学模型—解答

例2: 已知一个等差数列{an}前 10项的和是310,前二十项的和是 1220。由这些条件能确定这个等差 数列的前n项和的公式吗?

解:由题意知: s10=310, s20=1220 将它们代入公式Sn=na1+n(n-1)d/2,得到: 10a1+45d=310 20a1+190d=1220 解这个关于a1与d的方程组,得到: a1=4, d=6 所以Sn=4n+n(n-1)×6/2=3n2+n.

针对训练

1、等差数列{an}中 ⑴a1=20,an=54,sn=999求d及n

d=17/13,n=27
⑵d=1/3,n=37,sn=629 求a1及an

a1=11,an=23

小结:Sn实质是一个关于a1 ,n, d或a1 , an , d的方程。因此对 于等差数列的相关量a1 ,n,d , an, Sn,已知其中任意三个量, 根据通项公式与求和公式便可确 定其他量。

例3:已知数列{an}前n项的和 为 sn=n2+(1/2)n求这个数列的通 项公式。这个数列是等差数列吗? 如果是,它的首项与公差分别是 什么?

解:根据sn=a1+a2+…+an-1+an 与 sn-1=a1+a2+…+an-1(n>1) 可知,当n>1时, an=sn-sn-1 =n2+1/2n-〔(n-1)2+1/2(n-1)〕 =2n-1/2 ? ? ① 当n=1时, a1=s1=12+1/2×1=3/2, 也满足①式。 所以数列{an}的通项公式为an=2n-1/2. 由此可知,数列{an}是一个首项为3/2,公差 为2的等差数列。

针对练习

已知数列an的前n项和 为 ,求这个数列的 1 2 2 Sn ? n ? n ? 3 4 3 通

项公式。

解:当n=1时,

47 S1 ? a1 ? 12
当n>1时

an ? S n ? S n ?1 1 2 2 1 2 2 ? n ? n ? 3 ? [ ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? 3] 4 3 4 3 1 2 1 2 2 ? n ? (n ? 1) ? 4 4 3 47 n 5 n ?1 ? ? 12 1 5 2 12
又n=1时

a1 ?

2

?

12

所以

an ?

n 5 ? n ?1 2 12

思考:已知前n项和Sn如何求通项an? ⑴当n=1时a1=S1 ⑵当n>1时,an=Sn-Sn-1 ⑶如果当n=1时an=Sn-Sn-1与a1的值相 等,那么得到数列an 的通项公式为 an=Sn-Sn-1, 当n=1时an=Sn-Sn-1与a1的值不相等, 那么数列an 的通项公式要分段表示为 an=
S1 n=1 Sn-Sn-1 n>1

探 究

解:由上题思路可得:

P+q+r an= 2pn-p+q

(n=1) (n>1)

只有r=0时,数列{an}才是等差数列 首项为:a1=p+q,公差为:d=2p 如果数列{an}的前n项和是常数项为0, 且是关于n的一元二次关系式,那么数 列{an}是等差数列。

课堂小结

1、学习了等差数列前n项和的求 和方法及公式 2、知道了由Sn如何求an

an=

S1 n=1 Sn-Sn-1 n>1





课本习题2.3A、B组题


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