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2015-2016学年广东省深圳市高级中学高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学 年 广 东 省 深 圳 市 高 级 中 学 高 二( 下 )期 中 数 学试卷(文科)
一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 12 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 60 分 . 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1 .已 知 U={2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7} ,M={3 ,4 ,5 ,7} ,N={2 ,4 ,5 ,6} ,则( ) A . M ∩ N={4 , 6} B . M ∪ N=U C . N M=U D M N=N ( ?U ) ∪ . ( ?U ) ∩ 2. 若 复 数 ( a∈R, i 为 虚 数 单 位 位 ) 是 纯 虚 数 , 则 实 数 a 的 值 为 ( )

A. ﹣ 2 B. 4 C. ﹣ 6 D. 6

3. 已 条 变 量 x, y 满 足

, 则 x+ y 的 最 小 值 是 (



A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4 . 已 知 向 量 与 的 夹 角 为 120 °, | |=2 , | |=1 , 则 | + | 等 于 ( ) A. 7 B. C. 3 D. 5 . 已 知 等 比 数 列 {a n } 满 足 a 1 +a 2 =3 , a 2 +a 3 =6 , 则 a 7 = ( ) A . 64 B . 81 C . 128 D . 243 6 . 如 图 为 一 个 几 何 体 的 三 视 图 , 其 中 俯 视 图 为 正 三 角 形 , A 1 B 1 =2 , AA 1 =4 , 则该几何体的表面积为( )

A . 6+

B . 24+

C . 24+2

D . 32 的 值 的 一 个 程 序 框 图 如 图 ,其 中 判 断 框 内 应 填 入

7.给 出 计 算 的条件是( )

A . i > 10 B . i < 10 C . i > 20 D . i < 20 8. 一 个 正 方 体 的 顶 点 都 在 球 面 上 , 此 球 与 正 方 体 的 表 面 积 之 比 是 ( A. B. C. D. π



9 .已 知 双 曲 线 9 y 2 ﹣ m 2 x 2 =1( m > 0 )的 一 个 顶 点 到 它 的 一 条 渐 近 线 的 距 离 为 , 则 m= ( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10 . 已 知 < α< ,﹣ ) 或 D. 或﹣ ) < β< , 且 tan α , tan β 是 方 程 x 2 x+4=0

的 两 实 根 , 则 α+β=( A. B. ﹣ C.

11 . 已 知

, 则 a、 b 之 间 的 大 小 关 系 是 (

A. 1< b< a B. 1< a< b C. 0< a< b< 1 D. 0< b< a< 1 12 . 已 知 函 数 f ( x ) ( x ∈ R ) 满 足 f ( 1 ) =1 , 且 f ′ ( x ) 的 导 函 数 则 的解集为( ) ,

A . {x | ﹣ 1 < x < 1} B . {x |x < ﹣ 1} C . {x |x < ﹣ 1 或 x > 1} D . {x |x > 1} 二 、 填 空 题 : 本 大 题 共 4 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 20 分 13 . 取 一 根 长 度 为 3 m 的 绳 子 , 拉 直 后 在 任 意 位 置 剪 断 , 那 么 剪 得 两 段 的 长 都 不 小 于 1m 的 概 率 是 . 14 . 数 列 {a n } 中 , a 1 =2 , a n + 1 =a n +cn ( c 是 常 数 , n=1 , 2 , 3 , … ) , 且 a1, a2, a3 成 公 比 不 为 1 的 等 比 数 列 . 则 c 的 值 是 . 15 . 已 知 直 线 x ﹣ y ﹣ 1 =0 与 抛 物 线 y= ax 2 相 切 , 则 a= . 16 . f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , f ( x+3 ) = ﹣ f ( x ) =2x , 则 f ( 11.5 ) = . , 又 当 ﹣ 3≤x≤﹣ 2 时 ,

三 、 解 答 题 : 本 大 题 共 5 小 题 , 每 小 题 12 分 , 共 60 分 17 . 在 三 角 形 ABC 中 , a , b , c 分 别 为 角 A 、 B 、 C 的 对 边 , cosA=0 , 求 角 A 的 大 小 ; ( Ⅰ) 若 sin ( B+C ) ﹣ ( Ⅱ) 若 A= , a= , b=2 , 求 三 角 形 ABC 的 面 积 .

18 . 某 高 校 在 2009 年 的 自 主 招 生 考 试 成 绩 中 随 机 抽 取 100 名 学 生 的 笔 试 成 绩 , 按成绩分组,得到的频率分布表如图所示. 组号 分组 频数 频率 1 [160 165 5 0.050 第 组 , ) [165 , 170 ) ① 0.350 第 2组 [170 , 175 ) ② 30 第 3组 [175 , 180 ) 20 0.200 第 4组 [180 , 185 ) 10 0.100 第 5组 100 1.00 合计 ( 1) 请 先 求 出 频 率 分 布 表 中 ①、 ②位 置 相 应 数 据 , 再 完 成 下 列 频 率 分 布 直 方图; ( 2)为 了 能 选 拔 出 最 优 秀 的 学 生 ,高 校 决 定 在 笔 试 成 绩 高 的 第 3、4、5 组 中 用 分 层 抽 样 抽 取 6 名 学 生 进 入 第 二 轮 面 试 , 求 第 3、 4、 5 组 每 组 各 抽 取 多 少 名学生进入第二轮面试? ( 3) 在 ( 2) 的 前 提 下 , 学 校 决 定 在 6 名 学 生 中 随 机 抽 取 2 名 学 生 接 受 A 考 官进行面试,求:第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率?

19 .在 三 棱 锥 P ﹣ ABC 中 ,△ PAC 和 △ P BC 是 边 长 为 O , D 分 别 是 AB , P B 的 中 点 . ( 1 ) 求 证 : OD ∥平 面 PAC ; ( 2 ) 求 证 : 平 面 PAB ⊥平 面 ABC ; ( 3 ) 求 三 棱 锥 P ﹣ ABC 的 体 积 .

的 等 边 三 角 形 ,AB=2 ,

20 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xO y 中 , 点 P 到 两 点 , 和 等 于 4, 设 点 P 的 轨 迹 为 C. ( 1) 写 出 C 的 方 程 ; ( 2 ) 设 直 线 y=kx+1 与 C 交 于 A 、 B 两 点 , k 为 何 值 时 21 . 已 知 函 数 f ( x ) = lnx ﹣ ( a∈R, a≠0) .

的距离之



( 1 ) 当 a= ﹣ 1 时 , 讨 论 f ( x ) 在 定 义 域 上 的 单 调 性 ; ( 2 ) 若 f ( x ) 在 区 间 [1 , e ] 上 的 最 小 值 是 ,求实数 a 的值.

第二部分本学期知识和能力部分本学期学习的不等式、几何、极坐标与参数 方 程 选 讲 三 选 一 题 请 考 生 在 22 、 23 、 24 题 中 任 选 一 题 作 答 ,如 果 多 做 ,则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 , 作 答 时 请 写 清 题 号 . [ 选 修 4-1 : 几 何 证 明 选 讲 ] 22 .如 图 ,已 知 AP 是 ⊙ O 的 切 线 , P 为 切 点 , AC 是 ⊙ O 的 割 线 ,与 ⊙ O 交 于 B , C 两 点 , 圆 心 O 在 ∠ PAC 的 内 部 , 点 M 是 BC 的 中 点 . ( Ⅰ) 证 明 A , P , O , M 四 点 共 圆 ; ( Ⅱ) 求 ∠ OAM+ ∠ APM 的 大 小 .

[ 选 修 4-4 : 坐 标 系 与 参 数 方 程 ]

23 . 已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 是

(t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程

为 ρ =2cos ( θ +

) .

( Ⅰ) 求 圆 心 C 的 直 角 坐 标 ; ( Ⅱ) 由 直 线 l 上 的 点 向 圆 C 引 切 线 , 求 切 线 长 的 最 小 值 .

[ 选 修 4-5 : 不 等 式 证 明 选 讲 ] 24 . 已 知 函 数 f ( x ) = |2x+1 |+ |2x ﹣ 3 |+a . ( Ⅰ) 当 a=0 时 , 解 不 等 式 f ( x ) ≥ 6 ; ( Ⅱ) 若 不 等 式 f ( x ) ≥ a 2 对 一 切 实 数 x 恒 成 立 时 , 求 实 数 a 的 取 值 范 围 .

2015-2016 学 年 广 东 省 深 圳 市 高 级 中 学 高 二 ( 下 ) 期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 12 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 60 分 . 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1 .已 知 U={2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7} ,M={3 ,4 ,5 ,7} ,N={2 ,4 ,5 ,6} ,则( ) A . M ∩ N={4 , 6} B . M ∪ N=U C . ( ? U N ) ∪ M=U D . ( ? U M ) ∩ N=N 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】对答案项逐一验证即可. 【 解 答 】 解 : 由 题 意 M ∩ N={2 , 6} , A 错 误 ; M ∪ N={2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7}=U , 故选 B

2. 若 复 数

( a∈R, i 为 虚 数 单 位 位 ) 是 纯 虚 数 , 则 实 数 a 的 值 为 (



A. ﹣ 2 B. 4 C. ﹣ 6 D. 6 【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义. 【 分 析 】 化 简 复 数 为 a +bi ( a 、 b ∈ R ) 的 形 式 , 让 其 实 部 为 0 , 虚 部 不 为 0 , 可得结论. 【解答】解:复数 a= ﹣ 6 . 故 选 C. = ,它是纯虚数,则

3. 已 条 变 量 x, y 满 足

, 则 x+ y 的 最 小 值 是 (



A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【考点】简单线性规划的应用. 【分析】本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:根据已知的约束条



画 出 满 足 约 束 条 件 的 可 行 域 , 再 用 角 点 法 , 求 出 目 标 函 数 Z= x+ y

的最大值. 【解答】解析:如图得可行域为一个三角形, 其 三 个 顶 点 分 别 为 ( 1, 1) , ( 1, 2) , ( 2, 2) , 代 入 验 证 知 在 点 ( 1 , 1 ) 时 , x+ y 最 小 值 是 1+1=2 . 故 选 C.

4 . 已 知 向 量 与 的 夹 角 为 120 °, | |=2 , | |=1 , 则 | + | 等 于 ( A. 7 B. C. 3 D. 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由条件可以求出 从而便可得出 的值. 【解答】解:根据条件: = ∴ 故 选 B. 5 . 已 知 等 比 数 列 {a n } 满 足 a 1 +a 2 =3 , a 2 +a 3 =6 , 则 a 7 = ( A . 64 B . 81 C . 128 D . 243 ) . =3 ; ,并可进行数量积的运算求出





【考点】等比数列. 【 分 析 】 由 a 1 +a 2 =3 , a 2 +a 3 =6 的 关 系 求 得 q , 进 而 求 得 a 1 , 再 由 等 比 数 列 通 项公式求解. 【 解 答 】 解 : 由 a 2 +a 3 =q ( a 1 +a 2 ) =3q=6 , ∴ q=2 , ∴ a 1 ( 1+q ) =3 , ∴ a 1 =1 , ∴ a 7 =2 6 =64 . 故 选 A. 6 . 如 图 为 一 个 几 何 体 的 三 视 图 , 其 中 俯 视 图 为 正 三 角 形 , A 1 B 1 =2 , AA 1 =4 , 则该几何体的表面积为( )

A . 6+

B . 24+

C . 24+2

D . 32

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】三视图复原的几何体是一个三棱柱,根据三视图的数据,求出几何 体的表面积即可. 【 解 答 】解 :三 视 图 复 原 的 几 何 体 是 一 个 底 面 是 正 三 角 形 ,边 长 为 : 2,棱 柱 的高为:4 的正三棱柱, 所 以 它 的 表 面 积 为 : 2× 故选 C =24+2

7. 给 出 计 算 的条件是( )

的 值 的 一 个 程 序 框 图 如 图 ,其 中 判 断 框 内 应 填 入

A . i > 10 B . i < 10 C . i > 20 D . i < 20 【考点】循环结构. 【 分 析 】 结 合 框 图 得 到 i 表 示 的 实 际 意 义 , 要 求 出 所 需 要 的 和 , 只 要 循 环 10 次 即 可 , 得 到 输 出 结 果 时 “i”的 值 , 得 到 判 断 框 中 的 条 件 . 【 解 答 】 解 : 根 据 框 图 , i﹣ 1 表 示 加 的 项 数 当加到 时 , 总 共 经 过 了 10 次 运 算 , 则 不 能 超 过 10 次 ,

i ﹣ 1=10 执 行 “ 是 ” 所 以 判 断 框 中 的 条 件 是 “ i > 10 ” 故选 A 8. 一 个 正 方 体 的 顶 点 都 在 球 面 上 , 此 球 与 正 方 体 的 表 面 积 之 比 是 ( A. B. C. D. π )

【考点】球内接多面体;球的体积和表面积. 【分析】通过正方体的体积,求出正方体的对角线的长度,就是外接球的直 径,然后求出球的表面积,最后求出它们的表面积之比. a, 【 解 答 】 解 : 设 正 方 体 的 棱 长 是 a, 正 方 体 的 对 角 线 的 长 为 : 它的顶点都在球面上,正方体的对角线的长度,就是外接球的直径,

这 个 球 的 表 面 积 是 : 4 π R 2 =4 π× ( 又 正 方 体 的 表 面 积 是 6a2, ∴球 与 正 方 体 的 表 面 积 之 比 是 故 选 C.

a ) 2 =3 π a 2 .

=



9 .已 知 双 曲 线 9 y 2 ﹣ m 2 x 2 =1( m > 0 )的 一 个 顶 点 到 它 的 一 条 渐 近 线 的 距 离 为 , 则 m= ( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【考点】双曲线的简单性质. 【 分 析 】 由 双 曲 线 9 y 2 ﹣ m 2 x 2 =1 ( m > 0 ) 可 得 ,顶点 ,一

条 渐 近 线 为 mx ﹣ 3 y= 0 ,再 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 根 据 一 个 顶 点 到 它 的 一 条 渐 近线的距离为 【解答】解: 取顶点 , 一 条 渐 近 线 为 mx ﹣ 3 y=0 , 可 以 求 出 m. ,

∵ 故 选 D. , 且 tan α , tan β 是 方 程 x 2

10 . 已 知

< α<

,﹣ ) 或

< β<

x+4=0

的 两 实 根 , 则 α+β=( A. B. ﹣ C.

D.

或﹣

【考点】两角和与差的正切函数. 【 分 析 】 由 题 意 利 用 韦 达 定 理 可 得 tan α + tan β 和 tan α? tan β 的 值 , 可 得 tan ( α+β) = 的 值 . 再 根 据 α、 β

的 范 围 求 得 α+β 的 范 围 , 从 而 求 得 α+β 的 值 . 【 解 答 】 解 : 由 题 意 可 得 tan α +tan β = ﹣ 3 , tan α? tan β =4 , ∴ tan ( α + β ) = 由已知 ﹣ , < α< , ﹣ = < β< = . , 或 α+β=

∴α+β= , 可 得 ﹣ π< α+β< π,

故 选 : D.

11 . 已 知

, 则 a、 b 之 间 的 大 小 关 系 是 (



A. 1< b< a B. 1< a< b C. 0< a< b< 1 D. 0< b< a< 1 【考点】对数值大小的比较. 【 分 析 】 由 题 意 判 断 出 0< a< 1, 和 0< b< 1, 在 一 个 坐 标 系 中 画 出 函 数 y=log a x 、 y= log b x 的 图 象 , 由 图 判 断 a 、 b 的 大 小 . 【解答】解:∵ ∴0< a< 1, 0< b< 1, 在 一 个 坐 标 系 中 画 出 函 数 y= log a x 和 y= log b x 的 图 象 , 由 对 数 函 数 的 图 象 在 第 一 象 限 内 从 左 到 右 底 数 逐 渐 增 大 知 , b< a, ∴0< b< a< 1, 故 选 D. , 且 0< < 1,

12 . 已 知 函 数 f ( x ) ( x ∈ R ) 满 足 f ( 1 ) =1 , 且 f ′ ( x ) 的 导 函 数 则 的解集为( )



A . {x | ﹣ 1 < x < 1} B . {x |x < ﹣ 1} C . {x |x < ﹣ 1 或 x > 1} D . {x |x > 1} 【考点】函数单调性的性质;导数的运算;其他不等式的解法. 【 分 析 】先 把 不 等 式 导 函 数 φ′ ( x ) 又 因 为 函 数 移 项 并 设 φ ( x ) =f ( x ) ﹣ ﹣ ,然 后 求 出

, 所 以 φ′ ( x ) < 0 即 φ ( x ) 是 减 函 数 的解集即可. ,

由 f ( 1 ) =1 求 出 φ ( 1 ) =0 , 根 据 函 数 是 减 函 数 得 到 【解答】解: ∴φ( x) 在 R 上 是 减 函 数 . , ∴ 故 选 D. 的 解 集 为 {x |x > 1 } . ,则

二 、 填 空 题 : 本 大 题 共 4 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 20 分 13 . 取 一 根 长 度 为 3 m 的 绳 子 , 拉 直 后 在 任 意 位 置 剪 断 , 那 么 剪 得 两 段 的 长 都 不 小 于 1m 的 概 率 是 .

【考点】几何概型. 【 分 析 】 根 据 题 意 确 定 为 几 何 概 型 中 的 长 度 类 型 , 将 长 度 为 3m 的 绳 子 分 成 相 等 的 三 段 , 在 中 间 一 段 任 意 位 置 剪 断 符 合 要 求 , 从 而 找 出 中 间 1m 处 的 两 个界点,再求出其比值. 【 解 答 】 解 : 记 “两 段 的 长 都 不 小 于 1m”为 事 件 A, 则 只 能 在 中 间 1m 的 绳 子 上 剪 断 , 剪 得 两 段 的 长 都 不 小 于 1m, 所以事件 A 发生的概率 故答案为: . .

14 . 数 列 {a n } 中 , a 1 =2 , a n + 1 =a n +cn ( c 是 常 数 , n=1 , 2 , 3 , … ) , 且 a1, a2, a3 成 公 比 不 为 1 的 等 比 数 列 . 则 c 的 值 是 2 . 【考点】等比数列的性质. 【 分 析 】由 已 知 中 数 列 {a n } 中 , a 1 =2 , a n + 1 =a n +cn( c 是 常 数 , n=1 , 2 , 3 , … ) , a a a 1 c 且 1, 2, 3 成 公 比 不 为 的 等 比 数 列 . 我 们 可 以 构 造 出 满 足 条 件 的 关 于 的方程,解方程即可得到答案. 【 解 答 】 解 : ∵ a 1 =2 , a n + 1 =a n +cn ∴ a 2 =2+c , a 3 =2+3c 又 ∵a1, a2, a3 成 公 比 不 为 1 的 等 比 数 列 ∴( 2+c ) 2 =2 ( 2+3c ) 即 c 2 ﹣ 2c=0 解 得 c=2 , 或 c=0 故答案为:2 15 . 已 知 直 线 x ﹣ y ﹣ 1 =0 与 抛 物 线 y= ax 2 相 切 , 则 a=



【考点】抛物线的应用. 【分析】先设出切点坐标,进而对抛物线方程求导,把切点分别代入直线方 程 、 抛 物 线 方 程 , 联 立 即 可 求 得 a. 【 解 答 】 解 : 设 切 点 P ( x 0 , y0 ) , 2 ∵ y=ax ∴ y ′ =2ax , 则 有 : x 0 ﹣ y 0 ﹣ 1=0 ( 切 点 在 切 线 上 ) ① ; y 0 =ax 0 2 ( 切 点 在 曲 线 上 ) ② 2ax 0 =1 ( 切 点 横 坐 标 的 导 函 数 值 为 切 线 斜 率 ) ③ ; 由 ①②③ 解 得 : a= .

16 . f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , f ( x+3 ) = ﹣ f ( x ) =2x , 则 f ( 11.5 ) = 【考点】函数奇偶性的性质. 【 分 析 】 由 f ( x+3 ) = ﹣ 把 f ( 11.5 ) 转 化 为 ﹣ 【 解 答 】 解 : ∵ f ( x+3 ) = ﹣ 周期为 6 的周期函数, ∴ f ( 11.5 ) =f ( 2 × 6 ﹣ 0.5 ) =f ( ﹣ 0.5 ) = ﹣ .

, 又 当 ﹣ 3≤x≤﹣ 2 时 ,

, 求 出 函 数 的 周 期 是 6, 再 结 合 偶 函 数 的 性 质 , ,代入所给的解析式进行求解. , ∴ f ( x+6 ) = ﹣ =f ( x ) ,则函数是

∵ f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 当 ﹣ 3 ≤ x ≤ ﹣ 2 时 , f ( x ) =2x , ∴ f ( 2.5 ) =f ( ﹣ 2.5 ) = ﹣ 5 , ∴ f ( 11.5 ) = 故答案为: . .

三 、 解 答 题 : 本 大 题 共 5 小 题 , 每 小 题 12 分 , 共 60 分 17 . 在 三 角 形 ABC 中 , a , b , c 分 别 为 角 A 、 B 、 C 的 对 边 , cosA=0 , 求 角 A 的 大 小 ; ( Ⅰ) 若 sin ( B+C ) ﹣ ( Ⅱ) 若 A= , a= , b=2 , 求 三 角 形 ABC 的 面 积 .

【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】 ( Ⅰ) 利 用 三 角 形 内 角 和 定 理 , 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 可 求 tanA= , 结 合 范 围 A ∈ ( 0 , π ) ,即可得解 A 的值. ( Ⅱ) 由 已 知 及 正 弦 定 理 可 求 sinB=1 结 合 范 围 B ∈( 0 , π ) 可 得 B= 可求 c 的值,利用三角形面积公式即可计算得解. 【解答】 ( 本 题 满 分 为 12 分 ) cosA=0 , 解: ( Ⅰ) 因 为 : sin ( B+C ) ﹣ 又 因 为 : sin ( B+C ) =sinA , ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ 所 以 : tanA= .﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 又 因 为 : A∈( 0, π) , 所 以 : A= .﹣﹣﹣﹣﹣﹣ , a= , b=2 , =1 , B ∈ ( 0 , π ) , 可 得 : B= ,﹣﹣﹣﹣ ,进 而

( Ⅱ) 因 为 : A=

所 以 : 由 正 弦 定 理 得 : sinB= ﹣﹣

所 以 : c=1 . ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ 所 以 : S△
AB C =

bcsinA=

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣

18 . 某 高 校 在 2009 年 的 自 主 招 生 考 试 成 绩 中 随 机 抽 取 100 名 学 生 的 笔 试 成 绩 , 按成绩分组,得到的频率分布表如图所示. 组号 分组 频数 频率 [160 , 165 ) 5 0.050 第 1组 [165 , 170 ) ① 0.350 第 2组 [170 , 175 ) ② 30 第 3组 4 [175 180 20 0.200 第 组 , ) [180 , 185 ) 10 0.100 第 5组 100 1.00 合计 ( 1) 请 先 求 出 频 率 分 布 表 中 ①、 ②位 置 相 应 数 据 , 再 完 成 下 列 频 率 分 布 直 方图; ( 2)为 了 能 选 拔 出 最 优 秀 的 学 生 ,高 校 决 定 在 笔 试 成 绩 高 的 第 3、4、5 组 中 用 分 层 抽 样 抽 取 6 名 学 生 进 入 第 二 轮 面 试 , 求 第 3、 4、 5 组 每 组 各 抽 取 多 少 名学生进入第二轮面试? ( 3) 在 ( 2) 的 前 提 下 , 学 校 决 定 在 6 名 学 生 中 随 机 抽 取 2 名 学 生 接 受 A 考 官进行面试,求:第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率?

【考点】频率分布直方图. 【分析】 ( 1 )由 频 率 的 意 义 可 知 ,每 小 组 的 频 率 = ,由 此 计 算 填 表 中 空

格; ( 2)先 算 出 第 3、4、5 组 每 组 学 生 数 ,分 层 抽 样 得 按 比 例 确 定 每 小 组 抽 取 个 体 的 个 数 , 求 得 第 3、 4、 5 组 每 组 各 抽 取 多 少 名 学 生 进 入 第 二 轮 面 试 . ( 3 ) 根 据 概 率 公 式 计 算 , 事 件 “ 六 位 同 学 中 抽 两 位 同 学 ” 有 15 种 可 能 , 而 且 这 些 事 件 的 可 能 性 相 同 , 其 中 事 件 “第 4 组 的 2 位 同 学 为 B1, B2 至 少 有 一 位 同 学 入 选 ”可 能 种 数 是 9, 那 么 即 可 求 得 事 件 A 的 概 率 . 【解答】解: ( 1 ) 由 题 可 知 , 第 2 组 的 频 数 为 0.35 × 100=35 人 ,

第 3 组的频率为



频率分布直方图如图所示: ( 2 ) 因 为 第 3 、 4 、 5 组 共 有 60 名 学 生 , 所 以 利 用 分 层 抽 样 在 60 名 学 生 中 抽 取 6 名 学 生 , 每组分别为: 第 3 组: 第 4 组: 第 5 组: 人, 人, 人,

所 以 第 3、 4、 5 组 分 别 抽 取 3 人 、 2 人 、 1 人 . ( 3) 设 第 3 组 的 3 位 同 学 为 A1, A2, A3, 第 4 组 的 2 位 同 学 为 B1, B2, 第 5 组 的 1 位 同 学 为 C1, 则 从 六 位 同 学 中 抽 两 位 同 学 有 15 种 可 能 如 下 : ( A1, A2) , ( A1, A3) , ( A1, B1) , ( A1, B2) , ( A1, C1) , ( A2, A3) , ( A2, B1) , ( A2, B2) , ( A2, C1) , ( A3, B1) , ( A3, B2) , ( A3, C1) , B B B C B C ( 1, 2) , ( 1, 1) , ( 2, 1) , 其 中 第 4 组 的 2 位 同 学 为 B1, B2 至 少 有 一 位 同 学 入 选 的 有 : ( A1, B1) , ( A1, B2) , ( A2, B1) , ( A2, B2) , ( A3, B1) , ( B1, B2) , ( A3, B2) , ( B1, C1) , ( B2, C1) ,9 中可能, 所 以 其 中 第 4 组 的 2 位 同 学 为 B1, B2 至 少 有 一 位 同 学 入 选 的 概 率 为 .

19 .在 三 棱 锥 P ﹣ ABC 中 ,△ PAC 和 △ P BC 是 边 长 为 O , D 分 别 是 AB , P B 的 中 点 . ( 1 ) 求 证 : OD ∥平 面 PAC ; ( 2 ) 求 证 : 平 面 PAB ⊥平 面 ABC ; ( 3 ) 求 三 棱 锥 P ﹣ ABC 的 体 积 .

的 等 边 三 角 形 ,AB=2 ,

【考点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂 直的判定. 【分析】 ( 1 )欲 证 OD ∥平 面 PAC ,根 据 直 线 与 平 面 平 行 的 判 定 定 理 可 知 只 需 PA ? 平 面 PAC , OD ? 平 面 PAC , 证 OD 与 平 面 PAC 内 一 直 线 平 行 , 而 OD ∥ PA , 满足定理条件; ( 2 ) 欲 证 平 面 PAB ⊥平 面 ABC , 根 据 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 知 在 平 面 PAB 内 一 直 线 与 平 面 ABC 垂 直 , 而 根 据 题 意 可 得 P O ⊥平 面 ABC ; ( 3 )根 据 OP 垂 直 平 面 ABC 得 到 OP 为 三 棱 锥 P ﹣ ABC 的 高 ,根 据 三 棱 锥 的 体 积 公 式 可 求 出 三 棱 锥 P ﹣ ABC 的 体 积 . 【 解 答 】 证 明 ( Ⅰ) ∵ O , D 分 别 为 AB , PB 的 中 点 , ∴ OD ∥ PA 又 PA ? 平 面 PAC , OD ? 平 面 PAC ∴ OD ∥平 面 PAC . ( Ⅱ) 连 接 OC , OP ∵ , O 为 AB 中 点 , AB=2 , ∴ OC ⊥ AB , OC=1 . 同 理 , P O ⊥ AB , P O=1 . 又 , 2 ∴ P C =OC 2 +P O 2 =2 , ∴∠ POC=90 °. ∴ PO ⊥ OC . ∵ PO ⊥ OC , PO ⊥ AB , AB ∩ OC=O , ∴ PO ⊥平 面 ABC . PO ? 平 面 PAB ∴平 面 PAB ⊥平 面 ABC . 解 ( Ⅲ) 由 ( Ⅱ) 可 知 OP 垂 直 平 面 ABC , ∴ OP 为 三 棱 锥 P ﹣ ABC 的 高 , 且 OP =1 ∴ .

20 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xO y 中 , 点 P 到 两 点 , 和 等 于 4, 设 点 P 的 轨 迹 为 C. ( 1) 写 出 C 的 方 程 ; ( 2 ) 设 直 线 y=kx+1 与 C 交 于 A 、 B 两 点 , k 为 何 值 时 【考点】圆锥曲线的轨迹问题;直线与圆锥曲线的关系.

的距离之



【分析】 ( 1) 由 题 意 可 知 P 点 的 轨 迹 为 椭 圆 , 并 且 得 到 ,求出 b 后可得椭圆的标准方程; ( 2 )把 直 线 方 程 和 椭 圆 方 程 联 立 ,化 为 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 后 得 到 判 别 式 大 于 0, 然 后 利 用 根 与 系 数 关 系 得 到 直 线 和 椭 圆 两 个 交 点 的 横 坐 标 的 和 与 积 , 写出两个向量垂直的坐标表示,最后代入根与系数的关系后可求得 k 的值. 【解答】解: ( 1) 由 条 件 知 : P 点 的 轨 迹 为 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆 , 其中 , 所 以 b 2 =a 2 ﹣ c 2 = =1 .

故轨迹 C 的方程为:



( 2 ) 设 A ( x 1 , y1 ) , B ( x 2 , y2 ) 由 ? ( kx+1 ) 2 +4x 2 =4 , 即 ( k 2 +4 ) x 2 +2kx ﹣ 3=0

由 △ =16k 2 +48 > 0 , 可 得 :



再由 即 ( k 2 +1 ) x 1 x 2 +k ( x 1 +x 2 ) +1=0 , 所以 ,





21 . 已 知 函 数 f ( x ) = lnx ﹣

( a∈R, a≠0) .

( 1 ) 当 a= ﹣ 1 时 , 讨 论 f ( x ) 在 定 义 域 上 的 单 调 性 ; ( 2 ) 若 f ( x ) 在 区 间 [1 , e ] 上 的 最 小 值 是 ,求实数 a 的值.

【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 ( 1) 先 确 定 函 数 的 定 义 域 然 后 求 导 数 fˊ( x) ,在函数的定义域内解 不 等 式 fˊ( x) > 0 和 fˊ( x) < 0; ( 2 )这 是 一 道 求 函 数 的 最 值 的 逆 向 思 维 问 题 .本 题 的 关 键 是 比 较 极 值 和 端 点 处的函数值的大小,列表解题一目了然,从而确定出 a 的值. 【解答】解: ( 1) 当 a=﹣ 1 时 , ,

∴ ∵x> 0,

∴f( x) 在 区 间 ( 0, 1) 上 递 减 , 在 区 间 ( 1, +∞) 上 递 增 . ( 2) 由 已 知 ∴ x+a ≥ a+1 ≥ 0 , ∴ f ( x ) 在 [1 , e ] 上 递 增 , 于 是 ②当 a≤﹣ e 时 , 而 x≤e, ∴ x+a ≤ e+a ≤ 0 , ∴ f ( x ) 在 [1 , e ] 上 递 减 , 于是 ,有 不成立. ,有 不成立 , ①当 a≥﹣ 1 时 , 而 x≥1,

③ 当 ﹣ e < a < ﹣ 1 时 , 在 区 间 [1 , ﹣ a ] 上 , a+1 ≤ x+a ≤ 0 , 则 f' ( x ) ≤ 0 , ∴f( x) 递 减 , 在 区 间 ( ﹣ a , e ] 上 , 0 < x+a ≤ a+e , 则 f' ( x ) > 0 , ∴f( x) 递 增 , ∴ ∴ 综上所述得:实数 第二部分本学期知识和能力部分本学期学习的不等式、几何、极坐标与参数 方 程 选 讲 三 选 一 题 请 考 生 在 22 、 23 、 24 题 中 任 选 一 题 作 答 ,如 果 多 做 ,则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 , 作 答 时 请 写 清 题 号 . [ 选 修 4-1 : 几 何 证 明 选 讲 ] 22 .如 图 ,已 知 AP 是 ⊙ O 的 切 线 , P 为 切 点 , AC 是 ⊙ O 的 割 线 ,与 ⊙ O 交 于 B , C 两 点 , 圆 心 O 在 ∠ PAC 的 内 部 , 点 M 是 BC 的 中 点 . ( Ⅰ) 证 明 A , P , O , M 四 点 共 圆 ; ( Ⅱ) 求 ∠ OAM+ ∠ APM 的 大 小 . ,

【考点】圆內接多边形的性质与判定. 【分析】 ( 1) 要 证 明 四 点 共 圆 , 可 根 据 圆 内 接 四 边 形 判 定 定 理 : 四 边 形 对 角 互 补 , 而 由 AP 是 ⊙ O 的 切 线 , P 为 切 点 , 易 得 ∠ APO=90 °, 故 解 答 这 题 的 关 键 是 证 明 , ∠ AMO=90 °, 根 据 垂 径 定 理 不 难 得 到 结 论 . ( 2 ) 由 ( 1 ) 的 结 论 可 知 , ∠ OP M+ ∠ AP M=90 °, 只 要 能 说 明 ∠ OP M= ∠ OAM 即可得到结论. 【解答】证明: ( Ⅰ) 连 接 OP , OM . 因 为 AP 与 ⊙ O 相 切 于 点 P , 所 以 OP ⊥ AP . 因 为 M 是 ⊙ O 的 弦 BC 的 中 点 , 所 以 OM ⊥ BC . 于 是 ∠ OPA+ ∠ OMA=180 °. 由 圆 心 O 在 ∠ PAC 的 内 部 , 可 知 四 边 形 M 的 对 角 互 补 ,

所 以 A, P, O, M 四 点 共 圆 . 解: ( Ⅱ) 由 ( Ⅰ) 得 A , P , O , M 四 点 共 圆 , 所 以 ∠ OAM= ∠ OP M . 由 ( Ⅰ) 得 OP ⊥ AP . 由 圆 心 O 在 ∠ PAC 的 内 部 , 可 知 ∠ OP M+ ∠ AP M=90 °. 又 ∵A, P, O, M 四 点 共 圆 ∴∠ OP M= ∠ OAM 所 以 ∠ OAM+ ∠ AP M=90 °.

[ 选 修 4-4 : 坐 标 系 与 参 数 方 程 ]

23 . 已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 是

(t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程

为 ρ =2cos ( θ +

) .

( Ⅰ) 求 圆 心 C 的 直 角 坐 标 ; ( Ⅱ) 由 直 线 l 上 的 点 向 圆 C 引 切 线 , 求 切 线 长 的 最 小 值 . 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】 ( I) 先 利 用 三 角 函 数 的 和 角 公 式 展 开 圆 C 的 极 坐 标 方 程 的 右 式 , 再 利 用 直 角 坐 标 与 极 坐 标 间 的 关 系 , 即 利 用 ρ cos θ =x , ρ sin θ = y , ρ 2 =x 2 + y 2 , 进 行代换即得圆 C 的直角坐标方程,从而得到圆心 C 的直角坐标. ( II ) 欲 求 切 线 长 的 最 小 值 , 转 化 为 求 直 线 l 上 的 点 到 圆 心 的 距 离 的 最 小 值 , 故先在直角坐标系中算出直线 l 上的点到圆心的距离的最小值,再利用直角 三角形中边的关系求出切线长的最小值即可. 【 解 答 】解 : ( I )∵ ∴圆 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 即 , ∴圆 心 直 角 坐 标 为 , , ,∴ , . ,

( II ) ∵直 线 l 的 普 通 方 程 为 圆心 C 到直线 l 距离是

∴直 线 l 上 的 点 向 圆 C 引 的 切 线 长 的 最 小 值 是

[ 选 修 4-5 : 不 等 式 证 明 选 讲 ] 24 . 已 知 函 数 f ( x ) = |2x+1 |+ |2x ﹣ 3 |+a . ( Ⅰ) 当 a=0 时 , 解 不 等 式 f ( x ) ≥ 6 ; ( Ⅱ) 若 不 等 式 f ( x ) ≥ a 2 对 一 切 实 数 x 恒 成 立 时 , 求 实 数 a 的 取 值 范 围 . 【考点】绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 【分析】 ( Ⅰ) 当 a=0 时 , 化 简 函 数 的 解 析 式 , 从 而 求 得 f ( x ) ≥ 6 的 解 集 . ( Ⅱ) 根 据 函 数 的 解 析 式 求 得 函 数 的 最 小 值 是 4+a , 要 使 不 等 式 f ( x ) ≥ a 2 恒 成 立 , 故 有 4+a ≥ a 2 , 由 此 求 得 实 数 a 的 取 值 范 围 .

【解答】解: ( Ⅰ) 当 a=0 时 , 求 得

,…

∴由 f ( x ) ≥ 6 可 得 x ≤ ﹣ 1 , 或 x ≥ 2 , 所 以 , 不 等 式 的 解 集 是 ( ﹣ ∞ , ﹣ 1 ] ∪ [2 , + ∞ ) .…

( Ⅱ) 由 于 函 数

的 最 小 值 是 4+a , …

要 使 不 等 式 f ( x ) ≥ a 2 恒 成 立 , 故 有 4+a ≥ a 2 , 解 得

.…

2016 年 7 月 6 日


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