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2013届海淀区高三年级第一学期期中练习数学(文)试题

海淀区高三年级第一学期期中练习



学(文科)

2012. 11

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 1 ? 0} ,则 ? A ? U A. (??,1) B. (1, ? ?) C. (??,1] D. [1, ? ?)

2.下列函数中,在定义域内是减函数的是 A. f ( x) ? x B. f ( x ) ?

x

C. f ( x) ?

1 2x

D. f ( x) ? ln x

3.在平面直角坐标系中,已知 O(0,0) ,A(0,1) ,B (1, 3) ,则 OA ? OB 的值为 A. 1 4.函数 f ( x) ? B. 3 ? 1 C. 3 D. 3 ? 1

uur uur u

x2 ? 1 1 ( ? x ? 2) 的值域为 x 2 5 A. [2, ??) B. [ , ??) 2 0.5 b 5.设 a ? ? , ? log3 2 , ? cos 2 ,则 c
A. c ? a ? b B. a ? c ? b

C. [2, ]

5 2

D. (0, 2]

C. b ? c ? a

D. c ? b ? a

6.已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的偶函数,则下列结论一定成立的是 A. ?x ? R ,f ( x) ? f (? x) C. ?x ? R ,f ( x) f (? x) ? 0 7.已知函数 f ( x) ? ? A. [?1,1] B. ?x0 ? R ,f ( x0 ) ? f (? x0 ) D. ?x0 ? R ,f ( x0 ) f (? x0 ) ? 0

??1, x ? 0, 则不等式 xf ( x ? 1) ? 1 的解集为 ? 1, x ? 0,
B. [?1, 2] C. (??,1] D. [?1, ??)

8.已知集合 M ? {( x, y) | y ? f ( x)} ,若对于任意 ( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y2 ) ? M , 使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“好集合” .给出下列 3 个集合: ① M ? {( x, y ) | y ? }

1 x

② M ? {( x, y) | y ? cos x}

③ M ? {( x, y ) | y ? e ? 2}
x

其中所有“好集合”的序号是

1

A.①②

B.②③

C.③

D.①②③

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

a 2 9. 已知数列 {an } 中, 1 ? 1 , an ?1 ? an ,则 a5 ?
10. (sin15? ? cos15?) ?
2





1 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处得切线方程为 . x uur u uur uur u uur uuur u 12.在 ?ABC 中,点 M 为边 AB 的中点,若 OP ∥ OM ,且 OP ? xOA ? yOB( x ? 0) ,
11.已知函数 f ( x) ? 则

y ? x



13.已知函数 y ? g ( x) 的图象由 f ( x) ? sin 2 x 的图象向右 平移 ? (0 ? ? ? ?) 个单位得到,这两个函数的部分图象 如图所示,则 ? ? .

y

O π
8

17π 24

14.数列 {an } 中,如果存在 ak ,使得“ ak ? ak ?1 且 ak ? ak ?1 ” 成立(其中 k ? 2 , k ? N ) ,则称 ak 为 {an } 的一个峰值. (Ⅰ)若 an ? ? | n ? 7 | ,则 {an } 的峰值为 (Ⅱ)若 an ? ? ;
?

x

? n 2 ? tn, n ? 2 ? ?tn ? 4, n ? 2

且 {an } 存在峰值,则实数 t 的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 在 Rt?ABC 中,AC ? 3 ,BC ? 4 , D 是斜边 AB 上的一点, AC ? AD . 点 且 (Ⅰ)求 CD 的长; (Ⅱ)求 sin ?BDC 的值.

16. (本小题满分 13 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a2 ? ?5 ,S5 ? ?20 . 且 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

2

(Ⅱ)求使不等式 Sn ? an 成立的 n 的最小值.

17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin 2 x ? cos(2 x ? ) . (Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间.

? 8

? 2

18. (本小题满分 13 分) 如图所示,已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中 为了合理利用这块钢板, 将在五边形 ABCDE 内 CD AE ? 4 米, ? 6 米. 截取一个矩形块 BNPM , 使点 P 在边 DE 上. (Ⅰ)设 MP ? x 米,PN ? y 米, y 表示成 x 的函数, 将 求该函数的解析 式及定义域; (Ⅱ)求矩形 BNPM 面积的最大值.

A
M

E P

F D

B

N

C

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax ? 1 . 3

(Ⅰ)若 x ? 1 时,f ( x) 取得极值, a 的值; 求 (Ⅱ)求 f ( x) 在 [0,1] 上的最小值; (Ⅲ)若对任意 m?R , 直线 y ? ? x ? m 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线, a 的取值范围. 求

3

20. (本小题满分 14 分) 已知数集 A ? {a1 , a2 , ? , an } (1 ? a1 ? a2 ? ? ? an , n ? 4) 具有性质 P:对任意 的 k (2 ? k ? n) , i, j (1 ? i ? j ? n) , 使得 ak ? ai ? a j 成立. ? (Ⅰ)分别判断数集 {1, 2, 4, 6} 与 {1, 3, 4, 7} 是否具有性质 P, 并说明理由;

a (Ⅱ)求证: 4 ? 2a1 ? a2 ? a3 ;
(Ⅲ)若 an ? 72 , n 的最小值. 求

海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学 (文) 2012.11

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

题号 答案

1 B

2 C

3 B

4 C

5 D

6 C

7 A

8 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分) 9.

1 16

12.1

3 2 π 13. 3
10.

11. y ? ? x ? 2 14. 0 ; (0,3)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I)因为在直角 ?ABC 中, AC ? 3, BC ? 4 ,所以 AB ? 5, ??????1 分

4

所以 cos A ?

3 5

??????3 分 ??????6 分

在 ?ACD 中,根据余弦定理 CD2 ? AC 2 ? AD2 ? 2 AC ? AD cos A 所以 CD 2 ? 32 ? 32 ? 2 ? 3 ? 3 ? 所以 CD ?

3 5
??????8 分

6 5 5

(II)在 ?BCD 中, sin B ? 根据正弦定理

3 5

??????9 分 ??????12 分 ??????13 分

BC CD ? sin ?BDC sin ?B
6 5 2 5 代入,得到 sin ?BDC ? 5 5

把 BC ? 4 , CD ?

16.(本小题满分 13 分) 解: (I)设 {an } 的公差为 d , 依题意,有 a2 ? a1 ? d ? ?5, S5 ? 5a1 ? 10d ? ?20 ??????2 分

?a1 ? d ? ?5 联立得 ? ?5a1 ? 10d ? ?20
? a1 ? ?6 解得 ? ?d ? 1
所以 an ? ?6 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 7 ??????5 分

??????7 分

(II)因为 an ? n ? 7 ,所以 Sn ? 令

a1 ? an n(n ? 13) n? 2 2

??????9 分 ??????11 分

n(n ? 13) ? n ? 7 , n2 ? 1 n ? 0 即 5 1 ? 4 2

解得 n ? 1 或 n ? 14 又 n ? N* ,所以 n ? 14 所以 n 的最小值为 15 ??????13 分

17. (本小题满分 13 分)

5

π 解: (Ⅰ)因为 f ( x ) ? 2sin 2 x ? cos(2 x ? ) 2
? 2sin2 x ? sin2 x
??????2 分 ??????4 分 ??????6 分 ??????7 分

? 1 ? cos2 x ? sin2 x
π ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4 π π π 所以 f ( ) ? 2 sin( ? ) ? 1 ? 1 8 4 4 π (Ⅱ)因为 f ( x ) ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4 2π ?π 所以 T ? 2 π π , ( 又 y ? sin x 的单调递增区间为 2kπ ? ,2kπ+ ) (k ? Z) 2 2 π π π 所以令 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? , 2 4 2 π 3π 解得 kπ ? ? x ? kπ ? 8 8 π 3π ( ) ,k ? Z) 所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 (kπ ? , kπ ? 8 8

??????9 分 ??????10 分 ??????11 分 ??????12 分 ??????13 分

18.(本小题满分 13 分) 解: (I)作 PQ ? AF 于 Q ,所以 PQ ? 8 ? y, EQ ? x ? 4 在 ?EDF 中, 所以 ??????2 分

EQ EF ? PQ FD
??????4 分 ??????6 分

x?4 4 ? 8? y 2

1 所以 y ? ? x ? 10 ,定义域为 {x | 4 ? x ? 8} 2
(II) 设矩形 BNPM 的面积为 S ,则

x 1 S ( x ) ? xy ? x(10 ? ) ? ? ( x ? 10)2 ? 50 2 2
所以 S ( x ) 是关于 x 的二次函数,且其开口向下,对称轴为 x ? 10 所以当 x ? [4,8] , S ( x ) 单调递增 所以当 x ? 8 米时,矩形 BNPM 面积取得最大值 48 平方米

??????9 分

??????11 分 ??????13 分

6

19. (本小题满分 14 分) 解: (I)因为 f ' x ) ? x 2 ? a ( ??????2 分

(1) 当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极值,所以 f ' ? 1 ? a ? 0 ,

a ?1

??????3 分

( ( 又当 x ? ( ?1,1) 时, f ' x) ? 0, x ? (1, ??) 时, f ' x) ? 0,
所以 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值,即 a ? 1 符合题意 ??????4 分

( (II) 当 a ? 0 时, f ' x ) ? 0 对 x ? (0,1) 成立,
所以 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增, f ( x ) 在 x ? 0 处取最小值 f (0) ? 1 ??????6 分 ??????7 分

( 当 a ? 0 时,令 f ' x) ? x 2 ? a ? 0 , x1 ? ? a , x2 ? a ,
当 0 ? a ? 1 时, a ? 1

( x ? (0, a ) 时, f ' x) ? 0, ( x ? ( a ,1) 时, f ' x) ? 0,

f ( x ) 单调递减 f ( x ) 单调递增
??????9 分

2a a 所以 f ( x ) 在 x ? a 处取得最小值 f ( a ) ? 1 ? 3
当 a ? 1时, a ? 1

x ? (0,1) 时, f ' x) ? 0, (

f ( x ) 单调递减

所以 f ( x ) 在 x ? 1 处取得最小值 f (1) ? 综上所述,

4 ?a 3

??????11 分

当 a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 0 处取最小值 f (0) ? 1

2a a 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 x ? a 处取得最小值 f ( a ) ? 1 ? 3 4 当 a ? 1时, f ( x ) 在 x ? 1 处取得最小值 f (1) ? ? a . 3
(III)因为 ?m ? R ,直线 y ? ? x ? m 都不是曲线 y ? f ( x ) 的切线,
2 ( 所以 f ' x ) ? x ? a ? ?1 对 x ? R 成立,

??????12 分

7

( 只要 f ' x ) ? x 2 ? a 的最小值大于 ?1 即可, ( 而 f ' x ) ? x 2 ? a 的最小值为 f (0) ? ?a
所以 ?a ? ?1 ,即 a ? 1 ??????14 分

20.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)因为 2=1+1,4=2+2,6=2+4 ,所以 {1,2,4,6} 具有性质 P 因为不存在 ai , a j ?{1,3,4,7} ,使得 3 ? ai ? a j 所以 {1,3,4,7} 不具有性质 P (Ⅱ)因为集合 A={a1 ,a2 , ???,an } 具有性质 P , 所以对 a4 而言,存在 ai , a j ?{a1 ,a2 , ???,an } ,使得 a4 ? ai ? a j 又因为 1 ? a1 <a2 <a3 <a4 ???<an , n ? 4 所以 ai , a j ? a3 ,所以 a4 ? ai ? a j ? 2a3 同理可得 a3 ? 2a2 , a2 ? 2a1 将上述不等式相加得 ??????6 分 ??????4 分 ??????2 分

a2 +a3 +a4 ? 2(a1 +a2 +a3 )
所以 a4 ? 2a1 +a2 +a3 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知 a2 ? 2a1 , a3 ? 2a2....... , 又 a1 =1 ,所以 a2 ? 2, a3 ? 4, a4 ? 8, a5 ? 16, a6 ? 32, a7 ? 64 ? 72 所以 n ? 8 构造数集 A={1,2,4,5,9,18,36,72} (或 A={1,2,3,6,9,18,36,72} ) , 经检验 A 具有性质 P ,故 n 的最小值为 8 ??????14 分 ??????9 分

8


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