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2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第32讲等比数列的概念及基本运算


新课标高中一轮 总复习

理数
1

第五单元 数列、推理与证明 数列、

2

第32讲 32讲
等比数列的概念及基本运算

3

1.理解等比数列的概念 理解等比数列的概念. 理解等比数列的概念 2.掌握等比数列的通项公式与前 项 掌握等比数列的通项公式与前n项 掌握等比数列的通项公式与前 和公式. 和公式 3.能在具体的问题情境中识别数列的 能在具体的问题情境中识别数列的 等比关系, 等比关系 , 并能用有关知识解决相应的 问题. 问题 4.了解等比数列与指数函数的关系 了解等比数列与指数函数的关系. 了解等比数列与指数函数的关系
4

1.已知数列 n}的前 项和 n=an-3(a为不等 已知数列{a 的前 项和S 的前n项和 已知数列 为不等 于零的实数),那么数列 那么数列{a ( 于零的实数 那么数列 n}( D ) A.是等比数列 是等比数列 B.当a≠1时是等比数列 当 时是等比数列 C.从第 项起是等比数列 从第2项起是等比数列 从第 D.从第 项起是等比数列或等差数列 从第2项起是等比数列或等差数列 从第
5

由Sn=an-3,可得 an=a-3 可得

(n=1)

(a-1)an-1 (n≥2). 当a=1时,数列 时 数列-3,0,0,…0,为从 项起的 ,为从2项起的 等差数列; 等差数列; 项起的等比数列. 当a≠1时,为从第 项起的等比数列 时 为从第2项起的等比数列

6

2.已知等比数列 n}满足 1+a2=3,a2+a3=6, 已知等比数列{a 满足 满足a 已知等比数列 则a2011=( A) ( A.22010 C.32010 B.22011 D.32011

的公比为q, 令{an}的公比为 , 的公比为 则a1(1+q)=3,a1q(1+q)=6, , , 则a1=1,q=2,所以 2011=a1q2010=22010. , ,所以a
7

3.若数列 n}成等比数列 则“a2010a2012=16” 若数列{a 成等比数列 成等比数列,则 若数列 是“a2011=4”的( ) 的 B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 充分不必要条件 必要不充分条件 C.充要条件 充要条件 D.既不充分也不必要条 既不充分也不必要条 件 由a2010a2012=16,则a2011=±4,充分性 则 ± , 不满足; 不满足 由a2011=4,则a2010a2012=a20112=16. ,
8

4.(2010江苏溧水模拟)等比数列 n}中, ( 江苏溧水模拟) 江苏溧水模拟 等比数列{a 中 Sn是数列 n}的前 项和,S3=3a3,则公 是数列{a 的前 项和, 的前n项和 1 式q= - . 1 或
2

当q=1时,an=a1,S3=3a3,则q=1符合题意 符合题意. 时 则 符合题意 当q≠1时, 时
1 所以q=- 或1. 所以 2
a1 (1 q 3 ) 1 2,解得 =3a1q 解得 解得q=- 或1(舍去 舍去). 舍去 1 q 2

9

5.2009年 , 某内河可供船只航行的河段长 年 为 1000 km, 但由于水资源的过度使用 , , 但由于水资源的过度使用, 促使河水断流, 年起, 促使河水断流 , 从 2010年起, 该内河每 年起 年船只可行驶的河段长度仅为上一年 2 则到2018年, 该内河可行驶的河 的 , 则到 年 3 2 9 1000×( )km. × 段长度为
3

10

表示第n年船只可行驶 设an表示第 年船只可行驶 河段长度(2009为第一年), 为第一年), 河段长度 为第一年
2 则an= an-1,a1=1000, , 3 2 n-1 所以a 所以 n=1000×( ) , × 3 2 9 a10=1000×( ) . × 3

11

等比数列 (1) ① 等 比 数 列 定 义 an +1 =q(非零常数 .(n∈N*),这是证明一 非零常数) ∈ 非零常数 这是证明一
an

个数列是等比数列的依据,也可由 anan+2=an+12来判断 来判断. (2)等比数列的通项公式为② an=a1qn-1 . 等比数列的通项公式为② 等比数列的通项公式为 (3) 对 于 G 是 a 、 b 的 等 比 中 项 , 则 G2 = ab,G=③ ± ab . ③

12

(4)特别要注意等比数列前 项和公式应 特别要注意等比数列前n项和公式应 特别要注意等比数列前 分为q=1与q≠1两类 当q=1时,Sn=④ na1; 与 1两类.当 分为 时 ④ 当q≠1时,Sn=⑤ 1 ⑤
a1 an q a1 (1 q n ) 或 Sn = 1 q 1 q

.

13

典例精讲
题型一 等比数列的基本运算 例1 在 等 比 数 列 {an} 中 , 已 知
a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求n和q. 求 和 利用等比数列的性质, 分析 利用等比数列的性质 , 将 a2an-1 转换成a 从而求出a 转换成 1an,从而求出 1和an,再根据等 比数列的通项公式与前n项和公式列方 比数列的通项公式与前 项和公式列方 程组求解. 程组求解
14

因为a 所以a 因为 2an-1=a1an,所以 1an=128. 所以 解方程组 解得 a1an=128 a1+an=66, ①或 a1=2 an=64 ②, ,

a1=64 an=2

a1 an q 1 代入S 将①代入 n= 1 q ,得q= 得 2 由an=a1qn-1,得n=6. 得 a1 an q 代入S 将②代入 n= 1 q ,得q=2, 得 由an=a1qn-1,得n=6.

15

利用通项公式与前n项公式列方程组求解 , 利用通项公式与前 项公式列方程组求解, 项公式列方程组求解 但有时计算过程较繁杂.若注意运用等比数 但有时计算过程较繁杂 若注意运用等比数 列的性质解题,就可化繁为简. 列的性质解题,就可化繁为简 (2)当已知 a q(q≠1 )、 n时 (2) 当已知a1 、 q(q≠ 1 ) 、 n 时 , 用公式 当已知 Sn=
a1 (1 q n ) 1 q

对于“ 知三求二 ” 问题 , 对于 点评 (1)对于 “ 知三求二” 问题, 通常是

求和较为方便;当已知 求和较为方便;当已知a1、q
a1 an q 1 q

则用公式S (q≠1)、an时,则用公式 n= 1 和较为方便. 和较为方便



16

一个等比数列有三项, 变式 一个等比数列有三项 , 如果把 第二项加上4, 第二项加上 ,那么所得的三项就成等 差数列,如果再把这个等差数列的第 差数列, 三项加上32, 三项加上 , 那么所得的三项又成等 比数列,求原来的等比数列. 比数列,求原来的等比数列

17

设所求的等比数列为a,aq,aq2, 设所求的等比数列为 则2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32), 且
2 解得a=2,q=3或a= ,q=-5. 解得 或 9

2 10 50 故所求的等比数列为2,6,18或 ,- , . 故所求的等比数列为 或 9 9 9

点评 这 种 解 法 利 用 等 比 数 列 的 基 本 量
a1,q,先求公比,后求其他量,这是解等差 先求公比, 先求公比 后求其他量, 数列、等比数列的常用方法, 数列、等比数列的常用方法,其优点是思 路简单、实用,缺点是有时计算较繁杂. 路简单、实用,缺点是有时计算较繁杂
18

题型二 等比数列的判定及证明 例2 (2010都昌模拟)已知数列 n}满 都昌模拟) 都昌模拟 已知数列{a 满
足:a1=1, an+1 = , (1)求a2,a3,a4,a5; 求 (2)设bn=a2n-2,求证 数列 n}是等比数列; 设 求证:数列 是等比数列; 求证 数列{b 是等比数列 (3)在(2)的条件下,求数列{an}的前 在 的条件下,求数列 的前100项中 项中 的条件下 的前 所有偶数项的和. 所有偶数项的和
19

1 2

an+n (n为奇数) 为奇数) 为奇数 (n为偶数 为偶数). 为偶数

an-2n

1 3 (1)因为 1=1,当n=1∈{奇数 2= a1+1= 因为a 奇数},a 因为 当 ∈ 奇数 2 2

;

当n=2∈{偶数 ,a3=a2-2×2=- ; 偶数}, ∈ 偶数 × 同理,a4= ,a5=- 25 . 同理,
4

7 4

5 2

20

(2)证明:因为bn=a2n-2, 证明:因为 证明 ,
bn +1 a2 n + 2 2 = 所以 = a2 n 2 bn
1 1 a2 n +1 + 2n + 1 2 (a2 n 4n) + 2n 1 2 =2 a2 n 2 a2 n 2

=

1 a2 n 1 1 2 = 2 a2 n 2

.
2

又b1=a2-2=- 1 ,
1 1 是以b 为首项,公比为 所以数列 {bn}是以 1=- 为首项 公比为 的等 是以 2 2

比数列. 比数列

21

所以S=a2+a4+…+a100 所以

1 1 n-1 1 n (3)由(2)得bn=(- )( ) =-( ) =a2n-2, 由 得 2 2 2 1 n 所以a 所以 2n=2-( ) , 2
1 1 2 1 50 =(2- )+[2-( ) ]+…+[2-( ) ] 2 2 2 1 1 × (1 50 ) 2 2 =99+ 1 . =2×50× 1 250 1 2
22

点评本题是以分段形式给出的数列通
项 , 特别要根据n的奇偶选递推式 , 而 特别要根据 的奇偶选递推式, 的奇偶选递推式 不是a 的下标的奇偶.同时判定等比数 不是 n+1 的下标的奇偶 同时判定等比数 列的常用方法有两种:第一种定义法, 列的常用方法有两种: 第一种定义法, 比中项法,即证a 当已知通项 比中项法,即证 n2=an-1an+1.当已知通项 公式或把递推公式看作一整体时, 公式或把递推公式看作一整体时,常用 定义法. 定义法
23

an +1 是非零常数) 即证 a =q(q是非零常数);另一种是等 是非零常数 n

题型三 等比数列的最值
等比数列{a 的首项为 的首项为a 例3等比数列 n}的首项为 1=2010, , 公比q=公比 表示数列{a 的前 项的积, 的前n项的积 (1)设bn表示数列 n}的前 项的积,求 ) bn的表达式; 的表达式; 为何值时, (2)在(1)的条件下,当n为何值时, ) )的条件下, 为何值时 数列{b 有最大项 有最大项? 数列 n}有最大项?
24

1 . 2

bn=a1a2…an 得表达式 得表达式.(2)先判断 n 的符号 , 先判断b 先判断 的符号, 再由|b 的单调性 进一步探求. 的单调性, 再由 n|的单调性,进一步探求 (1)因为 n=2010×(因为a 因为 × 所以b 所以 n=a1a2…an
n×(- 1 =2010

分析 (1) 求 出 {an} 的 通 项 公 式 , 再 由
1 n-1 ) , 2

2

)0+1+2+…+(n-1)

1 n ( n1) =2010n×( ) 2 . 2
25

| bn +1 | (2)因为 | b | 因为 n

=

所以, 所以,当n≤10时, 时

2010 2n

,
| bn +1 | = | bn |

2010 , n >1, 2

所以|b 所以 11|>|b10|>…>|b1|; ;

| bn +1 | 2010 当n≥11时, | b |= n <1,所以 11|>|b12|>…, 时 所以|b 所以 2 n

又因为b11<0,b10<0,b9>0,b12>0, 又因为 , , , , 所以b 的最大值是b 中的最大者. 所以 n的最大值是 9和b12中的最大者
1 201012 × ( )66 b12 2 因为 b = 20109 × ( 1 )36 9 1 30 2 3×( ) =[2010×( 1 )10]3>1. =2010 ×

所以当n=12时,{bn}有最大项为 12 时 有最大项为b 所以当 有最大项为

2

2

=201012×(-

1 66 ) . 2 26

点评 等比数列的通项公式类同于指数
函数,根据公比 与首项 的正负、 与首项a 函数,根据公比q与首项 1的正负、大小 有不同的单调性: 有不同的单调性 当 当 a1>0 q>1 a1<0 或 或 a1<0 0<q<1时为单调增数列; 时为单调增数列; 时为单调增数列 a1>0

q>1 0<q<1为单调减数列;当 为单调减数列; 为单调减数列 q<0时为摆动数列,应分类讨论其项的 时为摆动数列, 时为摆动数列 符号与绝对值. 符号与绝对值
27

备选题
安徽师大附中)设数列 ( 2010安徽师大附中 设数列 n}的 安徽师大附中 设数列{b 的 项和为S 数列{a 为等差 前n项和为 n,bn=2-2Sn;数列 n}为等差 项和为 数列, 数列,且a5=14,a7=20. , (1)求数列 n}的通项公式; 求数列{b 的通项公式 的通项公式; 求数列 (2)若cn=anbn(n=1,2,3,…),Tn为数列 n}的 若 , 为数列{c 的
7 项和, 前n项和,求证:Tn< . 项和 求证: 2
28

(1)由bn=2-2Sn,令n=1,则b1=2-2S1, 由 ,
2 又S1=b1,所b1= , 3

当n≥2时,由bn-1=2-2Sn-1, 时 可得bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn, 可得
bn 1 即 = . bn 1 3

1 2 所以{b 是以 是以b 为首项, 所以 n}是以 1= 为首项, 为公比的等比 3 3

数列, 数列,

1 于是bn=2 n . 于是 3
29

(2)数列 n}为等差数列, 数列{a 为等差数列 为等差数列, 数列 从而c 从而 n=anbn=2(3n-1) .

1 公差d= (a7-a5)=3,可得 n=3n-1. 公差 ,可得a 2 1 3
n

1 1 1 1 所以Tn=2[2 +5 2 +8 3 +…+(3n-1) n ], 所以 3 3 3 3 1 1 1 1 1 所以 Tn=2[2 2 +5 3 +…+(3n-4) n +(3n-1) n +1 ], 3 3 3 3 3 1 1 2 1 所以 Tn=2[3 +3 2 +3 3 +… 3 3 3 3 当出现由等差数列与等比数列的 1 -(3n-1) 1 ], 1点评 +3 n n +1 积构成的新数列时,乘公比 乘公比, 积构成的新数列时 乘公比,错项相消法 3 3 3 7 此时一定要注意公比是否为1. 7 1 1 7 是首选,此时一定要注意公比是否为 是首选-此时一定要注意公比是否为 从而T n - n 1 < . 从而 n= 30 2 2 3 3 2

方法提炼
1.方程思想的应用 在等比数列的五个 方程思想的应用.在等比数列的五个 方程思想的应用 基本量a 知三求二” 基本量 1,an,q,n,Sn中,“知三求二”,一 般是运用通项公式和前n项和公式列方程 项和公式列方程, 般是运用通项公式和前 项和公式列方程, 通过解方程求解. 通过解方程求解 2.等比数列的判定常用定义法和等比 等比数列的判定常用定义法和等比 中项法; 而证明不是等比数列时, 中项法 ; 而证明不是等比数列时 , 只需 举反例(常从前几项入手) 举反例(常从前几项入手).
31

走进高考
江苏卷)设 是公比为q的等 江苏卷 是公比为 学例1(2009江苏卷 设 {an}是公比为 的等 比数列,|q|>1,令bn=an+1(n=1,2,…).若数 比数列, , 若数 有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82} 列 {bn}有连续四项在集合 有连续四项在集合 中,则6q= -9 .

32

因为数列{b 有连续四项在集合 因为数列 n}有连续四项在集合 {-53,-23,19,37,82}中, 中 又an=bn-1,所以数列 n}有连续四项在集合 ,所以数列{a 有连续四项在集合 {-54,-24,18,36,81}中,且必有正项、负项; 且必有正项、 中 且必有正项 负项; 又|q|>1,所以 ,所以q<-1, 因此a 正负相间, 因此 k,ak+1,ak+2,ak+3(k∈N*)正负相间, ∈ 正负相间 单调递增, 且|ak|,|ak+1|,|ak+2|,|ak+3|单调递增, , , 单调递增 故等比数列四项只能为-24,36,-54,81. 故等比数列四项只能为
3 此时,公比为q=- ,6q=-9. 此时,公比为 2
33

山东卷)等比数列 的前n项 山东卷 等比数列 的前 学例2 (2009山东卷 等比数列{an}的前 项 和为S 已知对任意的 已知对任意的n∈ , 和为 n.已知对任意的 ∈N*, 点 (n,Sn)均 均 在函数y=bx+r(b>0且 b≠1,b,r均为常数 的 均为常数)的 在函数 且 均为常数 图象上. 图象上 (1)求r的值; 求 的值 的值; (2)当 b=2时 , 记 bn=2(log2an+1)(n∈N*).证 当 时 ∈ 证 对任意的n∈ , 明:对任意的 ∈N*, 不等式 b1 + 1
b1 b2 + 1 b2

…> n + 1 成立 成立.
34

(1)因为对任意的 ∈N*,点 (n,Sn)均在 因为对任意的n∈ 因为对任意的 点 均在 函数y=bx+r(b>0且 b≠1,b,r均为常数 的图象 均为常数)的图象 函数 且 均为常数 所以S 上,所以 n=bn+r. 所以 当n=1时,a1=S1=b+r; 时 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r) 时 =bn-bn-1=(b-1)bn-1. 因为b>0, 且 b≠1 , 所以 , 当 n≥2 时 , 数列 , 因为 1 所以, 2 {an}是以 为公比的等比数列 是以b为公比的等比数列 是以 为公比的等比数列. 又a1=b+r,a2=b(b-1),
a2 b(b 1) =b,得r=-1. 所以 a =b,即 即 得 b+r 1
35

(2)由(1)知,当b=2时,an=(b-1)bn-1=2n-1, 由 知 时
bn + 1 2n + 1 b1 + 1 b2 + 1 = ,所以 则 所以 bn b1 b2 2n 3 5 7 2n + 1 = × × … . 2 4 6 2n 2n

bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2n. …

bn + 1 bn

下面用数学归纳法证明不等式
bn + 1 3 5 7 b1 + 1 b2 + 1 2n + 1 … b = × × … > n + 1 成立 成立. b2 2 4 6 b1 2n n 3 左边= ,右边 2 . 右边= 当n=1时,左边 时 左边 右边 2 3 所以不等式成立. 因为 > 2,所以不等式成立 所以不等式成立 2
36

bk + 1 3 5 7 b1 + 1 b2 + 1 … b = × × b1 b2 2 4 6 k

假设当n=k时不等式成立 即 时不等式成立,即 假设当 时不等式成立
2k + 1 … > k +1 2k

成立. 成立

则当n=k+1时, 时 则当 左边= 左边 … =

5 3 b1 + 1 b2 + 1 bk + 1 bk +1 + 1 … = ×4 2 b1 bk +1 b2 bk

7 × 6

2k + 1 2k + 3 2k 2 k + 2

>

2k + 3 (2k + 3) 2 k + 1 2k + 2 = 4(k + 1)
(k + 1) + 1 + 1 4(k + 1)

4(k + 1) 2 + 4(k + 1) + 1 = 4(k + 1)

> (k + 1) + 1 .

所以当n=k+1时,不等式也成立 时 不等式也成立 不等式也成立. 所以当 综上,可得不等式恒成立 综上,可得不等式恒成立.
37

本节完,谢谢聆听
立足教育, 立足教育,开创未来
38


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