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高一三角函数与平面向量综合题

讲座

三角形内的三角函数问题

○知识梳理 1.内角和定理:三角形三角和为 ? ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不 能忘记! 任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.

A ? B ? ? ? C ,sin( A ? B) ? sin C ,sin
任意两边的平方和大于第三边的平方.

锐角三角形 ? 三内角都是锐角 ? 三内角的余弦值为正值 ? 任两角和都是钝角 ?

A? B C ? cos 2 2

A>B ? a>b ? sinA>sinB , A,B,C成等差数列 ? B=60? 2.正弦定理: a ? b ? c ? 2 R (R 为三角形外接圆的半径). sin A sin B sin C
注意:①正弦定理的一些变式:

?i ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C ;
? ii ? sin A ?
a b c ,sin B ? ,sin C ? ; 2R 2R 2R ?iii ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, b ? 2R sin C ;
2 2 2

②已知三角形两边一对角, 求解三角形时, 若运用正弦定理, 则务必注意可能有两解. 3.余弦定理:a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A,cos A ? b ? c ? a 等,常选用余弦定理鉴定

2bc

三角形的形状. 4.面积公式:

S ? 1 aha ? 1 bhb ? 1 chc 2 2 2 ? 1 ab sin C ? 1 bc sin A ? 1 ca sin B 2 2 2 2 sin B sin C 2 sin C sin A 1 1 ? a ? b ? 1 a 2 sin A sin B 2 sin A 2 sin B 2 sin C ? 1 r (a ? b ? c) ? p ( p ? a )( p ? b)( p ? c ) 2 a?b?c (其中 r 为三角形内切圆半径, p ? ). 2
5.射影定理:

a=b?cosC+c?cosB,b=a?cosC+c?cosA,c=a?cosB+c?cosA.
特别提醒:求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实 现边角互化。

第 1 页 共 18 页

○浙江真题 1. (2010 年(18) )在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C ? ? (I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长.

1 4

2. ( 2011 ( 18 ) ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c , 已 知

1 sin A ? sin C ? p sin B ? p ? R? , 且 ac ? b 2 . 4 5 (Ⅰ)当 p ? , b ? 1 时,求 a , c 的值; 4
(Ⅱ) 若角 B 为锐角,求 p 的取值范围。

3. (12 年样卷) (18) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 tan (A+B) =2.
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(Ⅰ) 求 sin C 的值; (Ⅱ) 当 a=1,c= 5 时,求 b 的值.

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○例题分析 【例 1】 (2011 年高考陕西卷理科 18)(本小题满分 12 分)叙述并证明余弦定理

【例 2】 (2011 年高考湖南卷理科 17) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且满足 c sin A ? a cos C .

?? ? 求角 C 的大小; ??? ? 求
?? ? 3 sin A ? cos? B ? ? 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小. 4? ?

【例 3】已知圆内接四边形 ABCD 的边长 AB=2,BC=6,CD=DA=4.求四边形 ABCD 的面积.

【例 4】 (2011 年高考全国卷理科 17) (本小题满分 l0 分)
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△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 A—C=90°,a+c= 2 b,求 C.

【例 5】 (2011 年高考山东卷理科 17)(本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中 ,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (1)求

cos A-2 cos C 2c-a = . cos B b

sin C 1 的值; (2)若 cosB= , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积. sin A 4

○巩固练习
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1.(2011 年高考辽宁卷理科 4)△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c, asin AsinB+bcos2A= 2a 则 (A) 2 3

b ?( ) a
(C)

(B) 2 2

3

(D) 2

2、在△OAB 中,O 为坐标原点, A(1, cos ? ), B (sin ? ,1), ? ? (0, 大值时, ? ? ( A. ) B.

?
2

] ,则当△OAB 的面积达最

? 6

? 4

C.

? 3

D.

? 2

3. (2011 年高考天津卷理科 6)如图,在△ ABC 中, D 是边 AC 上的 点,且

AB ? AD, 2 AB ? 3BD, BC ? 2BD ,则 sin C 的值为(
A.



3 3

B.

3 6

C.

6 3

D.

6 6

4.(2011 年高考重庆卷理科 6)若 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边 a , b, c 满足

(a ? b)2 ? c2 ? 4 ,且 C ? 600 ,则 ab 的值为
(A)

4 3

(B) 8 ? 4 3

(C)1

(D)

5.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c ,若 则 cos A ? 。

? 3b ? c?cos A ? a cosC ,

2 3

6. (2011 年高考全国新课标卷理科 16)在 ?ABC 中, B ? 60? , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC

的最大值为


1 . 3

7.在 Δ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cos A ? (Ⅰ)求 sin
2

B?C ? cos 2 A 的值; 2

(Ⅱ)若 a ?

3 ,求 bc 的最大值.

8.(2011 年高考湖北卷理科 16)(本小题满分 10 分)
第 5 页 共 18 页

设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a , b, c ,已知. a ? 1, b ? 2, cos C ? (Ⅰ) 求△ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos(A—C.)

1 4

9.(2011 年高考安徽卷江苏 15)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ?

) ? 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3

?

10.已知在关于 x 的方程 ax2- 2bx+c=0 中,a、b、c 分别是钝角三角形 ABC 的三内角 A、B、C 所对的边,且 b 是最大边. (1)求证:该方程有两个不相等的正根; (2)设方程有两个不相等的正根 α、β,若三角形 ABC 是等腰三角形,求 α-β 的取值范 围.

11 . 在 ?ABC 中 , 记 ?BAC ? x ( 角 的 单 位 是 弧 度 制 ) , ?ABC 的 面 积 为 S , 且

??? ? ??? ? AB ? AC ? 8,4 ? S ? 4 3 .
(1)求 x 的取值范围; (2)就(1)中 x 的取值范围,求函数 f ( x) ? 2 3 sin ( x ?
2

?
4

) ? 2 cos 2 x ? 3 的最大值、最

小值.

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三角形内的三角函数问题
○知识梳理 1.内角和定理:三角形三角和为 ? ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不 能忘记! 任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.

A ? B ? ? ? C ,sin( A ? B) ? sin C ,sin
任意两边的平方和大于第三边的平方.

锐角三角形 ? 三内角都是锐角 ? 三内角的余弦值为正值 ? 任两角和都是钝角 ?

A? B C ? cos 2 2

A>B ? a>b ? sinA>sinB , A,B,C成等差数列 ? B=60? 2.正弦定理: a ? b ? c ? 2 R (R 为三角形外接圆的半径). sin A sin B sin C
注意:①正弦定理的一些变式:

?i ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C ;
? ii ? sin A ?
a b c ,sin B ? ,sin C ? ; 2R 2R 2R ?iii ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, b ? 2R sin C ;
2 2 2

②已知三角形两边一对角, 求解三角形时, 若运用正弦定理, 则务必注意可能有两解. 3.余弦定理:a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A,cos A ? b ? c ? a 等,常选用余弦定理鉴定

2bc

三角形的形状. 4.面积公式:

S ? 1 aha ? 1 bhb ? 1 chc 2 2 2 ? 1 ab sin C ? 1 bc sin A ? 1 ca sin B 2 2 2 2 sin B sin C 2 sin C sin A 1 1 ? a ? b ? 1 a 2 sin A sin B 2 sin A 2 sin B 2 sin C ? 1 r (a ? b ? c) ? p ( p ? a )( p ? b)( p ? c ) 2 a?b?c (其中 r 为三角形内切圆半径, p ? ). 2
5.射影定理:

a=b?cosC+c?cosB,b=a?cosC+c?cosA,c=a?cosB+c?cosA.
特别提醒:求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实 现边角互化。 ○浙江真题 1.10 年(18)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C ? ?
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1 4

(I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长. 解析:本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同事考查运算求解能力。 (Ⅰ)解:因为 cos2C=1-2sin2C= ?

1 10 ,及 0<C<π 所以 sinC= . 4 4 a c ? ,得 c=4 sin A sin C

(Ⅱ)解:当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 由 cos2C=2cos2C-1= ?

1 6 ,J 及 0<C<π 得 cosC=± 4 4

由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2± 6 b-12=0 解得 所以 b= 6 或 2 6 b= 6 c=4 或 b= 6 c=4

2 . 11 年 ( 18 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c , 已 知

1 sin A ? sin C ? p sin B ? p ? R? , 且 ac ? b 2 . 4 5 (Ⅰ)当 p ? , b ? 1 时,求 a , c 的值; 4
(Ⅱ) 若角 B 为锐角,求 p 的取值范围。

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3. (12 年样卷) (18) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 tan (A +B)=2.
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(Ⅰ) 求 sin C 的值; (Ⅱ) 当 a=1,c= 5 时,求 b 的值. (18) 本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能 力。 满分 14 分。

2 5 . 5 2 5 2 (Ⅱ) 解:由正弦定理及 sin C= 得 sin A= , 5 5
(Ⅰ) 解:由题设得 tan C=-2,从而 sin C= sin B =sin (A+C)=sin A cos C+sin C cos A

…………6 分

2 5 2 5 21 ? (? )? ? 5 5 5 5 2 5( 21 ? 1) = , 25 105 ? 5 sin B 再由正弦定理 b= . ?c = 5 sin C
= ○例题分析

…………14 分

【例 1】 (2011 年高考陕西卷理科 18)(本小题满分 12 分)叙述并证明余弦定理 【解析】 :余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹 角的余弦的两倍积。或 a ? b ? c ? 2bc cos A ,
2 2 2

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b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
证法一 ,如图 a ? BC ? BC ? ( AC ? AB) ? ( AC ? AB)
2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?2 ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ???? 2 ? AC ? 2 AC ? AB ? AB ? AC ? 2 AC ? AB cos A ? AB ? b2 ? 2bc cos A ? c2 即
a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A
同理可证 b ? a ? c ? 2ac cos B , c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2
2 2 2

证法二:已知 ? ABC中A, B, C所对边分别为a, b, c, 以A为原点,

AB所在直线为x轴 建立直角坐标系,则 C (b cos A, b sin A), B(a,0),
? a 2 ? BC ? (b cos A ? c) 2 ? (b sin A) 2
2

? b2 cos2 A ? 2bc cos A ? c2 ? b2 sin 2 A ? b2 ? c2 ? 2bc cos A
同理可证 b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B, c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C 【例 2】 (2011 年高考湖南卷理科 17) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且满足 c sin A ? a cos C .

?? ? 求角 C 的大小; ??? ? 求
解:

?? ? 3 sin A ? cos? B ? ? 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小. 4? ?

?? ? 由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C
A ? ? ,所以 sin A ? 0 .从而 sin C ? cos C .又 cos C ? 0 ,所以 tan C ? 1 ,

因为 0 ? 则C

?

? 4
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??? ? 由 ?? ? 知, B ?
=

3? ?? ? ? A ,于是 3 sin A ? cos? B ? ? = 3 sin A ? cos?? ? A? 4 4? ?

?? ? 3 sin A ? cos A = 2 sin? A ? ? 6? ?
A? 3? ? ? 11? ? ? ? ,所以 ? A ? ? .从而当 A ? ? ,即 A ? 时, 4 6 6 12 6 2 3

因为 0 ?

?? ? 2 sin? A ? ? 取最大值 2. 6? ?
综上所述,

? 5? ?? ? 3 sin A ? cos? B ? ? 的最大值 2,此时 A ? , B ? . 3 12 4? ?

评析:本大题主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的运用,以及运用三角公式进行 三角变换的能力以及三角函数的最值、求角问题.

【例 3】已知圆内接四边形 ABCD 的边长 AB=2,BC=6,CD=DA=4.求四边形 ABCD 的面 积.

图 4—15

解: 如图 4—15, 连结 BD, 则四边形面积 S=S△ABD+S△CBD= ∵A+C=180°,∴sinA=sinC, ∴S=

1 1 AB? ADsinA+ BC? CDsinC 2 2

1 (AB?AD+BC?CD) ?sinA=16sinA 2
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由余弦定理:在△ABD 中,BD2=22+42-2?2?4cosA=20-16cosA

在△CDB 中,BD2=52-48cosC, ∴20-16cosA=52-48cosC 又 cosC=-cosA,∴cosA=-

1 , 2

∴A=120°,∴S=16sinA=8

3.

【例 4】 (2011 年高考全国卷理科 17) (本小题满分 l0 分) △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 A—C=90°,a+c= 2 b,求 C. 【解析】 :由正弦定理得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C , 由 a ? c ? 2b得2R sin A ? 2R sin C ? 2 ? 2R sin B ,即 sin A ? sin C ? 2 sin B A+B+C=1800 ,? B ? [180 ? ( A ? C)] ,?sin A ? sin C ? 2 sin[1800 ? ( A ? C)]
0

即?sin A ? sin C ? 2 sin( A ? C) ,由 A-C=900 得 A=900+C

?sin(900 ? c) ? sin c ? 2 sin(900 ? 2c) 即 cos c ? sin c ? 2 2 sin(450 ? c)cos(450 ? c) 2 2 sin(c ? 450 ) ? 2 2 sin(450 ? c)cos(450 ? c) ? cos(450 ? c) ?
0 0 ?4 5 ?c ? 6 0

1 2

?c ?

105
cos A-2 cos C 2c-a = . cos B b

【例 5】 (2011 年高考山东卷理科 17)(本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中 ,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (1)求

sin C 1 的值; (2)若 cosB= , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积. sin A 4

【解析】 (Ⅰ)由正弦定理得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C, 所以

cos A-2 cos C 2c-a 2sin C ? sin A = = ,即 sin B cos B b
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sin B cos A ? 2sin B cos C ? 2sin C cos B ? sin A cos B , 即有 sin(A ? B )? 2 sin( B ? C ,)

sin C =2. sin A c sin C ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知: =2,即 c=2a,又因为 b ? 2 ,所以由余弦定理得: a sin A 1 b2 ? c2 ? a2 ? 2ac cos B ,即 22 ? 4a 2 ? a 2 ? 2a ? 2a ? ,解得 a ? 1 ,所以 c=2,又因为 4
即 sin C ? 2sin A ,所以 cosB=

1 1 1 15 15 15 ,所以 sinB= ,故 ?ABC 的面积为 ac sin B ? ?1? 2 ? = . 2 2 4 4 4 4

○巩固练习 1、在△OAB 中,O 为坐标原点, A(1, cos ? ), B (sin ? ,1), ? ? (0, 大值时, ? ? ( A. ) B.

?
2

] ,则当△OAB 的面积达最

? 6

? 4

C.

? 3

D.

? 2

2.(2011 年高考辽宁卷理科 4)△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,asin AsinB+bcos2A= 2a 则 (A) 2 3 答案: D 解析:由正弦定理得,sin2AsinB+sinBcos2A= 2 sinA,即 sinB(sin2A+cos2A)= 2 sinA, 故 sinB= 2 sinA,所以

b ?( ) a
(B) 2 2 (C)

3

(D) 2

b ? 2; a

3. (2011 年高考天津卷理科 6)如图,在△ ABC 中, D 是边 AC 上的 点,且

AB ? AD, 2 AB ? 3BD, BC ? 2BD ,则 sin C 的值为(
A.



3 3

B.

3 6

C.

6 3

D.

6 6

【答案】D 【解析】 设 BD ? a ,则由题意可得: BC ? 2a, AB ? AD ?
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3 a ,在 ?ABD 中,由余弦定理 2

得:

3a 2? ? a2 1 AB 2 ? AD 2 ? BD 2 2 2 4 cos A ? ? = ,所以 sin A = 1 ? cos2 A ? ,在△ 2 AB ? AD 3 3 2 3 2? ( a) 2

2

3 a 2a AB BC 6 ABC 中,由正弦定理得, ? ? ,所以 2 ,解得 sin C = ,故选 sin C sin A sin C 2 2 6 a 3
D. 4.(2011 年高考重庆卷理科 6)若 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边 a , b, c 满足

(a ? b)2 ? c2 ? 4 ,且 C ? 600 ,则 ab 的值为
(A)

4 3

(B) 8 ? 4 3
2

(C)1
2 2

(D)

2 3
0

解析:选 A。 由 (a ? b)2 ? c 2 ? 4 得 a ? b ? 2ab ? c ? 4 ,由 C ? 60 得

4 a 2 ? b2 ? c 2 4 ? 2ab 1 cos C ? ? ? ,解得 ab ? 3 2ab 2ab 2
5.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c ,若

? 3b ? c?cos A ? a cos C ,则

cos A ?

3/3 。

6. (2011 年高考全国新课标卷理科 16)在 ?ABC 中, B ? 60? , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC

的最大值为



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7.在 Δ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cos A ? (Ⅰ)求 sin
2

1 . 3

B?C ? cos 2 A 的值; 2

(Ⅱ)若 a ? 解: (Ⅰ) sin
2

3 ,求 bc 的最大值.

B?C 1 ? cos 2 A = [1 ? cos( B ? C )] ? (2 cos 2 A ? 1) 2 2 1 1 1 2 1 2 = (1 ? cos A) ? (2 cos A ? 1) = (1 ? ) ? ( ? 1) = ? 2 2 3 9 9

(Ⅱ) ∵

b2 ? c2 ? a2 1 2 ? cos A ? ∴ bc ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc ? a 2 , 2bc 3 3
又∵ a ?

9 3 9 9 3 ∴ bc ? . 当且仅当 b=c= 时,bc= ,故 bc 的最大值是 . 4 2 4 4

说明: 本题主要考查三角函数的诱导公式、 倍角公式、 余弦定理及均值不等式等基础知识, 考查运算能力。 8.(2011 年高考湖北卷理科 16)(本小题满分 10 分) 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a , b, c ,已知. a ? 1, b ? 2, cos C ? (Ⅰ) 求△ABC 的周长;
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1 4

(Ⅱ)求 cos(A—C.) 本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识,同时考查基本运算能 力. 解析: (Ⅰ)? c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ? ? 4? c ? 2.??ABC 的周长为
a ? b ? c ?1? 2 ? 2 ? 5.
1 4

(Ⅱ)?cos C ?? ,?sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ? ( )2 ?

1 4

1 4

15 4

15 a sin C 15 ? sin A ? ? 4 ? .? a ? c,? A ? C 故 A 为 锐角. ? cos A ? 1 ? sin 2 A c 2 8
? 1? ( 15 2 7 7 1 15 15 11 ) ? . ?cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C ? ? ? ? ? . 8 8 8 4 8 4 16

9.(2011 年高考安徽卷江苏 15)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ?

) ? 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3

?

【解析】 (1)因为

? ? ? ? 3 1 sin( A ? ) ? sin A cos ? cos A sin ? sin( A ? ) ? sin A ? cos A ? 2cos A, 6 6 6 6 2 2
所以 3sin A ? 3cos A, 解得 tan A ? 3 ,即 A 的值为 60 .
?

(2)因为 cos A ? 因为 b ? 3c ,所以

1 c b 2 2 , 所以 sin A ? ? , , 所以在△ABC 中,由正弦定理得: 3 sin C sin B 3

c 3c 3 1 ? ? ,所以 3sin C ? sin( A ? C ) = sin(60 ? C ) = cos C ? sin C ,解得 sin C sin( A ? C ) 2 2

5sin C ? 3 cos C, 又因为 sin 2 C ? cos2 C ? 1 ,所以 sin 2 C ?
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25 2 sin C ? 1 ,解得 sin C 的 3

值为

21 . 14

10.已知在关于 x 的方程 ax2- 2bx+c=0 中,a、b、c 分别是钝角三角形 ABC 的三内角 A、B、C 所对的边,且 b 是最大边. (1)求证:该方程有两个不相等的正根; (2)设方程有两个不相等的正根 α、β,若三角形 ABC 是等腰三角形,求 α-β 的取值范 围. 【解析】(1)证明:因为△ABC 是钝角三角形,且 b 是最大边,故-1<cosB<0,且 b2 =a2+c2-2accosB. 故关于 x 的方程的根的判别式 Δ=(- 2b)2-4ac=2b2-4ac=2(a2+c2-2accosB)- 4ac=2(a-c)2-4accosB>0. 所以,方程有两个不相等的实根(设两实根分别为 α,β).

? 2b ? ?? ? ?0 ? ? a ? 由根与系数的关系可得 ? ,所以该方程有两个不相等的正根. c ? ?? ? ? 0 ? a ? ? 2b ?? ? ? ? ? a (2)若三角形 ABC 是等腰三角形,则有 a=c,于是有 ? , ? ? ?? ?1
2b2 所以(α-β)2=α2+β2-2αβ=(α+β)2-4αβ= 2 -4 a 2?a2+c2-2accosB?-4a2 = a2 2 2 2?2a -2a cosB?-4a2 = a2 =-4cosB. 因为-1<cosB<0, 所以 0<-4cosB<4,即(α-β)2∈(0,4), 所以 α-β∈(-2,0)∪(0,2). 11 . 在 ?ABC 中 , 记 ?BAC ? x ( 角 的 单 位 是 弧 度 制 ) , ?ABC 的 面 积 为 S , 且
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??? ? ??? ? AB ? AC ? 8,4 ? S ? 4 3 .
(1)求 x 的取值范围; (2)就(1)中 x 的取值范围,求函数 f ( x) ? 2 3 sin ( x ?
2

?
4

) ? 2 cos 2 x ? 3 的最大值、最

小值. 解 (1)∵ ?BAC ? x, AC ? AB ? 8 , 4 ? S ? 4 3 , 又S ?

??? ? ??? ?

1 bc sin x , 2

∴ bc cos x ? 8,S ? 4 tan x ,即 ∴所求的 x 的取值范围是 (2)∵

1 ? tan x ? 3 .

……………4 分 ……7 分

?
4

?x?

?
3

.

?
4

?x?

?
3



f ( x) ? 2 3 sin 2 ( x ? ) ? 2 cos 2 x ? 3 4

?

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1, 6


?

9分

2? ? 5? 1 ? 3 ? 2x ? ? , ? sin(2 x ? ) ? . 3 6 6 2 6 2

11 分

∴ f ( x) min ? f ( ) ? 2,f ( x) max ? f ( ) ? 3 ? 1 .

?

?

3

4

14 分

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